Главная » Просмотр файлов » Численные методы. Ионкин (2013)

Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 12

Файл №1160444 Численные методы. Ионкин (2013) (Численные методы. Ионкин (2013)) 12 страницаЧисленные методы. Ионкин (2013) (1160444) страница 122019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

, ) достигает своего минимума:= 0,∑︁ = 0, , ( , ) = (, ), = 0, .=0Вид полученной системы аналогичен виду системы, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе, следовательно, для рассматриваемой системы сохраняется свойство существования и единственности решения — { }=0 .Значит, для построения наилучшего среднеквадратичного приближения функции с помощью некоторой системы функций достаточно знать значения этой функции лишь в некоторых точках интересующего отрезка.Глава 3Численное решение нелинейныхуравнений и систем нелинейныхуравнений§1ВведениеРассмотрим задачу поиска корней нелинейного уравнения: нелинейные уравнения, вообще говоря, не имеют аналитического решения, поэтому для поиска решения используютвычислительные методы, хотя такое решение является лишь приближенным.Заметим, что принципиальное отличие численных методов решения нелинейных уравнений от численных методов решения систем линейных уравнений состоит в необходимостиспециально выбирать для конкретного итерационного метода начальное приближение, таккак от этого выбора зависит сходимость рассматриваемых итерационных методов решениянелинейных уравнений.Постановка задачи.

Рассмотрим функцию (), ∈ R, и уравнение () = 0.(1)Пусть * — корень уравнения, и определена его окрестность радиуса , не содержащаядругих корней уравнения: (* ) = { : | − * | < },причем заданная функция () определена на этой окрестности. Будем считать, чтоначальное приближение 0 ∈ (* ) задано. Тогда для нахождения численного решенияуравнения в рассматриваемой окрестности необходимо построить последовательность{ }, сходящуюся к корню * уравнения (1):lim ( ) = (* ) = 0.→∞Численное решение нелинейных уравнений можно разбить на два этапа:1. Локализация корня, т.е.

определение окрестности (* ).2. Задание итерационного процесса — построение последовательности { }, сходящейсяк корню уравнения.Пусть () — непрерывная функция, заданная на отрезке [, ]. Рассмотрим два приемалокализации вещественного корня (известно, что уравнение (1) может иметь и комплексныекорни, но в данном курсе мы не будем ими заниматься).70Глава 3. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравненийПервый приемПусть задано разбиение сегмента [, ]: 6 0 < 1 < 2 < .

. . < 6 ,и если для некоторого = 1, выполняется условие (−1 ) ( ) < 0,(2)то на интервале (−1 , ) существует по крайней мере один корень уравнения (1) или числокорней на этом интервале нечетно. Если же выполняется условие (−1 ) ( ) > 0, = 1, ,то на каждом из интервалов (−1 , ) либо нет корней уравнения (1), либо их число четно.В случае выполнения условия (2) интервал (−1 , ) вновь разбивается на частичныеинтервалы, и для частичных интервалов повторяется описанная выше процедура, котораяв итоге позволит найти промежуток меньшей длины, содержащий корень.Второй приемБолее регулярным способом отделения действительных корней является метод бисекции(деления пополам).Предположим, что на интервале (, ) расположен лишь один корень * уравнения (1).Тогда () и () имеют различные знаки.

Пусть для определенности () > 0, () < 0.Положим+0 =2и рассмотрим значения функции () в этой точке.Если (0 ) < 0, то значение искомого корня * лежит в интервале (, 0 ), если же (0 ) > 0,то * ∈ (0 , ). Далее из этих двух интервалов (, 0 ) и (0 , ) выбираем тот, на границекоторого функция () имеет различные знаки.Затем находим точку 1 — середину выбранного интервала, вычисляем (1 ) и повторяемуказанный выше алгоритм.В результате получаем последовательность интервалов, содержащих искомый корень* , причем каждый последующий интервал имеет длину в 2 раза меньшую, чем предыдущий. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньшезаданного числа > 0.Замечание. Как правило рассматриваемая функция () имеет больше одного корня, изадача состоит в поиске всех корней уравнения (1) на области определения функции ().Тогда можно поступать следующим образом: пусть мы нашли один из корней этогоуравнения, причем этот корень имеет единичную кратность.

Тогда для поиска другихкорней рассматриваемого уравнения осуществим переход к функции () вида() = (). − *Очевидно, что уравнение () = 0 имеет на единицу меньше корней, чем уравнение (1), ивсе корни этого уравнения являются также корнями уравнения (1). Поэтому после решения данного уравнения получаем корни исходного уравнения, отличные от уже найденных.Таким образом мы сможем найти по крайней мере все некратные корни уравнения (1).§2. Метод простой итерации71Круг вопросов, которые мы рассматриваем в связи с решением одного нелинейногоуравнения, переносится и на поиск решения системы нелинейных уравнений.

Рассмотримнелинейную систему уравнений (1 , 2 , . . . , ) = 0, = 1, .(3)Введем векторы = (1 , 2 , . . . , ) , = (1 , 2 , . . . , ) . Тогда система уравнений (3)запишется в векторной форме, как () = .Последнее уравнение удобно рассматривать как операторное уравнение в m-мерном пространстве R . При этом отображение : R −→ Rпредставляет собой нелинейное отображение пространства R в себя, и рассуждения о методах решения нелинейных систем проводится аналогично одномерному случаю.§2Метод простой итерацииРассмотрим функцию (), ∈ R и уравнение () = 0.(1)Пусть * — корень этого уравнения, и определена его окрестность радиуса , не содержащаядругих корней рассматриваемого уравнения: (* ) = { : | − * | < },причем заданная функция () определена на этой окрестности.Будем считать, что начальное приближение 0 ∈ (* ) задано.

Рассмотрим итерационные методы, задаваемые общей формулой+1 = ( ), ∈ Z+(2)с некоторой функцией (), определенной на (* ). Пусть функция () имеет вид() = + () (), (* ) = * ,(3)где () — функция, не обращающаяся в ноль в окрестности (* ), то есть (()) ̸= 0, ∈ (* ).Определение. Итерационный метод, описываемый формулой (2) с функцией () вида (3), называется методом простой итерации.Определение. Функция () называется Липшиц-непрерывной при ∈ (* ) с константой > 0, если для любых точек 1 , 2 ∈ (* ) выполнено неравенство|(1 ) − (2 )| 6 |1 − 2 |.Утверждение. Пусть функция () Липшиц-непрерывна с константой ∈ (0, 1) в некоторой окрестности (* ), и пусть задано начальное приближение 0 ∈ (* ).

Тогдаметод простой итерации (2) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем .72Глава 3. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравненийДоказательство. Докажем с помощью метода математической индукции, что ∈ (* )при ∈ Z+ .Справедливость утверждения 0 ∈ (* ) следует из условия. Пусть требуемое условиеверно при = . Рассмотрим ( + 1)-ую итерацию:+1 = ( )и оценим |+1 − * |, учитывая, что функция () Липшиц-непрерывна:|+1 − * | = |( ) − (* )| 6 | − * |.(4)Из условия ∈ (0, 1) следует неравенство|+1 − * | 6 | − * | < .Таким образом, +1 ∈ (* ).Докажем сходимость метода простой итерации. Используя оценку (4) как рекуррентную, получим:| − * | 6 |0 − * |.(5)Из условия ∈ (0, 1) следует, чтоlim = 0.→∞Тогда в силу неравенства (5) и неотрицательности модуля выполнено равенствоlim | − * | = 0.→∞Следовательно, метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессиисо знаменателем .Замечание. Если функция () непрерывно дифференцируема, то в качестве можновзять максимальное значение | ′ ()|, и сходимость будет иметь место, если=⃒⃒max ⃒ ′ ()⃒ < 1.∈ (* )Рассмотрим итерационный метод, записанный уравнением:+1 − + ( ) = 0, ∈ R+ , ∈ Z+ , 0 ∈ (* ).(6)Выразим из этого равенства +1 :+1 = − ( ).Этот метод является методом простой итерации вида (2) с функцией (), имеющий вид() = − ().Получим оценку параметра , которая будет гарантировать сходимость метода простойитерации вида (6), то есть обеспечивать выполнение условий замечания к доказанномувыше утверждению.Пусть окрестность (* ) выбрана таким образом, чтобы в ней выполнялось условие′| ()| < 1.

В предположении об ограниченности функции ′ () вычислим точную верхнююгрань ее модуля:⃒⃒ = sup ⃒ ′ ()⃒ .∈ (* )§3. Метод Ньютона и метод секущих73Продифференцируем функцию (): ′ () = 1 − ′ ().Пусть для определенности ′ () > 0, ∈ (* ). Потребовав, чтобы выполнялось условие| ′ ()| < 1, получим оценку для :|1 − | < 1,2.0< <Таким образом, если для поиска корня * применяется итерационныйзаписанный(︀ метод,)︀2в виде (6), то значение параметра следует выбирать из интервала 0, .Метод Эйткена ускорения сходимости итерационного методаПредположим, что существует число , не зависящее от и такое, что − * ≈ , ∈ Z+ , ∈ R.Запишем оценки для трех последовательных итераций:−1 − * ≈ −1 , − * ≈ ,+1 − * ≈ +1 ,(7)Выразим +1 через итерации −1 , , +1 .

Для этого рассмотрим равенства(+1 − )2 = 2 2 ( − 1)2 ,+1 − 2 + −1 = −1 ( − 1)2 ,получающиеся из выражений (7). Разделим первое равенство на второе:(+1 − )2= +1 .+1 − 2 + −1Подставим полученное выражение для +1 в оценку (7) для корня * и ( + 1)-ой итерации +1 и получим представление для корня * :* ≈ +1 −(+1 − )2.+1 − 2 + −1Метод Эйткена позволяет ускорить сходимость метода простой итерации.

Идея метода заключается в том, что после вычисления −1 , , +1 производится пересчет поформуле(+1 − )2′+1 = +1 − +1,(− 2 + −1 )и значение ′+1 берется в качестве нового приближения.§3Метод Ньютона и метод секущихРассмотрим функцию (), ∈ R и уравнение () = 0.(1)Пусть * — корень этого уравнения, и определена его окрестность радиуса , не содержащаядругих корней уравнения: (* ) = { : | − * | < },74Глава 3. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравненийпричем заданная функция () определена на этой окрестности.Будем считать, что начальное приближение 0 ∈ (* ) задано.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1005,37 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее