Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Пусть выполнены условия (15). Тогда единственным решением задачи = 1, ( − 1), 0 = = 0( ) = 0,(16)является функция = 0, = 0, и, следовательно, задача (14) однозначно разрешимапри любых 1 , 2 и . В самом деле, предполагая, что решение задачи (16) хотя бы водной точке = * * ̸= 0, мы придем к противоречию с принципом максимума: если* > 0, то достигает наибольшего положительного значения (при * наименьшегоотрицательного значения) в некоторой точке 0 , 0 < 0 < , что невозможно.Теорема 2. (теорема сравнения) Пусть — решение задачи( ) = , = 1, ( − 1),0 = 1 , = 2 ,а — решение задачи( ) = , = 1, ( − 1),0 = 1 ,= 2 ,и пусть выполнены условия| | 6 , = 1, ( − 1),|1 | 6 1 ,|2 | 6 2 .Тогда | | 6 , = 0, .Доказательство.

В силу следствия 1 имеем > 0, = 0, , так как( ) > 0, = 1, ( − 1), 0 > 0, > 0Функции = − и = + удовлетворяют уравнению (14) с правыми частями − > 0, + > 0 и граничным условиям 0 = 1 − 1 > 0, = 2 − 2 > 0, 0 =1 +1 > 0, = 2 +2 > 0, соответственно. Согласно следствию 1 > 0 и > 0, = 0, или − 6 6 , то есть | | 6 , что и требовалось доказать.Функцию будем называть мажорантой для решения задачи (14). Если удается построить мажоранту , то тем самым удается получить оценку для решения задачи (14)‖‖ 6 ‖‖ .Следствие 3.

Для решения задачи( ) = 0, = 1, ( − 1), 0 = 1 , = 2справедлива оценка‖‖ = max | | 6 max(|1 |, |2 |)166(17)Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу( ) = 0,0 < < , 0 = = ,где = max(|1 |, |2 |). В силу теоремы сравнения ‖‖ 6 ‖‖ , а из теоремы 1 следует, что‖‖ 6 , так как > 0 может достигать наибольшего положительного значения толькона границе при = 0 или = . Следствие доказано.§7.

Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка141Теорема 3. Пусть выполнены условия| | > 0, | | > 0, = | | − | | − | | > 0, = 1, ( − 1)(18)Тогда для решения задачи( ) = , = 1, ( − 1), 0 = = 0,(19)справедлива оценка⃦ ⃦⃦ ⃦⃦‖‖ 6 ⃦⃦⃦ .Доказательство. Для доказательства этой теоремы запишем уравнение (14) в виде: = −1 + +1 + .(20)Пусть | | достигает своего наибольшего значения |0 | > 0 при = 0 , 0 < 0 < , так что|0 | > , = 0, . Тогда из уравнения (20) при = 0 следует|0 0 | = |0 ||0 | 6 |0 ||0 −1 | + |0 ||0 +1 | + 0 6 (|0 | + |0 |) |0 | + |0 |.Отсюда получаем:(|0 | − |0 | + |0 |)|0 | = 0 |0 | 6 |0 |.Следовательно,⃦ ⃦⃦ ⃦0⃦6⃦‖ ‖ = |0 | = max | | 6⃦⃦ ,166 −1 0что и требовалось доказать.Следствие 4.

Пусть () > 1 > 0. Тогда для решения задачи (19) справедлива оценка:‖‖ 6В самом деле, = ℎ2 | |. Следовательно,1‖‖ .1| |ℎ2 | |11= 26 | |. Отсюда ‖‖ 6 ‖‖ .ℎ||11Литература[1] А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы.М.: Наука, 1989.[2] Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы.М.: Наука, 1973.[3] А. А. Самарский. Теория разностных схем.М.: Наука, 1983.[4] А.

А. Самарский, Е. С. Николаев. Методы решения сеточных уравнений.М.: Наука, 1978.[5] И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений.М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.[6] Н. Н. Калиткин. Численные методы.М.: Наука, 1978.[7] В. И. Крылов, В. В. Бобков, П.

И. Монастырный. Вычислительные методы.М.: Наука, 1977.[8] Д. П. Костомаров, А. П. Фаворский. Вводные лекции по численным методам.М.: Логос, 2004.[9] В. В. Воеводин. Численные методы алгебры.М.: Наука, 1966.[10] Дж. Х. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений.М.: Наука, 1970..

Характеристики

Список файлов лекций