Численные методы. Ионкин (2013) (1160444), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Эти точки называются узлами сетки.В частности, равномерная сетка размера ( − 1) × , , ∈ N в рассматриваемойобласти вводится так:{︁}︁{︀}︀ℎ = = ℎ, = 1, ( − 1) , = = , = 1, ,1> 0, => 0.Величину ℎ назовем шагом по переменной , величину — шагом по времени.Тогда множество точекℎ = ℎ × ⊂ ℎ=задает равномерную сетку с шагом ℎ по переменной и шагом по времени в области .Эта сетка изображена на рисунке.Tℎ1Аналогичным образом введем равномерную сетку размера ( + 1) × ( + 1) на замыкании области с теми же размерами шагов ℎ и по переменной и по временисоответственно.
Эту сетку задает множество точек ℎ = ℎ × ⊂ = {(, ) : ∈ [0, 1], ∈ [0, ]},где{︀}︀{︀}︀ ℎ = = ℎ, = 0, , = = , = 0, .В дальнейшем везде, где мы рассматриваем уравнение теплопроводности, будем использовать введенные сетки, если не указано иное.82Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиЗамечание. В общем случае сетки могут иметь более сложную структуру, например,использовать переменный шаг, который зависит от расположения конкретной пары узлов, или для многомерной области иметь более сложную структуру расположения узлов относительно друг друга (в рассматриваемом примере равномерная сетка являетсяпрямоугольной).
В последнее время часто используются сетки, автоматически подстраивающиеся под решение конкретной задачи.Определение. Совокупность всех узлов в фиксированный момент времени называется слоем. Слой, для которого = 0, будем называть нулевым слоем, в котором заданоначальное приближение.§2Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивостьРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ),2(, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},(1){︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1](3)и построим для него разностную схему.Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы на множествах и соответственно.Определение.
Сеточной функцией называется функция дискретного аргумента на заданной сетке, то есть такая функция определена только в узлах данной сетки.Поставим в соответствие непрерывным функциям (, ) и (, ) их дискретные аналоги. Введем обозначения для ( , ) ∈ ℎ : = ( , ), = ( , ).Обозначим численное решение задачи через( , ) = ,( , ) ∈ ℎ .( , ) является сеточной функцией, заданной на сетке ℎ .Поставим в соответствие производным функции (, ) их дискретные аналоги дляфункции ( , ): +1 − ( , )≈ , − 2 + −1 2 ( , )+1≈.22ℎПолучаем дискретный аналог уравнения (1): − 2 + +1+1 − = −1+ ( , ),ℎ2( , ) ∈ ℎ .(4)§2.
Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость83Запишем дискретные аналоги краевых условий первого рода (2) и начального условия (3):{︃0 = 1 ( )(5) ∈ , = ( ),2 0 = 0 ( ), ∈ ℎ .(6)Определение. Дискретным аналогом задачи (1) – (3), или ее разностной схемой, называется система линейных уравнений (4) – (6).+1Замечание 1. В первой краевой задаче численные значения решения 0+1 и равнызначениям функций 1 () и 2 () соответственно при = +1 (хотя это и не обязательно). В случае краевых условий иного типа, аппроксимация краевых условий должна бытьсогласована по порядку погрешности с порядком аппроксимации уравнения.Замечание 2.
Заметим, что в уравнении (4) значения функции (, ) необязательно брать именно в узлах рассматриваемой сетки, можно использовать значения этойфункции с некоторой «поправкой». Что именно имеется в виду под «поправкой», будетрассмотрено далее, а так же будет показано, что выбор значений функции (, ) дляразностной схемы, использующих такую «поправку», позволит получить более высокийпорядок погрешности аппроксимации, а стало быть и более точное решение исходногоуравнения.Замечание 3. Качество и скорость решения численной задачи (4) – (6) во многом зависит от выбора числа узлов сетки ℎ : чем меньше узлов в сетке, тем меньше уравненийсодержится в системе, тем проще и быстрее ее решать, но и приближение решенияисходной задачи в этом случае будет более грубым и наоборот.При изучении разностных схем возникают следующие вопросы:1.
Погрешность аппроксимации на решении (невязка).Каждой задаче может быть сопоставлено бесконечное число разностных схем, оценка погрешности аппроксимации позволяет их сравнивать. Разностная схема должнааппроксимировать исходную дифференциальную задачу. Если же аппроксимация отсутствует, то не будет сходимости решения численной задачи к решению исходнойзадачи, и рассмотрение такой разностной схемы не имеет смысла.2.
Существование и единственность решения разностной задачи.Построенная разностная задача должна быть корректной, то есть должно существовать единственное решение. В ряде случаев доказательство существования и единственности решения является нетривиальной задачей.3. Алгоритм нахождения разностного решения.В разностных схемах матрица системы линейных уравнений как правило содержитбольшое количество нулей.
Для таких систем существуют более эффективные алгоритмы решения, чем универсальный метод Гаусса, например, для систем с трехдиагональной матрицей разумно использовать метод прогонки.4. Сходимость разностной схемы.Необходимо изучить условия, при которых решение данной разностной схемы сходится к точному решению исходной задачи с любой наперед заданной точностью.84Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиНапомним, что сходимость рассматривается для каждой нормы, введенной на пространстве сеточных функций, независимо ( то есть из сходимости в некоторой нормеконечномерного пространства, вообще говоря, не следует сходимость в другой нормеэтого пространства).5. Устойчивость разностной схемы.Устойчивость в данном контексте является чисто внутренним свойством разностныхсхем: разностная схема называется устойчивой в норме ‖·‖, если выполнена априорнаяоценка‖‖ 6 ‖ ‖,где > 0 — константа, не зависящая от шагов сетки.Для построения разностной схемы, обладающей хорошими свойствами, необходимо изучитьвсе пять вопросов.Замечание.
Вопросы сходимости и устойчивости разностной схемы являются ключевыми, однако обычно достаточно рассмотреть только один из этих двух вопросов: в концекурса будет доказано, что из устойчивости разностной схемы следует ее сходимость крешению исходной задачи при условии, что разностная схема аппроксимирует исходнуюзадачу.Определение. Совокупность узлов, которые участвуют в записи разностной схемы,называют шаблоном.Вернемся к изучению явной разностной схемы.В рассматриваемой разностной схеме использован четырехточечный шаблон, схематично изображенный на рисунке.+1−1+1Для построенной разностной схемы решение на ( + 1)-ом слое находится явно, поэтомуи рассматриваемая разностная схема называется явной:+1 = + (− 2 + +1) + , = 1, ( − 1),ℎ2 −1{︃0+1 = 1 (+1 )+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), = 0, .Выведенные явные формулы нахождения решения позволяют утверждать, что решениеразностной схемы (4) – (6) существует и единственно, значит, мы получили ответ на вопрос (2).Перейдем к исследованию оставшихся вопросов.
Как мы уже упоминали в главе «Интерполирование и приближение функций», существует два подхода к измерению близоститочного решения задачи (1) – (3) (непрерывной функции) и численного решения задачи (4) –(6) (сеточной функции):1. Спроектировать непрерывную функцию (, ) на дискретное пространство и измерять близость функций (, ) и в норме дискретного пространства.§2. Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость852.
С помощью интерполирования восполнить функцию до непрерывной и сравниватьрассматриваемые функции в пространстве непрерывных функций.В этом курсе мы будем пользоваться первым подходом.Определение. Сеточная функция вида = ( , ) = − , ( , ) ∈ ℎ(7)называется погрешностью решения разностной схемы (4) – (6).Выразим = + и подставим это выражение в разностную схему. Получим системууравнений для , аналогичную разностной схеме, но с нулевыми краевыми условиями инулевой начальной функцией: − 2 + +1+1 − = −1+ ,ℎ2+10+1 = = 0,0 = 0,( , ) ∈ ℎ ,(8)+1 ∈ , ∈ ℎ .(9)(10)Определение. Сеточная функция, задаваемая равенством =−1 − 2 + +1 +1− −+ ,ℎ2(11)называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4) – (6) на решении исходной задачи.(︀)︀Задача.
Доказать, что = O + ℎ2 .Решение. Здесь и далее ( , ) ∈ ℎ , = 0, , = 0, .Разложим ( , +1 ) в узле ( , ) по формуле Тейлора:( , +1 ) = +1= ( , ) + ′ ( , ) + ( 2 ).Разложим (+1 , ) в узле ( , ) по формуле Тейлора:11(+1 , ) = +1 = ( , ) + ′ ( , )ℎ + ′′ ( , )ℎ2 + ′′′( , )ℎ3 + (ℎ4 ).26 Разложим (−1 , ) в узле ( , ) по формуле Тейлора (далее всюду при использованииформулы Тейлора мы будем предполагать, что разлагаемая функция обладает нужнойгладкостью, то есть имеет непрерывные производные до соответствующего по ходу разложения порядка):11(−1 , ) = −1 = ( , ) − ′ ( , )ℎ + ′′ ( , )ℎ2 − ′′′( , )ℎ3 + (ℎ4 ).26 Полученные разложения подставим(︀)︀в формулу (11) и после приведения подобных слагае2мых получим оценку = O + ℎ .Введем норму в пространстве сеточных функций на -ом слое, = 0, :‖ ‖ = max | |.066Мы рассматриваем решение разностной задачи по слоям, поэтому нет необходимости вводить норму как максимум модуля для всех слоев.86Глава 4.
Разностные методы решения задач математической физикиТеорема. Пусть функция (, ) обладает достаточной гладкостью (четыре раза дифференцируема по и два раза по ). Тогда для сходимости решения разностной схемы (4) –(6) к решению исходной задачи (1) – (3) в норме ‖·‖ необходимо и достаточно, чтобывыполнялось условие: = 2 6 0.5.ℎКроме того, выполняется оценка:⃦⃦ +1(︀)︀⃦− +1 ⃦ 6 1 + ℎ2 ,где 1 > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.Доказательство. Докажем, что выполнения условия теоремы достаточно для сходимостиразностной схемы к решению исходной задачи.Запишем выражение для +1 в виде(︀ )︀+1 = (1 − 2) + −1+ +1+ и ограничим левую часть равенства по модулю с учетом того, что 1 − 2 > 0, так каквыполнено условие теоремы⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ +1 ⃒(︀⃒ ⃒ ⃒ ⃒)︀⃒ + ⃒+1 ⃒ + ⃒ ⃒.⃒⃒ 6 (1 − 2) ⃒ ⃒ + ⃒−1Перейдем в правой части неравенства от модулей слагаемых к нормам соответствующихвекторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
