Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Интерполирование и приближение функцийИскомые полиномы () можно представить следующим образом: () =(),( − ) ′ ( ) = 0, .(3)Заметим, что условия (2) для полиномов () выполнены. Учитывая равенства (1) и (3),запишем интерполяционный полином в форме Лагранжа: () =∑︁=0() ( ).( − ) ′ ( )Оценим точность приближения функции () интерполяционным полиномом в формеЛагранжа.Определение. Пусть () — интерполяционный полином в форме Лагранжа для функции ().
Тогда функция () = () − ()(4)называется погрешностью интерполирования функции () интерполяционным полиномом ().Пусть существует ( + 1)-ая производная функции () на отрезке [, ]. Тогда () = (+1) ()(),( + 1)!где ∈ [, ].Обычно оценку погрешности аппроксимации (5) записывают в виде⃒⃒+1⃒ (+1) ⃒()⃒.| ()| 6|()| , где +1 = sup ⃒( + 1)!∈[,](5)(6)Замечание 1. Вывод формул (5) и (6) в данном курсе не рассматривается, его можнонайти в [1].Замечание 2. Если исходная функция является полиномом степени, не превышающей, то интерполяционный полином в форме Лагранжа приближает ее точно.1Замечание 3. Наличие в оценке погрешности (6) быстро убывающего множителя (+1)!вовсе не гарантирует сходимость интерполяционного полинома в форме Лагранжа к заданной функции при увеличении числа узлов в разбиении.
Более того, начальное разбиениеможет быть выбрано так, что мы вовсе не получим сходимости. Поэтому на практике лучше разбивать область определения функции на меньшие отрезки, на каждом изкоторых приближать функцию полиномом невысокой степени, и потом «сшивать» полученные приближения в одну функцию, определенную уже на всем отрезке.§3Разделенные разностиРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < . . .
< 6 , ( ) = , = 0, .§3. Разделенные разности51Определение. Разделенной разностью первого порядка, построенной по несовпадающимузлам и , называется отношение ( , ) = ( ) − ( ), − 0 6 , 6 .(1)Обычно мы будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам.Например, (1 ) − (0 ) (2 ) − (1 ) (0 , 1 ) =, (1 , 2 ) =.1 − 02 − 1Замечание. Отношение (1) является дискретным аналогом первой производной.Определение.
Разделенной разностью второго порядка, построенной по несовпадающимузлам 0 , 1 , 2 , называется отношение (0 , 1 , 2 ) = (1 , 2 ) − (0 , 1 ).2 − 0(2)Замечание. Отношение (2) является дискретным аналогом второй производной.Определение. Пусть даны ( , . . . , + ) и (+1 , . . . , ++1 ) — разделенные разности-ого порядка по соответствующим узлам, где 0 6 , 6 . Тогда разделенной разностью ( + 1)-ого порядка, построенной по несовпадающим узлам , +1 , .
. . , ++1 ,называется отношение ( , +1 , . . . , ++1 ) = (+1 , +2 , . . . , ++1 ) − ( , +1 , . . . , + ).++1 − (3)Замечание. Отношение (3) является дискретным аналогом ( + 1)-ой производной.Введем следующие обозначения:() =∏︁( − ) = 0, (),=0, () =∏︁( − ), = 0, 1, . . . , , = 0, .=Очевидно, что′0,( )=∏︁=0̸=( − ),′,( )=∏︁( − ), = , + 1, . . . , .≠=Покажем, что разделенная разность произвольного порядка выражается через значенияфункции () в узлах { }=0 .Утверждение. Разделенная разность -ого порядка представима в виде (0 , 1 , .
. . , ) =∑︁ ( )′ ( ) .0,=0(4)52Глава 2. Интерполирование и приближение функцийДоказательство. Воспользуемся методом математической индукции.Пусть = 1. Тогда (0 , 1 ) = (1 ) (0 ) (1 ) − (0 )=+.1 − 01 − 0 0 − 1Таким образом утверждение выполнено при k=1. Пусть теперь утверждение верно длянекоторого = . Докажем его для = + 1.Следующие соотношения вытекают из предположения индукции:∑︁ ( ) (0 , 1 , . . . , ) =′ ( ) ,0,(5)=0 (1 , 2 , . . . , +1 ) =+1∑︁=1 ( ).′1,+1( )(6)Запишем разделенную разность ( + 1)-ого порядка: (0 , 1 , . . . , +1 ) = (1 , 2 , .
. . , +1 ) − (0 , 1 , . . . , ).+1 − 0(7)Подставим выражения (5) и (6) в уравнение (7) и вынесем общий множитель за скобку:1 (0 , 1 , . . . , +1 ) =+1 − 0(︃ +1∑︁=1)︃∑︁ ( ) ( )−′′ ( )1,+1( )0,.=0Вынесем за скобку ( + 1)-ое слагаемое первой суммы и нулевое слагаемое второй: (0 ) (+1 )++′′(+1 )(0 − +1 )0, (0 ) (+1 − 0 )1,+1(︃ (︃)︃)︃∑︁111+− ′. ( )′+1 − 01,+1( ) 0,( ) (0 , 1 , . . . , +1 ) ==1Рассмотрим отдельно некоторые элементы этого равенства. Заметим, что:′′(0 ),(0 ) = 0,+1(0 − +1 )0,′′(+1 ),(+1 ) = 0,+1(+1 − 0 )1,+1(︃)︃111− ′=′+1 − 0 1,+1( ) 0,( )1=+1 − 0(︃ − 0 − +1− ′′1,+1 ( )( − 0 ) 0, ( )( − +1 ))︃=1.′0,+1( )Подставив полученные выражения в равенство (8), получим: (0 , 1 , .
. . , +1 ) =+1=1=0∑︁ ( )∑︁ ( ) (0 ) (+1 )+ ′+=.′′′0,+1 (0 ) 0,+1 (+1 )0,+1 ( )0,+1( )Утверждение для = + 1 доказано, и в силу индукции справедлива формула (4).(8)§3. Разделенные разности53Утверждение. Значение функции () в произвольном узле , = 0, можно выразитьчерез значение функции в узле 0 и разделенные разности до порядка включительно.Доказательство. Пусть = 1. Запишем разделенную разность первого порядка: (0 , 1 ) = (1 ) (0 )+.0 − 1 1 − 0Домножим обе части уравнения на (1 − 0 ) ̸= 0:(1 − 0 ) (0 , 1 ) = (1 ) − (0 ).Следовательно, (1 ) = (0 ) + (1 − 0 ) (0 , 1 ).Докажем утверждение для = 2. Аналогично предыдущему случаю запишем разделеннуюразность 2-ого порядка и домножим обе части равенства на (2 − 0 )(2 − 1 ) ̸= 0:(2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ) = −2 − 02 − 1 (0 ) + (1 ) + (2 ).0 − 10 − 1Введем обозначения:=2 − 02 − 0 (1 ) =( (0 ) + (1 − 0 ) (0 , 1 )) =0 − 10 − 1=2 − 0 (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ),0 − 1=− (0 )(2 − 1 ).0 − 1Следовательно,(2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ) = + + (2 ) ==2 − 0(2 − 1 ) (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ) − (0 ) + (2 ) =0 − 10 − 1= (2 ) − (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ).Выразив из последнего выражения (2 ), получим: (2 ) = (0 ) + (2 − 0 ) (0 , 1 ) + (2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ).Переход от = к = + 1 для произвольного ∈ производится по аналогиис рассмотренным переходом от = 1 к = 2, но здесь не приводится, так как сопровождается более громоздкими выкладками.
Далее мы иногда будем пользоваться таким приемом,чтобы избегать громоздкости выкладок.Обобщив полученные результаты, запишем формулу для ( ): ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , .
. . , ).Замечание. Формула (9) является дискретным аналогом формулы Тейлора.(9)54§4Глава 2. Интерполирование и приближение функцийИнтерполяционная формула НьютонаРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < . . .
< 6 , ( ) = , = 0, .Воспользуемся результатами предыдущего параграфа и запишем формулу для ( ): ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(1)Подставив в эту формулу вместо , получим полином степени от : () = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).Обозначим полученный полином как (): () = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . .
. + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(2)Утверждение. Полином (2) интерполирует функцию ().Доказательство. Для доказательства утверждения достаточно показать, что ( ) = ( ), = 0, .Подставив в формулу (2) вместо , получим: ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . .
. + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(3)В равенстве (3) все слагаемые, начиная с -ого, содержат множитель ( − ), тождественноравный нулю. Тогда получим ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . .
. ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ) = ( ), = 0, ,что и требовалось доказать.Определение. Интерполяционный полином, задаваемый формулой (2), называется интерполяционным полиномом Ньютона.Замечание 1. Интерполяционный полином Ньютона тождественно совпадает с интерполяционным полиномом в форме Лагранжа.Доказательство. Этот факт следует из доказанного в первом параграфе утверждения,что для любой функции () существует единственный интерполяционный полином,построенный по ( + 1) узлу. То есть интерполяцоннный полином Ньютона и интерполяцоннный полином в форме Лагранжа являются различными вариантами записи одного итого же интерполяционного полинома.§5. Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита55Замечание 2. Так как интерполяционный полином Ньютона тождественно совпадаетс интерполяционным полиномом в форме Лагранжа, он имеет такую же погрешность:⃒⃒+1⃒⃒|()| , где +1 = sup ⃒ (+1) ()⃒.| ()| 6( + 1)!∈[,]Замечание 3.
Аналогично случаю с интерполяционным полиномом Лагранжа, если исходная функция является полиномом степени, не превышающей , то интерполяционныйполином Ньютона приближает ее точно.Замечание 4. Выбор формы записи интерполяционного полинома функции () зависитот особенностей каждой конкретной задачи. Например, если узлы зафиксированы и ихчисло постоянно, а искомая функция меняется, то удобно использовать интерполяционный полином в форме Лагранжа. Если же появляется необходимость в добавлении илиудалении узлов при условии сохранения функции, то удобно использовать интерполяционный полином в форме Ньютона.§5Интерполирование с кратными узлами. Полином ЭрмитаРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < .
. . < 6 , ( ) = , = 0, .Пусть, кроме того, в узле заданы значения всех производных функции () до порядка( − 1), = 0, . Натуральное число называется кратностью соответствующего узла .Постановка задачи. Необходимо построить полином () степени , удовлетворяющий условию:() ( ) = () ( ), = 0, ( − 1), = 0, .Определение. Полином () называется интерполяционным полиномом Эрмита.Будем искать интерполяционный полином () в виде () = ∑︁ −1∑︁, () () ( ),=0 =0где , () - полиномы степени .Сформулируем условие, при котором можно найти интерполяционный полиномом Эрмита.Утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
