Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Запишем попеременно-треугольный итерационный метод:( + 1 )( + 2 ) (+1) − ()+ () = , ∈ ℎ , ∈ Z+ , (0) — задано,где действие матриц 1 и 2 на сеточную функцию определяется равенствами(1 ) = − −1, − ,−1+,2ℎ1ℎ22(2 ) = − +1, − ,+1+.2ℎ1ℎ22110Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиЗаметим, воспользовавшись результатами, полученными в §8 главы 1, что этот итерационный метод сходится при > 4 , а каждую следующую итерацию данного метода, как и врассмотренных ранее методах, можно вычислить по явным формулам.В заключение отметим, что при ℎ1 = ℎ2 = ℎ количество итераций 0 , необходимое дляполучения решения с заданной точностью > 0 обратно пропорционально шагу ℎ:(︀)︀0 () = O ℎ−1 .Таким образом, попеременно-треугольный итерационный метод на порядок быстрее методов Якоби и Зейделя и тем самым является эффективным методом, широко применяемымв настоящее время при численном решении разностной задачи Дирихле.§9Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьРассмотрим задачу:(()) = (), ∈ ,(1)где – линейный дифференциальный оператор, – произвольная, в общем случае многомерная, область.Произвольную линейную дифференциальную задачу, в том числе, содержащую краевыеи начальные условия, можно привести к виду (1).Мы рассматриваем алгоритмы решения только для корректно поставленных задач.
Задача (1) называется корректно поставленной, если1. Решение () рассматриваемой задачи существует и единственно.2. Решение () непрерывно зависит от входных данных, к которым относится праваячасть уравнения, краевые и начальные условия.Построим в области сетку ℎ с некоторым обобщенным шагом ℎ = max ℎ — максимальным среди всех используемых на сетке ℎ шагов ℎ . Заметим, что при ℎ → 0 числоузлов в данной сетке стремится к бесконечности.Поставим в соответствие непрерывным функциям () и () их дискретные аналогиℎ () и ℎ (), ∈ ℎ соответственно. Пусть также оператор ℎ является дискретным аналогом оператора .
Тогда поставим в соответствие исходной дифференциальной задаче еедискретный аналог:ℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ .(2)Замечание. Заметим, что дискретных аналогов каждого дифференциального уравнениявида (1) существует бесконечно много, поэтому при выборе такого аналога необходиморуководствоваться потребностями конкретной задачи и выбирать приближение оптимальным для данного случая образом.Определение. Дискретная задача вида (2) называется разностной схемой для уравнения (1).Замечание.
Заметим, что разностная схема является, фактически, системой линейных алгебраических уравнений, и при малых значениях шага ℎ является системой высокихпорядков.§9. Основные понятия теории разностных схем111При рассмотрении приближений заданных в непрерывной области задач их дискретными аналогами встает вопрос о том, каким образом измерять близость решений обеих задач.Существует два способа измерения близости решений уравнений (1) и (2).Введем два линейных пространства: 0 – пространство непрерывных функций, котороеудовлетворяет уравнению (1), и ℎ – пространство дискретных функций, удовлетворяющихуравнению (2).
Близость функций из пространств 0 и ℎ можно измерять:1. В норме пространства ℎ .Пусть ℎ – оператор проектирования пространства 0 на пространство ℎ . Тогдаблизость функций () и ℎ () будем измерять в норме ‖·‖ℎ пространства ℎ . Если‖ℎ (()) − ℎ ()‖ℎ → 0,то в этой норме ℎ () сходится к ().2. В норме пространства 0 с помощью восстановления дискретной функции ℎ () донепрерывной функции пространства 0 .Замечание. При рассмотрении норм в пространствах 0 и ℎ необходимо учесть, чтонормы в этих пространствах должны быть согласованными, то есть должен существовать пределlim ‖ℎ (())‖ℎ = ‖‖0 ,(3)ℎ→0где ‖·‖0 — норма в пространстве 0 . Как будет показано после доказательства теоремыФилиппова, согласованность норм гарантирует сходимость решения разностной схемыименно к решению исходного уравнения — если согласованность не выполнена, мы можемполучить сходящуюся разностную схему, но сходиться она будет не к решению исходногоуравнения.Пример.
Рассмотрим область = { : 0 6 6 1} и зададим на этой области равномернуюсетку с шагом ℎ и числом узлов, равным ∈ N:ℎ = { = ℎ, = 0, , ℎ = 1}.Введем нормы в пространствах 0 и ℎ . В пространстве 0 :‖‖0 = ‖‖ = max |()|,0661() ∈ 0 .В пространстве ℎ :∀ℎ = (0 , 1 , . . . , ) ∈ ℎ‖ℎ ‖ℎ = ‖ℎ ‖ = max | |.066Для введенных таким образом норм выполняется условие согласованности.Рассмотрим еще несколько примеров:1. Пусть 0 — пространство функций, интегрируемых с квадратом. Введем норму⎛ 1⎞ 12∫︁‖‖0 = ⎝ 2 ()⎠ = ‖‖2 , () ∈ 0 .0Тогда рассмотрим в дискретном пространстве ℎ следующую норму:(︃ )︃ 21∑︁2 ℎ‖ℎ ‖ℎ == ‖ℎ ‖2 (ℎ ) , ℎ ∈ ℎ .=0Для этих норм выполнено условие согласованности.112Глава 4.
Разностные методы решения задач математической физики2. Введем норму в дискретном пространстве ℎ(︃‖ℎ ‖ℎ =∑︁)︃ 212, ℎ ∈ ℎ .=0Докажем, что эта норма не согласована ни с одной нормой пространства 0 .Пусть () ∈ 0 : () ≡ 1. Тогда(︃ )︃ 21∑︁√‖ℎ (())‖ℎ == 2 + 1.1=0Следовательно, при ℎ → 0lim ‖ℎ (())‖ℎ = ∞.ℎ→0Очевидно, что ‖‖0 не может равняться бесконечности, так как норма должна бытьконкретным числом. Значит норма ‖·‖ℎ не согласована ни с одной нормой пространства 0 .Рассмотрим подробнее оператор проектирования ℎ пространства 0 на пространствоℎ . Ранее в этом параграфе мы предполагали, что этот оператор задан следующим образом:(ℎ ())( ) = ( ), ∈ ℎ ,() ∈ 0 .Однако оператор проектирования можно ввести бесконечным числом способов.
Например,оператор проектирования1(ℎ ())( ) =ℎ∫︁+0.5ℎ(),() ∈ 0 , −0.5ℎзадает среднее значение функции () в узле , = 1, . Значения оператора в граничныхточках области ℎ определяются следующим образом:1(ℎ ())(0 ) =0.5ℎ0.5ℎ∫︁(),0∫︁11(ℎ ())( ) =0.5ℎ().1−0.5ℎПерейдем к основным понятиям теории разностных схем.Определение. Сеточная функцияℎ () = ℎ () − ℎ () = ℎ () − ℎ (()),ℎ () ∈ ℎ , () ∈ 0 ,(4)называется погрешностью разностной схемы (2).Подставим выражение ℎ () = ℎ () + ℎ () в разностную схему (2) и получим разностную схему относительно погрешности ℎ ():ℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ ,(5)гдеℎ () = ℎ () − ℎ ℎ ().(6)§9.
Основные понятия теории разностных схем113Определение. Сеточная функция, задаваемая соотношением (6), называется погрешностью аппроксимации на решении исходной задачи (1).Замечание. Погрешность аппроксимации можно представить в виде суммы погрешности приближения оператора и погрешности приближения правой части.Определение. Разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу, еслиlim ‖ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Определение. Разностная схема (2) имеет -ый порядок аппроксимации, если существуют положительные константы 1 и , не зависящие от шага ℎ, такие, что‖ℎ ‖ℎ 6 1 ℎдля достаточно малых ℎ.Определение. Разностная задача (2) называется корректно поставленной, если при достаточно малых ℎ выполнено:1.
При любых погрешностях аппроксимации ℎ и при любых правых частях ℎ решениезадачи (2) ℎ () существует и единственно.2. Существует константа 2 , не зависящая от шага ℎ, для которой выполнена априорная оценка:‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .Это оценка означает устойчивость в норме ‖·‖ℎ решения разностной схемы по правой части уравнения.Замечание 1. Свойства существования и единственности решения задачи определяютсуществование оператора −1ℎ .Замечание 2. Второе условие корректности постановки задачи означает равномернуюограниченность по ℎ оператора −1ℎ .Определение. Решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной дифференциальной задачи (1), еслиlim ‖ℎ ‖ℎ = lim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0ℎ→0Определение.
Разностная схема (2) имеет -ый порядок точности, если существуетконстанта 3 , не зависящая от шага ℎ, такая, что‖ℎ ‖ℎ 6 3 ℎ .Теорема 1. (Филиппова). Пусть исходная задача (1) и разностная схема (2) поставленыкорректно, и пусть разностная схема аппроксимирует исходную задачу. Тогда решениеразностной задачи сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности разностной схемы совпадает с порядком аппроксимации.Доказательство. Рассмотрим задачу для погрешности разностной схемы (5). Так как поусловию разностная схема корректна, то выполнено условие‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ ,114Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикигде константа 2 не зависит от ℎ.
Заметим, что задача для погрешности ℎ ∈ ℎ тоже является корректно поставленной, значит, для погрешности выполнена аналогичная оценка:‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .Так как разностная схема аппроксимирует исходную задачу, тоlim ‖ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Пусть разностная схема имеет -ый порядок аппроксимации:‖ℎ ‖ℎ 6 1 ℎ ,где константа 1 не зависит от ℎ. Тогда аналогичная оценка справедлива и для погрешности ℎ :‖ℎ ‖ℎ 6 3 ℎ ,где 3 = 2 1 > 0, не зависит от ℎ. Это и означает, что разностная схема (2) сходится с-ым порядком точности по ℎ.Замечание. При доказательстве теоремы условие согласованности норм (3) не использовалось. Это условие нужно для того, чтобы гарантировать единственность предельнойфункции.Покажем, что возможно отсутствие сходимости решения задачи (2) к исходной задаче (1), если нормы пространств 0 и ℎ не согласованы.
Пустьlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Мы хотим выяснить, существует ли какая-либо другая функция () ∈ 0 , для которойlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Покажем, что если норма ‖·‖0 пространства 0 согласована с нормой ‖·‖ℎ пространства ℎ ,то функция (), если существует, то тождественно совпадает с функцией (). Оценимнорму ‖ℎ − ℎ ‖ℎ :‖ℎ − ℎ ‖ℎ = ‖ℎ − ℎ − (ℎ − ℎ )‖ℎ 6 ‖ℎ − ℎ ‖ℎ + ‖ℎ − ℎ ‖ℎ .Так какlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0,ℎ→0lim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0,ℎ→0тоlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0В случае согласованности норм отсюда следует, что‖() − ()‖0 = 0,а это значит, что функции () и () совпадают: () ≡ (), и решение разностнойсхемы (2) ℎ однозначно определяет решение исходной задачи (1).Этот факт гарантируется согласованностью норм пространств 0 и ℎ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
