Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Правильная оценка получается при использованииполинома Эрмита 3 ().Зафиксируем узлы −1 , − 1 и и построим на этих узлах интерполяционный полином2Эрмита 3, () для функции (). Ранее в §5 было доказано, что такой полином существует,единственен и удовлетворяет следующим условиям:3, (−1 ) = (−1 ),3, (− 1 ) = (− 1 ),223, ( ) = ( ),′3,(− 1 ) = ′ (− 1 ).22Запишем погрешность для полинома 3, ():3, () = (4) ()( − −1 )( − − 1 )2 ( − ),24! ∈ [−1 , ].(5)Введем обозначение:∫︁Ψ ( ) =3, ().−1(6)62Глава 2. Интерполирование и приближение функцийПредставим исходную функцию () в виде () = 3, () + 3, () . Тогда∫︁∫︁ () =−1∫︁3, () +−13, ().(7)−1Так как формула Симпсона (3) точна для полиномов третьей степени, то мы можем заме∫︀нить интеграл3, () на соответствующую ему правую часть формулы (3):−1∫︁3, () =)︁ℎ (︁3, (−1 ) + 43, (− 1 ) + 3, ( ) .26−1Тогда∫︁∫︁)︁ℎ (︁ () =3, (−1 ) + 43, (− 1 ) + 3, ( ) +3, () =26−1−1=)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) + Ψ ( ).26Следовательно,∫︁ () −Ψ ( ) =)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) .26(8)−1Таким образом мы получаем, что Ψ ( ) задает погрешность формулы Симпсона (3) на -омчастичном сегменте.Так как выполнены равенства (5) и (6), то погрешность (8) можно оценить следующимобразом:∫︁∫︁|3, ()| 6|Ψ ( )| 64,( − −1 )( − − 1 )2 ( − ),24!−1−14, =sup∈[−1 , ]⃒⃒⃒ (4) ⃒⃒ ()⃒.Задача.
Показать, что∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2ℎ5.120−1Решение. Произведем замену в подынтегральном выражении: = −1 + ℎ, ∈ [0, 1].(︀)︀2Тогда = ℎ и − −1 = ℎ, − = ℎ(1 − ), ( − − 1 )2 = ℎ2 − 12 , и мы получаем,2что∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2−15∫︁1=ℎ0(︂)︂)︂∫︁1 (︂1 215ℎ55 −(1 − ) = ℎ23 − 2 − 4 + =.2441200§7. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции63Таким образом, погрешность формулы Симпсона (3) на -ом частичном сегменте имеетпятый порядок точности:4, ℎ5|Ψ ( )| 6,(9)4! 120Оценим погрешность приближения интеграла (1) на всем отрезке [, ], учитываяпредставление этого интеграла в виде суммы ингералов по всем частичным сегментам (2)и воспользовавшись формулой Симпсона (3):⃒ ⃒ ⃒⃒⃒∫︁⃒ ⃒∑︁⃒ ∑︁)︁(︁∑︁⃒⃒ ⃒ ℎ⃒|Ψ( )| = ⃒⃒ () − (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) ⃒⃒ = ⃒Ψ ( )⃒ 6|Ψ ( )| .2⃒6⃒⃒ ⃒ =1=1=1Мы выбирали разбиение отрезка [, ] так, что ℎ = − , поэтому с учетом оценки (9)получим, что(︂ )︂44 ( − )ℎ,|Ψ( )| 62180⃒⃒⃒⃒4 = sup ⃒ (4) ()⃒.∈[0 , ]Следовательно, квадратурная формула Симпсона на всем отрезке [, ] имеет четвертыйпорядок точности.§7Наилучшее среднеквадратичное приближение функцииРассмотрим гильбертово пространство 2 — линейное пространство функций, интегрируемых с квадратом:∫︁ 2 () < ∞.Заметим, что здесь рассматривается интегрирование любого типа, не только интегрирование по Риману.Введем скалярное произведение в пространстве 2 :∫︁∀, ∈ 2(, ) = ()().Теперь введем норму в пространстве 2 :‖ ‖2⎛ ⎞ 21∫︁√︀= ‖ ‖ = (, ) = ⎝ 2 ()⎠ .Определение.
Пусть дана система ( + 1) линейно независимых функций в пространстве 2 { ()}=0 . Многочлен () вида() = 0 0 () + 1 1 () + . . . + () =∑︁=0называется обобщенным многочленом. (), где ∈ R, = 0, ,64Глава 2. Интерполирование и приближение функцийТак как коэффициенты обобщенного многочлена задаются произвольным образом, то,варьируя их значения, можно получить бесконечно много различных обобщенных многочленов.Определение. Пусть () ∈ 2 и дана система из ( + 1) линейно независимых функций () ∈ 2 , = 0, .Обобщенный многочлен (), имеющий минимальное отклонение по норме от функции ():⎛ ⎞ 21∫︁‖ () − ()‖ = min ‖ () − ()‖ = min ⎝ ( () − ())2 ⎠ ,()()называется наилучшим среднеквадратичным приближением функции () по системефункций { ()}=0 .Утверждение.
Наилучшее среднеквадратичное приближение функции () по системефункций { ()}=0 существует и единственно.Доказательство. Вначале рассмотрим доказательство для частного случая: выберем систему функций, состоящую из одной функции 0 () ∈ 2 . Тогда обобщенный многочленимеет вид() = 0 0 ().Рассмотрим задачу для функции (): среди всех обобщенных многочленов найдем тот,который минимизирует функционал∫︁ (0 ) =( () − 0 0 ())2 .Преобразуем это выражение:∫︁2∫︁ () − 20 (0 ) = ()0 () +20∫︁20 () = (, ) − 20 (, 0 ) + 20 (0 , 0 ).Мы получили квадратичную функцию относительно 0 .
Найдем ее экстремум: ′ (0 ) = 0,0 (0 , 0 ) = (, 0 ).Тогда коэффициент 0 , доставляющий минимум функционалу (0 ), равен:(, 0 )=0 =(0 , 0 )∫︀ ()0 ().∫︀ 2 0 ()(1)Получим наилучшее среднеквадратичное приближение () для функции ():() = 0 0 () =(, 0 )0 .(0 , 0 )(2)§7. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции65Заметим, что при 0 () = 1, из выражений (1) и (2) можно получить выражение длясреднего значения интеграла:∫︀ ()() = ,( − )которое и является наилучшим среднеквадратичным приближением в этом случае.Разумеется, увеличивая число базисных функций (), мы вправе ожидать увеличения точности приближения. Покажем, как строится наилучшее среднеквадратичноеприближение в случае произвольного .
Пусть { ()}=0 — система линейно независимыхфункций, () ∈ 2 [, ]. Обозначим обобщенный многочлен через() =∑︁ (), где ∈ R=0и рассмотрим функционал∫︁∫︁2( () − ()) = (0 , 1 , . . . , ) =( () −∑︁ ())2 .=0Преобразуем это равенство:∫︁2 () − 2 (0 , 1 , . . .
, ) =∑︁=0= (, ) − 2∑︁=0∫︁ () () +=0 (, ) +∑︁∑︁=0∑︁∑︁∫︁ () () ==0 ( , ).=0Минимум функционала (0 , 1 , . . . , ) достигается в точке, в которой все частные производные первого порядка обращаются в ноль: (0 , . . . , )= 0, = 0, .Получаем систему уравнений относительно коэффициентов , = 0, :∑︁ ( , ) = (, ), = 0, .=0Запишем эту систему более подробно:⎧⎪0 (0 , 0 ) + 1 (0 , 1 ) + . .
. + (0 , ) = (, 0 )⎪⎪⎪⎨ ( , ) + ( , ) + . . . + ( , ) = (, )0 101 11 11⎪...⎪⎪⎪⎩ ( , ) + ( , ) + . . . + ( , ) = (, ).0 01 1 Выпишем матрицу коэффициентов системы:⎛⎞(0 , 0 ) (0 , 1 ) . . . (0 , )⎜ (1 , 0 ) (1 , 1 ) . . . (1 , ) ⎟⎜⎟⎟ = (0 , . . . , ).⎜........⎠⎝....( , 0 ) ( , 1 ) . . . ( , )(3)66Глава 2. Интерполирование и приближение функцийПолученная матрица является матрицей Грама системы функций { ()}=0 .
Так как { ()}=0 —система линейно независимых функций, то определитель матрицы Грама положителен:|(0 , . . . , )| > 0.Следовательно система линейных уравнений (3) имеет единственное решение (0 , 1 , . . . , ) .Тогда наилучшее среднеквадратичное приближение для функции () существует и определено единственным образом:∑︁() = ().=0Замечание 1.
Можно заметить, что чем больше базисных функций мы вводим, темточнее среднеквадратичное приближение заданной функции. В пределе мы переходим вбазис всего пространства и получаем точное разложение заданной функции по базису.Однако следует помнить, что при увеличении числа базисных функций увеличивается иразмер соответствующей матрицы Грама, а определитель этой матрицы приближается к нулю. Это создает определенные проблемы при решении задач на практике, связанныес увеличением влияния ошибок округления.Замечание 2. Заметим, что если исходная система функций { ()}=0 — ортогональная, то матрица Грама этой системы — диагональная, что значительно упрощает нахождение среднеквадратичного приближения заданной функции.Замечание 3. Если { ()}=0 — ортонормированная система функций в пространстве2 , то соответствующая этой системе матрица Грама является единичной, и решениесистемы (3) имеет вид = (, ), = 0, ,(4)где — коэффициенты обобщенного многочлена, реализующего наилучшее среднеквадратичное приближение функции ().
Коэффициенты такого вида называются коэффициентами Фурье функции ().Замечание 4. Рассмотрим систему линейно независимых функций () = , = 0, .Введем в пространстве скалярное произведение следующим образом:∫︁() () () = ( , ),где () > 0 — весовая функция. Если определенным образом выбирать границы и ивесовую функцию, то можно построить систему ортогональных полиномов (например,полиномы Якоби, Лежандра, Чебышева).Утверждение. Если { ()}=0 — ортонормированная система функций, то для этой системы функций выполняется неравенство Бесселя:∑︁2 6 ‖ ‖2 ,=0где — коэффициенты обобщенного многочлена, реализующего наилучшее среднеквадратичное приближение функции ().§8.
Наилучшее среднеквадратичное приближение функций, заданных таблично67Доказательство. Действительно, если система функций { ()}=0 ортонормирована, товыполнено замечание 3. Обозначим = и вычислим отклонение от наилучшего среднеквадратичного приближения:∫︁( () −∑︁ ())2 = (, ) − 2=0∑︁ (, ) +=0∑︁2 = (, ) −=0∑︁2 > 0.=0Следовательно неравенство Бесселя выполнено.Замечание 5. Если { ()}∞=0 — ортонормированный базис, то выполняется равенствоПарсеваля:∞∑︁2 = ‖ ‖2 .=0Замечание 6.
В процессе построения наилучшего среднеквадратичного приближениявозникает следующий ряд вопросов:1. Как решать системы линейных уравнений высокого порядка?2. Как вычислять интегралы для поиска скалярных произведений функций для построения системы (3)?3. Как производить суммирование с коэффициентами Фурье?На первый из этих вопросов мы ответили в главе I, второго коснулись в §6, рассмотрениеостальных вопросов выходит за рамки нашего курса.§8Наилучшее среднеквадратичное приближение функций,заданных табличноПусть — линейное пространство функций, заданных таблично, то есть элементы ∈ —функции, заданные в узлах 6 0 < 1 < .
. . < 6 , ∈ N: ( ) = , = 0, .Введем скалярное произведение в пространстве H:(, ) =∑︁ ,, ∈ .=0Введем соответствующую норму — эта норма является аналогом среднеквадратичной нормы в пространстве функций, определенных на всем отрезке [, ]:(︃√︀‖ ‖ = (, ) =∑︁)︃ 122, ∈ .=0В предыдущем параграфе предполагалось, что функция () задана аналитически.Здесь функция задана таблично, то есть известны только ее значения = ( ) в конечном числе точек , = 0, .Мы хотим приблизить функцию () некоторой функцией, заданной аналитически.Один из способов приближения мы уже знаем — это интерполяция по данным значениям68Глава 2. Интерполирование и приближение функций0 , 1 , .
. . , . Однако при больших такой способ приближения трудоемок и может дажедать неверное представление о поведении функции. Одним из распространенных способовприближения функций, заданных таблично, является способ, основанный на минимизациисреднеквадратичной погрешности.Как и в предыдущем параграфе, предположим, что задана система базисных функций{ ()}=0 (например, () = , = 0, ). Можем считать, что функции () заданытолько в точках , = 0, .
Задача состоит в подборе коэффициентов , для которыхвеличина отклонения⃒⃒⃒⃒ ⎛(︃)︃2 ⎞ 12⃒⃒⃒⃒∑︁∑︁∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒ = ⎝ − ( ) ⎠⃒⃒ −⃒⃒⃒⃒=0=0=0являлась бы минимальной. Эта задача является дискретным аналогом задачи о минимизации функционала (0 , 1 , . . . , ), рассмотренной в предыдущем параграфе, и решаетсяаналогичным образом.Введем функционал⃒⃒⃒⃒2⃒⃒⃒⃒∑︁⃒⃒⃒⃒ (0 , 1 , . . . , ) = ⃒⃒ − ⃒⃒ .⃒⃒⃒⃒=0Этот функционал имеет тот же вид, что и аналогичный функционал для функций гильбертового пространства, рассмотренный в предыдущем параграфе.Запишем систему линейных уравнений для поиска коэффициентов { }=0 , на которыхфункционал (0 , 1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
