Главная » Просмотр файлов » Численные методы. Ионкин (2013)

Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 6

Файл №1160444 Численные методы. Ионкин (2013) (Численные методы. Ионкин (2013)) 6 страницаЧисленные методы. Ионкин (2013) (1160444) страница 62019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Оценка скорости сходимости итерационных методов31Замечание. Оценка (9) справедлива и в энергетической норме ‖·‖ .Следствие 1. Пусть , — самосопряженные положительно определенные операторы,и пусть существуют 2 > 1 > 0, для которых выполняется условие1 6 6 2 .Тогда, если = 0 =2,1 + 2то двухслойный итерационный метод решения системы уравнений сходится, и вернаоценка‖+1 − ‖ 6 ‖ − ‖ ,где =1−1+ ,=(13)12 .Доказательство. Для того, чтобы воспользоваться теоремой 1, рассмотрим неравенство (8)1+из условия теоремы.

Очевидно, что 1 = 1− и 2 = . Сложив эти равенства, получим1 + 2 =22, =.1 + 2Вычитая из второго равенства первое, получим2 − 1 ==2= (1 + 2 ),2 − 11−1=, = .1 + 21+2Таким образом, оценка (13) выполнена с найденной выше константой .Сформулируем следующее следствие для метода простой итерации:+1 − + = , ∈ Z+ .Следствие 2. Пусть — самосопряженный положительно определенный оператор, а 1и 2 — его минимальное и максимальное собственные значения:1 = min , 2 = max .166Кроме того, пусть =21 +2 .166Тогда верна оценка‖+1 − ‖ 6 ‖ − ‖,где =1−1+ ,=12 .Доказательство следствия 2 очевидно.32§8Глава 1.

Численные методы линейной алгебрыИсследование скорости сходимости ПТИМРассмотрим матричное уравнение вида = ,(1)где || ≠ 0, ( × ), = (1 , 2 , . . . , ) , = (1 , 2 , . . . , ) .Представим матрицу в виде = 1 + 2 ,где 1 — нижнетреугольная⎛0.5110⎜ 210.522⎜1 = ⎜ ....⎝ ..12матрица, 2 — верхнетреугольная матрица:⎞⎛···00.51112···⎜ 0···0 ⎟0.5···22⎟⎜.... ⎟ , 2 = ⎜ .......⎝ .... ⎠· · · 0.50012...⎞⎟⎟⎟.⎠· · · 0.5Очевидно, что такое представление существует для произвольной матрицы .Запишем каноническую форму попеременно-треугольного итерационного метода (ПТИМ):( + 1 )( + 2 )+1 − + = , > 0, > 0, ∈ Z+ .Обозначим = ( + 1 )( + 2 ).Теорема 1 (о сходимости ПТИМ). Пусть — самосопряженный положительно определенный оператор и > 4 . Тогда ПТИМ сходится в среднеквадратичной норме при любомначальном приближении 0 .Доказательство.

Раскроем скобки в выражении для , учитывая, что 1 = 2* : = ( + 2* )( + 2 ) = + (2* + 2 ) + 2 2* 2 = + + 2 2* 2 .(2)Очевидно, что = ( − 2* )( − 2 ) + 2.(3)Кроме того,(( − 2* )( − 2 ), ) = (( − 2 ), ( − 2 )) > 0.Тогда из уравнения (3) следует неравенство > 2.(4)Учитывая условие теоремы ( > 4 ), получим, что > 2 и ПТИМ сходится по теоремеСамарского при любом начальном приближении 0 .Теорема 2 (о скорости сходимости ПТИМ). Пусть — самосопряженный положительноопределенный оператор и числа > 0, ∆ > 0 таковы, что выполняются неравенства > , 2* 2 6Положим∆.4)︃√ (︃ √√22∆∆√√=√ , =, 1 =, 2 =.+24∆+ ∆12(5)§8. Исследование скорости сходимости ПТИМ33Тогда ПТИМ сходится и имеет место оценка‖+1 − ‖ 6 ‖ − ‖ ,где =√1− √1+3 ,=Δ.Доказательство.

Покажем, что из неравенств (5) следует 6 1. Рассмотрим второе неравенство и воспользуемся определением сопряженного оператора:2* 2 6∆∆ ⇒ (2* 2 , ) = (2 , 2 ) = ‖2 ‖2 6 (, ).44(6)Рассмотрим первое неравенство: > ⇒ (, ) > ‖‖2 .Очевидно, что из представления = 1 + 2 = 2* + 2 следует равенство(, ) = (2* , ) + (2 , ) = 2(2 , ).Тогда предположим, что — ненулевой вектор, и получим‖‖2 6 (, ) =(, )24(2 , )2=.(, )(, )Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского и неравенством (6):‖‖2 64‖2 ‖2 ‖‖24∆(, )‖‖26= ∆‖‖2 .(, )4(, )Таким образом, справедливо неравенство 6 ∆.При доказательстве будем опираться на следствие 1 из теоремы об оценке скоростисходимости итерационного метода общего вида.

Чтобы воспользоваться следствием 1 изтеоремы об оценке скорости сходимости, найдем из условия теоремы 1 и 2 такие, что1 6 6 2 .(7)Из неравенства (4) ( > 2), полученного в ходе доказательства теоремы о сходимости1ПТИМ следует оценка 6 2. Тогда можно положить в неравенстве (7) 2 = 2.Оценим выражение (2), воспользовавшись неравенствами (5):(︂)︂1∆ 2∆ 212 * = + + 2 2 6 + +=++.44(︁)︁2 −1Тогда положим в неравенстве (7) 1 = 1 + + Δ.4Для нахождения максимально возможной скорости сходимости будем минимизироватьфункцию () (как известно, чем меньше , тем быстрее сходится метод):() =1 − ()1 (), () =,1 + ()2 ()что эквивалентно минимизации функции ():(︂)︂2 ()11∆ () ==1++→ .1 ()2434Глава 1. Численные методы линейной алгебрыДля нахождения экстремальных точек найдем производную () и приравняем ее к нулю:(︂)︂21 ∆1′= 0 ⇒ = 0 = √ .

() =− 22 4 ∆Учтем, что > 0, и проверим, что точка 0 доставляет минимум функции (), найдязнак второй производной функции в этой точке: ′′ () =1> 0. 3Подставим 0 в выражения для 1 , 2 , :)︃√ (︃ √√1 ∆∆√ =√√1 = 1= 2= √Δ 4√2√222 ∆+2 ∆+ + Δ + Δ + 4 Δ√1∆2 ==204)︃√ (︃ √√42 1 ()∆√√√=√=√() =2 ()∆ 2∆+ ∆+ √√ ⎫√2 ∆− ⎪√√⎪√ =√√ ⎪1− = 1− √√⎬1− ∆− 1−∆+ ∆+ √√==(∆ ̸= 0).⇒=√√√√ ,=⎪1+1+3∆∆+3∆ + 3 ⎪2 √ = √√ ⎪1+ = 1+ √⎭∆+ ∆+ Исходя из полученных соотношений и следствия 1, получаем оценку1‖+1 − ‖ 6 ‖ − ‖ .Таким образом, теорема доказана.Покажем, что ПТИМ сходится на порядок быстрее метода простой итерации (МПИ),метода Зейделя (МЗ) и метода Якоби (МЯ).Число итераций, необходимое для достижения заданной точности > 0 равно[︃]︃ln 10 () =,ln 1где [] означает целую часть числа , а ln 1 — скорость сходимости итерационного метода.(︀)︀В практических задачах часто является величиной порядка O −2 .Оценим скорость сходимости ПТИМ:√√√1+3 (1 + 3 )(1 + )1√=≈ 1 + 4 ,√ =1− 1−(︀)︀(︀ )︀1√≈ ln(1 + 4 ) = O −1 , 0 () = O .Оценим скорость сходимости МПИ:ln1−1− 11+(1 + )2=,==≈ 1 + 2,1+1+ 1−1 − 2(︀)︀(︀ )︀1ln ≈ ln(1 + 2) = O −2 , 0 () = O 2 .Таким образом, МПИ сходится на порядок медленнее, чем ПТИМ.

МЯ и МЗ имеют тотже порядок сходимости, что и МПИ.=§9. Методы решения задач на собственные значения§935Методы решения задач на собственные значенияРассмотрим задачу поиска собственных значений, которая состоит в нахождении чисел и векторов , удовлетворяющих уравнению = , ̸= ,где — вещественная матрица порядка ( × ). называется собственным значениемматрицы , а — соответствующим ему собственным вектором. У любой вещественнойматрицы порядка ( × ) существует ровно собственных значений, вообще говоря, комплексных.Собственный вектор определяется с точностью до константы ̸= 0.

В вычислительныхметодах собственные векторы обычно нормируют, чтобы избежать быстрого накопленияошибок округления. Далее, в описаниях итерационных методов решения задач на поисксобственных значений заданной матрицы, мы будем предполагать, что на каждой итерации значение вектора , приближающего искомый собственный вектор, нормируетсяс условием ‖ ‖ = 1Задача поиска собственных значений эквивалентна задаче нахождения корней характеристического многочлена матрицы :| − | = + −1 −1 + .

. . + 1 + 0 = 0,где ∈ R, = 0, , ̸= 0. Это уравнение имеет общее решение в радикалах только при 6 4, в реальных же задачах может быть порядка 105 или 106 и выше. Таким образом,при больших задачу поиска собственных значений можно решить только численнымиметодами.Собственные значения необходимы для оценки скорости сходимости итерационных методов решения систем линейных уравнений.

При этом обычно достаточно найти минимальное и максимальное по модулю собственные значения. Таким образом, различают два видапроблем, связанных с поиском собственных значений матрицы:1. Частичная проблема собственных значений, которая заключается в нахождении некоторых собственных значений.2. Полная проблема собственных значений, которая заключается в нахождении всегоспектра матрицы.Очевидно, что частичная проблема является более простой, чем полная проблема.Степенной методРассмотрим частичную проблему собственных значений. Будем искать собственный векторпо формуле+1 = , ∈ Z+ , 0 задано.(1)Пусть { }=1 — собственные значения матрицы , среди которых могут быть повторяющиеся. Упорядочим их по неубыванию модулей:|1 | 6 |2 | 6 .

. . 6 | |.Будем доказывать сходимость степенного метода при выполнении трех условий:A) В пространстве R существует базис { } из собственных векторов матрицы .36Глава 1. Численные методы линейной алгебры⃒⃒⃒ −1 ⃒B) ⃒ ⃒ < 1.C) 0 = 1 1 + 2 2 + . . . + , где ̸= 0.Утверждение. Пусть вещественная матрица (×) такова, что выполнены условияA) – C). Тогда степенной метод для матрицы сходится по направлению к собственномувектору, отвечающему максимальному по модулю собственному значению: −→ .→∞Кроме того, для последовательности{︁}︁() , заданной одной из формул() =() =+1,( , )( , )справедлива следующая оценка сходимости к :(︃(︂)︂ )︃−1 () − = O.Доказательство. Покажем, что при выполнении условий A) – C) степенной метод сходится к собственному вектору матрицы , отвечающему максимальному по модулю собственному значению.Из рекуррентной формулы (1) получим: = 0 , ∈ N.Воспользуемся условиями A), C) и разложим -ую итерацию по базису из собственныхвекторов { } матрицы : 0 = =∑︁=1 =∑︁ = + −1 −1 −1 + .

. . + 1 1 1 .=1В силу условия C) ̸= 0. Кроме того, поскольку у матрицы существует хотя бы одноненулевое собственное значение, то максимальное по модулю из них гарантированно неравно нулю: ̸= 0. Поделив равенство на , получим:(︂)︂(︂)︂−1 −1 1 1 −1 + . . .

+1 .= + Перейдя к пределу при → ∞ и учитывая условие B), получим, что сходится по направлению к :lim = .→∞Рассмотрим два способа вычисления максимального по модулю собственного значенияматрицы . Первый способ состоит в вычислении отношения -ых координат ( + 1)-ой и-ой итераций.() = 1, , = 1 1 1 + . . . + (),§9. Методы решения задач на собственные значения37()()+1= 1 +11 + . . . + +1 ,1 = 1, .()Здесь — -ая координата вектора , = 1, .()()() =+1= ,(2)()()+1+1 +11 + −1 −1 −1 + . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1005,37 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее