main (1160440), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Напомним, что константы 1 и 2используются в определении области : = {(1 , 2 ) : 1 ∈ R, 0 < 1 < 1 ; 2 ∈ R, 0 < 2 < 2 } .Задача. Показать, что выполнено равенство ℎ = 4.Далее рассмотрим две задачи: задачу для погрешности разностной схемы (3) и для мажоранты (4). Выберем таким образом, чтобы было выполнено равенство4 = ‖‖и заметим, что справедливы следующие неравенства, вытекающие из доказанного следствия:| | 6 , ∈ Γℎ ,| | 6 ‖‖ = 4, ∈ ℎ .Таким образом, во всех узлах сетки ℎ выполняется оценка:| | 6 , ∈ ℎ , 0 6 6‖‖ 612 + 22‖‖ ,412 + 22‖‖ .⏟ 4⏞(5)1Так как(︀)︀‖‖ 6 2 ℎ21 + ℎ22 ,где 2 — константа, не зависящая от шагов сетки ℎ1 и ℎ2 .

Тогда с учетом (5), получаемискомую оценку(︀)︀‖‖ 6 ℎ21 + ℎ22 ,где = 1 2 — константа, не зависящая от шагов сетки ℎ1 и ℎ2 .108Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиЗамечание. Если в разностной схеме (2) заменить краевое условие нулевым, то получимзадачу, аналогичную разностной задаче (3) для погрешности разностной схемы. Тогдадля решения разностной схемы (2) можно вывести оценку, аналогичную оценке (5) дляпогрешности :2 + 22‖‖ 6 1 ‖ ‖ = 1‖ ‖ .4Эта неравенство означает, что решение разностной схемы устойчиво.§8Методы решения разностной задачи ДирихлеРассмотрим разностную задачу Дирихле:⎧(︂)︂−1, + +1,,−1 + ,+122⎪⎪+− ,⎪2⎨ ℎ2 + ℎ2 =ℎ1ℎ2212⎪⎪⎪⎩ | = .

Γℎ = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),(1)Для нахождения решения этой разностной схемы нужно решить СЛАУ с матрицей порядка (1 − 1) × (2 − 1). Заметим, что матрица системы разрежена, то есть среди элементовэтой матрицы содержится большое количество нулей. Очевидно, что использование классического метода Гаусса для решения такой системы не будет оптимальным. Существуютзначительно более эффективные как прямые, так и итерационные методы решения системы (1).

Рассмотрим несколько итерационных методов, решающих поставленную задачу:методы Якоби, Зейделя и попеременно-треугольный итерационный метод.Метод ЯкобиИтерационный процесс задается схемой⎧(︂)︂()()()()−1, + +1,,−1 + ,+1⎪22(+1)⎪⎪=+− ,⎪⎨ ℎ2 + ℎ2 ℎ21ℎ2212⎪⎪⃒⎪⎪⎩ (+1) ⃒⃒ = , = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),Γℎ(0)где ∈ Z+ , — задано.Пусть шаги сетки равны: ℎ1 = ℎ2 = ℎ. Тогда количество итераций 0 , необходимое дляполучения решения методом Якоби с заданной точностью > 0, обратно пропорциональноквадрату шага ℎ:(︀)︀0 () ≈ O ℎ−2 .Метод ЗейделяМетод Зейделя имеет такую же скорость сходимости, что и метод Якоби.

Он задаетсясхемой⎧(︂)︂(+1)()(+1)()−1, + +1,,−1 + ,+1⎪22(+1)⎪⎪=+− , = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),⎪⎨ ℎ2 + ℎ2 ℎ21ℎ2212⎪⎪⃒⎪⎪⎩ (+1) ⃒⃒ = ,Γℎ§8. Методы решения разностной задачи Дирихле109(0)где ∈ Z+ , — задано.Убедимся что решение этой разностной схемы, вообще говоря, неявной, можно найтипо явным формулам:(+1)1. Найдем 11из выражения(︂(+1)Видно, что 1122+ℎ21 ℎ22())︂(+1)11=2,1ℎ21()+1,2ℎ22− 11 .находится по явной формуле.(+1)2. Затем находим 1(︂, = 1, (2 − 1):22+ 22ℎ1 ℎ2(+1)вычисляя значения 1,дущем шаге значения()(+1)1=2,ℎ21(+1)+()1,−1 + 1,+1ℎ22− 1 ,последовательно, начиная с = 2.(+1)3. Аналогично находим 2)︂, = 1, (2 − 1), используя уже вычисленные на преды-(+1)1 , = 1, (2 − 1).(+1)4.

Продолжая таким же образом вычисления, получим все значения с узла 11 и заканчивая узлом 1 −1,2 −1 , по явным формулам., начинаяПопеременно-треугольный итерационный методЗапишем систему уравнений (1) в виде = ,обозначив за матрицу системы (1), за — ее правую часть; — численное решение.Нетрудно проверить, что матрица — самосопряженная и положительно определенная: = * > 0.Как и в §8 главы 1, представим матрицу в виде суммы = 1 + 2 ,где матрица 1 имеет нижнетреугольную форму, а матрица 2 — верхнетреугольную.

Запишем попеременно-треугольный итерационный метод:( + 1 )( + 2 ) (+1) − ()+ () = , ∈ ℎ , ∈ Z+ , (0) — задано,где действие матриц 1 и 2 на сеточную функцию определяется равенствами(1 ) = − −1, − ,−1+,2ℎ1ℎ22(2 ) = − +1, − ,+1+.2ℎ1ℎ22110Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиЗаметим, воспользовавшись результатами, полученными в §8 главы 1, что этот итерационный метод сходится при > 4 , а каждую следующую итерацию данного метода, как и врассмотренных ранее методах, можно вычислить по явным формулам.В заключение отметим, что при ℎ1 = ℎ2 = ℎ количество итераций 0 , необходимое дляполучения решения с заданной точностью > 0 обратно пропорционально шагу ℎ:(︀)︀0 () = O ℎ−1 .Таким образом, попеременно-треугольный итерационный метод на порядок быстрее методов Якоби и Зейделя и тем самым является эффективным методом, широко применяемымв настоящее время при численном решении разностной задачи Дирихле.§9Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьРассмотрим задачу:(()) = (), ∈ ,(1)где – линейный дифференциальный оператор, – произвольная, в общем случае многомерная, область.Произвольную линейную дифференциальную задачу, в том числе, содержащую краевыеи начальные условия, можно привести к виду (1).Мы рассматриваем алгоритмы решения только для корректно поставленных задач.

Задача (1) называется корректно поставленной, если1. Решение () рассматриваемой задачи существует и единственно.2. Решение () непрерывно зависит от входных данных, к которым относится праваячасть уравнения, краевые и начальные условия.Построим в области сетку ℎ с некоторым обобщенным шагом ℎ = max ℎ — максимальным среди всех используемых на сетке ℎ шагов ℎ . Заметим, что при ℎ → 0 числоузлов в данной сетке стремится к бесконечности.Поставим в соответствие непрерывным функциям () и () их дискретные аналогиℎ () и ℎ (), ∈ ℎ соответственно.

Пусть также оператор ℎ является дискретным аналогом оператора . Тогда поставим в соответствие исходной дифференциальной задаче еедискретный аналог:ℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ .(2)Замечание. Заметим, что дискретных аналогов каждого дифференциального уравнениявида (1) существует бесконечно много, поэтому при выборе такого аналога необходиморуководствоваться потребностями конкретной задачи и выбирать приближение оптимальным для данного случая образом.Определение.

Дискретная задача вида (2) называется разностной схемой для уравнения (1).Замечание. Заметим, что разностная схема является, фактически, системой линейных алгебраических уравнений, и при малых значениях шага ℎ является системой высокихпорядков.§9. Основные понятия теории разностных схем111При рассмотрении приближений заданных в непрерывной области задач их дискретными аналогами встает вопрос о том, каким образом измерять близость решений обеих задач.Существует два способа измерения близости решений уравнений (1) и (2).Введем два линейных пространства: 0 – пространство непрерывных функций, котороеудовлетворяет уравнению (1), и ℎ – пространство дискретных функций, удовлетворяющихуравнению (2).

Близость функций из пространств 0 и ℎ можно измерять:1. В норме пространства ℎ .Пусть ℎ – оператор проектирования пространства 0 на пространство ℎ . Тогдаблизость функций () и ℎ () будем измерять в норме ‖·‖ℎ пространства ℎ . Если‖ℎ (()) − ℎ ()‖ℎ → 0,то в этой норме ℎ () сходится к ().2. В норме пространства 0 с помощью восстановления дискретной функции ℎ () донепрерывной функции пространства 0 .Замечание. При рассмотрении норм в пространствах 0 и ℎ необходимо учесть, чтонормы в этих пространствах должны быть согласованными, то есть должен существовать пределlim ‖ℎ (())‖ℎ = ‖‖0 ,(3)ℎ→0где ‖·‖0 — норма в пространстве 0 . Как будет показано после доказательства теоремыФилиппова, согласованность норм гарантирует сходимость решения разностной схемыименно к решению исходного уравнения — если согласованность не выполнена, мы можемполучить сходящуюся разностную схему, но сходиться она будет не к решению исходногоуравнения.Пример.

Рассмотрим область = { : 0 6 6 1} и зададим на этой области равномернуюсетку с шагом ℎ и числом узлов, равным ∈ N:ℎ = { = ℎ, = 0, , ℎ = 1}.Введем нормы в пространствах 0 и ℎ . В пространстве 0 :‖‖0 = ‖‖ = max |()|,0661() ∈ 0 .В пространстве ℎ :∀ℎ = (0 , 1 , . . . , ) ∈ ℎ‖ℎ ‖ℎ = ‖ℎ ‖ = max | |.066Для введенных таким образом норм выполняется условие согласованности.Рассмотрим еще несколько примеров:1. Пусть 0 — пространство функций, интегрируемых с квадратом.

Введем норму⎛ 1⎞ 12∫︁‖‖0 = ⎝ 2 ()⎠ = ‖‖2 , () ∈ 0 .0Тогда рассмотрим в дискретном пространстве ℎ следующую норму:(︃ )︃ 21∑︁2 ℎ‖ℎ ‖ℎ == ‖ℎ ‖2 (ℎ ) , ℎ ∈ ℎ .=0Для этих норм выполнено условие согласованности.112Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики2. Введем норму в дискретном пространстве ℎ(︃‖ℎ ‖ℎ =∑︁)︃ 212, ℎ ∈ ℎ .=0Докажем, что эта норма не согласована ни с одной нормой пространства 0 .Пусть () ∈ 0 : () ≡ 1.

Характеристики

Список файлов лекций