Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если сумма кратностей узлов функции f(x) равна ( + 1):∑︁ = + 1,=0то существует, причем единственный, интерполяционный полином Эрмита степени для функции ().56Глава 2. Интерполирование и приближение функцийРассмотрение задачи построения интерполяционного полинома Эрмита в общей постановке, которую мы привели выше, выходит за рамки нашего курса. Интересующиеся могутобратится к [1], мы же далее будем рассматривать частный случай: построение интерполяционного полинома Эрмита для функции () по трем узлам, один из которых имееткратность.Построение полинома Эрмита по трем узламРассмотрим функцию (), определенную вместе со своей первой производной на отрезке[, ]. Построим для функции () интерполяционный полином Эрмита 3 () по трем узлам0 , 1 и 2 : 6 0 < 1 < 2 6 , где узел 1 — кратный.По определению интерполяционного полинома Эрмита для 3 () должны выполнятьсяследующие равенства:3 (0 ) = (0 ), 3 (1 ) = (1 ), 3 (2 ) = (2 ), 3′ (1 ) = ′ (1 ).(1)Будем искать полином Эрмита 3 () в виде3 () = 0 () (0 ) + 1 () (1 ) + 2 () (2 ) + 1 () ′ (1 ),(2)где 1 () и (), = 0, 2 — полиномы третьей степени.Равенства (1) и (2) позволяют сформулировать условия нахождения коэффициентов 1 ()и (), = 0, 2:0 (0 ) = 1, 1 (0 ) = 0, 2 (0 ) = 0, 1 (0 ) = 0,0 (1 ) = 0,1 (1 ) = 1,2 (1 ) = 0,1 (1 ) = 0,0 (2 ) = 0,1 (2 ) = 0,2 (2 ) = 1,1 (2 ) = 0,′0 (1 ) = 0,′1 (1 ) = 0,′2 (1 ) = 0,′1 (1 ) = 1.Воспользуемся этими условиями и получим коэффициенты интерполяционного полинома (2) в явном виде.Из условий 0 (1 ) = 0, 0 (2 ) = 0 и ′0 (1 ) = 0 следует, что узлы 1 и 2 являются корнями полинома 0 () двойной и единичной кратности соответственно.
Поэтому коэффициент0 () будем искать в виде0 () = ( − 1 )2 ( − 2 ),где ∈ R.Для нахождения воспользуемся условием 0 (0 ) = 1:0 (0 ) = (0 − 1 )2 (0 − 2 ) = 1.Поделим это равенство на (0 −1 )2 (0 −2 ) (мы можем это сделать, так как узлы 0 , 1 , 2различны):1=.(0 − 1 )2 (0 − 2 )Замечание.
В дальнейшем при делении на множители, содержащие разности узлов, мыне будем оговаривать неравенство нулю этих множителей, считая это очевидным.Запишем представление для 0 () с учетом выражения для коэффициента :0 () =( − 1 )2 ( − 2 ).(0 − 1 )2 (0 − 2 )§5. Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита57Очевидно, что коэффициент 2 () имеет аналогичную структуру с двукратным корнем 1и однократным корнем 0 :( − 1 )2 ( − 0 )2 () =.(2 − 1 )2 (2 − 0 )Рассмотрим коэффициент 1 (), для которого точки 0 , 1 , 2 являются однократнымикорнями.
Тогда1 () = 1 ( − 0 )( − 1 )( − 2 ),′1 () = 1 (( − 1 )( − 2 ) + ( − 0 )( − 2 ) + ( − 0 )( − 1 )).Для нахождения 1 воспользуемся условием ′1 (1 ) = 1:′1 (1 ) = 1 (1 − 0 )(1 − 2 ) = 1.Получаем выражение для 1 :1 =1.(1 − 0 )(1 − 2 )Тогда 1 () принимает вид1 () =( − 0 )( − 1 )( − 2 ).(1 − 0 )(1 − 2 )Из условий 1 (0 ) = 0, 1 (2 ) = 0 следует, что коэффициент 1 () обращается в нольв точках 0 и 2 . Будем искать его в виде1 () = ( − 0 )( − 2 )( + ),где , ∈ R.Так как 1 (1 ) = 1, то получаем, что1 (1 ) = (1 − 0 )(1 − 2 )(1 + ) = 1.Перепишем равенство относительно (1 + ):1 + =1.(1 − 0 )(1 − 2 )(3)Для нахождения коэффициента вычислим производную ′1 () в точке 1 :′1 () = ( − 0 )( − 2 ) + ( + )(2 − 0 − 2 ).Значит,′1 (1 ) = (1 − 0 )(1 − 2 ) + (1 + )(21 − 0 − 2 ).Подставив вместо (1 + ) равенство (3), получим представление для коэффициента :=−(21 − 0 − 2 ).(1 − 0 )2 (1 − 2 )2Выразим из равенства (3) коэффициент :=11(21 − 0 − 2 )− 1 =+ 1.(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )2 (1 − 2 )258Глава 2.
Интерполирование и приближение функцийТогда коэффициент 1 () принимает вид:)︂(︂(21 − 0 − 2 )(21 − 0 − 2 )1.1 () = (−0 )(−2 ) −++ 1(1 − 0 )2 (1 − 2 )2(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )2 (1 − 2 )2Упростив последнее выражение, получим( − 0 )( − 2 )1 () =(1 − 0 )(1 − 2 )(︂( − 1 )(21 − 0 − 2 )1−(1 − 0 )(1 − 2 ))︂.Итак, мы нашли все необходимые коэффициенты для построения полинома Эрмита 3 ().Замечание. Заметим, что из-за появления кратных узлов сложность вычисления коэффициентов полинома Эрмита значительно возросла. Если для интерполяционных полиномов в форме Лагранжа и в форме Ньютона существуют единые формулы для вычислениявсех коэффициентов, то для полинома Эрмита необходимо вычислять коэффициенты дляразных узлов по-разному.Оценка погрешности для 3 ()Зафиксируем ∈ (0 , 2 ) ⊂ R: ̸= 1 .
Введем функцию ():() = () − 3 () − (), ∈ [0 , 2 ],где () = ( − 0 )( − 1 )2 ( − 2 ), а — некая зависящая от постоянная.Выберем константу так, чтобы () = 0. Тогда () − 3 () − () = 0, () − 3 ().()Введем погрешность для полинома Эрмита 3 ():=3 () = () − 3 ().Пусть для любого ∈ [0 , 2 ] существует (4) (). Функция () имеет не менее четырехнулей: три — в узлах 0 , 1 , 2 , а четвертый — в точке (мы подобрали коэффициент таким образом, чтобы был корнем). Воспользуемся теоремой Ролля. Так как () имеетне менее 4-ех нулей, то ′ () имеет не менее 3-ех нулей на отрезке [0 , 2 ].
Так как узел1 является кратным узлом для интерполяционного полинома Эрмита 3 (), то точка 1является нулем ′ (): ′ (1 ) = 0. Следовательно, первая производная имеет не меньшечетырех нулей. Тогда вторая производная имеет не менее трех нулей, а третья — не менеедвух. Тогда существует точка такая, что⃒ () − 3 ()⃒ (4) () = 0 = ( (4) () − 4! )⃒= (4) () − 4!.()=Тогда получим следующее выражение для погрешности: (4) ()().4!⃒⃒⃒ (4) ⃒⃒ ()⃒ .3 () = () − 3 () =Обозначим4 =sup∈[0 ,2 ]Следовательно,|3 ()| 6где () = ( − 0 )( − 1 )2 ( − 2 ).4|()|,4!§5.
Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита59Замечание 1. В общем случае погрешность интерполяционного полинома Эрмита степени , ∈ N, для функции () имеет вид () = (+1) ()( − 0 )0 ( − 1 )1 . . . ( − ) ,( + 1)!0 + 1 + . . . + = + 1,где { }=0 — разбиение области определения функции (), ∈ N, и функция () должнабыть ( + 1) раз дифференцируема на своей области определения.Замечание 2. Интерполяционный полином Эрмита дает более гладкое приближение,чем ранее рассмотренные интерполяционные полиномы в форме Лагранжа и в форме Ньютона.Задача. Показать, что интерполяционный полином Эрмита 3 () можно получить изинтерполяционного полинома Лагранжа 3 () с помощью предельного перехода.Решение. Пусть 0 , 1 , 2 — узловые точки функции () на отрезке [0 , 2 ]. Добавимфиктивный узел 3 ∈ [0 , 2 ], 3 ̸= , = 0, 2. Построим полином в форме Лагранжа поэтим четырем узлам:( − 0 )( − 2 )( − 3 )( − 0 )( − 1 )( − 2 ) (3 ) + (1 )+(3 − 0 )(3 − 1 )(3 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 3 )( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 0 )( − 1 )( − 3 )+ (0 ) + (2 ).(0 − 1 )(0 − 2 )(0 − 3 )(2 − 0 )(2 − 1 )(2 − 3 )3 () =(4)Покажем, что lim 3 () = 3 ().3 →1При стремлении 3 к 1 , коэффициент при (0 ) в формуле (4) примет вид:( − 1 )2 ( − 2 )= 0 ().(0 − 1 )2 (0 − 2 )Аналогично получим, что выражение коэффициента при (2 ) совпадает с коэффициентом2 () из интерполяционного полинома Эрмита (2) при 3 → 1 .Рассмотрим два оставшихся коэффициента: обозначим через (3 ) первые два слагаемых суммы (4).
(3 ) можно представить в виде(3 ),3 − 1( − 0 )( − 1 )( − 2 )( − 0 )( − 2 )( − 3 )(3 ) = (3 ) − (1 ).(3 − 0 )(3 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(3 ) =При переходе к пределу функции (3 ) при 3 → 1 возникает неопределенность видаДля ее устранения воспользуемся правилом Лопиталя и получим:[︀ 0 ]︀0. ′ (3 )= lim ′ (3 ).3 →1 (3 − 1 )′3 →1lim (3 ) = lim3 →1Так как ′ (3 ) уже не содержит неопределенности при 3 → 1 , тоlim ′ (3 ) = ′ (1 ).3 →1После проведения всех необходимых вычислений получим, что(︂)︂( − 0 )( − 1 )( − 2 ) ′( − 0 )( − 2 )( − 1 )(21 − 0 − 2 )′ (1 ) = (1 )+1− (1 ).(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )Видно, что при ′ (1 ) и (1 ) мы получили выражения, в точности совпадающие с коэффициентами 1 () и 1 () из формулы для интерполяционного полинома Эрмита 3 () (2).60§6Глава 2. Интерполирование и приближение функцийИспользование интерполяционного полинома Эрмита3 () для оценки погрешности квадратурной формулыСимпсонаРассмотрим задачу приближенного вычисления определенного интеграла∫︁= ()(1)от интегрируемой по Риману на отрезке [, ] ⊂ R функции ().Построим разбиение отрезка [, ]: 6 0 < 1 < .
. . < 6 ,где ∈ N,так, чтобы выполнялось условие − −1 = ℎ, = 1, ,где ℎ — некоторая константа, задающая шаг разбиения, причем ℎ = −. Отрезки [−1 , ], = 1, , называются частичными сегментами.Будем искать интеграл в виде суммы интегралов по всем частичным сегментам:= ∫︁∑︁=1 ().(2)−1Для вычисления интеграла на всем отрезке достаточно построить приближение интегралана -ом частичном сегменте [−1 , ] для = 1, .Замечание.
Часто формулы для приближенного вычисления определенного интеграланазывают квадратурными.Запишем формулу Симпсона для -ого частичного сегмента функции (), = 1, :∫︁ () ≈)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) ,26(3)−1где − 1 =2 +−12— полуцелая точка.Утверждение. Квадратурная формула Симпсона (3) является точной для любого полинома степени не выше трех.Доказательство. Приведем доказательство данного утверждения для -ого частичногосегмента, = 1, .Пусть () = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 = 2 () + 3 3 , 3 ̸= 0.Квадратурная формула Симпсона (3) точна для 2 (), так как по построению задает приближение функций параболами, то есть полиномами второй степени. Покажем, что фор∫︀ 3мула Симпсона точна для функции 3 .
Для этого вычислим интеграл по формуле−1§6. Оценка погрешности формулы Симпсона при помощи полинома Эрмита61Ньютона-Лейбница:∫︁4 − 4−1(2 − 2−1 )(2 + 2−1 )= =443 =−1=−1 )(2( − −1 )( +4+2−1 )=(4)ℎ( + −1 )(2 + 2−1 )4и по квадратурной формуле Симпсона:∫︁ℎℎ = (3−1 + 43− 1 + 3 ) =2663(︃(−1 + )(2−1− −1 +2 )(︂+4 + −12)︂3 )︃=−1ℎ=6(︂)︂( + −1 )(2 + 2 −1 + 2−1 )22(−1 + )(−1 − −1 + ) +=2)︂(︂ 22−1 − 2 −1 + 22 + 2 + 2 −1 + 2−1ℎ= ( + −1 )=62=ℎℎ( + −1 )3(2−1 + 2 ) = ( + −1 )(2 + 2−1 ).124Полученные выражения для интеграла от функции 3 совпадают, значит, формула Симпсона точна для полиномов третьей степени.Перейдем к оценке погрешности квадратурной формулы Симпсона (3), для чего воспользуемся интерполяционным полиномом Эрмита 3 (), рассмотренным в предыдущемпараграфе.Если для оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона мы воспользуемся выражением для погрешности интерполяционного полинома Лагранжа второй степени, тополучим сильно завышенную оценку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
