main (1160440), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При = 0.5, = ( , + 1 ) получаем симметричную разностную схему.2Замечание. Среди всех разностных схем семейства (4) явной является только схема с = 0, все остальные — неявные.Введем погрешность решения разностной схемы: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из этого выражения и подставив его в уравнение (4), получим задачу относительно :+1 − +1= ,+ (1 − ),+ ,{︃0+1 = 0+1= 0,0 = 0,( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,+1 ∈ , ∈ ℎ ,(7)(8)(9)где — погрешность аппроксимации на решении задачи (1) – (3): = +1, + (1 − ), −+1− + .(10)Далее считаем, что = 1, − 1, = 1, − 1.Пусть решение (, ) задачи (1) – (3) имеет достаточную гладкость (функция (, )шесть раз дифференцируема по и три раза дифференцируема по ). Обозначим ′ = ˙ =′′ , = = . Разложим значения +1 = (+1 , ) и −1 = (−1 , ) в ряд Тейлора вточке ( , ):ℎ2ℎ3ℎ4 (4)+1 = + ℎ′ + ′′ + ′′′+ + ...,26 24 §5.
Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении101ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 (4) − + + . . .2 624Разложим в ряд Тейлора в точке ( , + 1 ) значения функции ( , ) на ( + 1)-ом и -ом2слоях:2 3 ... (+ 1 ) + . . . ,+1=()+)+)+˙(¨(111 + + +22222848−1 = − ℎ′ +2 3 ... (+ 1 ) + .
. . , = (+ 1 ) − ˙ (+ 1 ) + ¨ (+ 1 ) −22222848Воспользовавшись записанными выше разложениями, получим следующее выражение длявторой дискретной производной:, =(︀ )︀ℎ2 (4)+1 + −1 − 2′′=+ + O ℎ4 .2ℎ12(11)Вычтем выражение для из выражения для +1, разделим результат на ̸= 0 и получим:(︀ )︀+1− = ˙ (+ 1 ) + O 2 .2Подставим выражения (11) и (12) в уравнение (10):(︂)︂(︀ 2 )︀ ′′ ℎ2 (4)′′ = + ˙ + + O ℎ+212)︂(︂(︀ 2 )︀(︀)︀ ′′ ℎ2 (4)′′− ˙ + + O 2 + ℎ4 .+(1 − ) − ˙ + + O ℎ212(12)(13)Воспользуемся неравенством, связывающим среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 2 и ℎ4 : 2 + ℎ4 ℎ2 6.2(︀)︀(︀)︀Следовательно, O ℎ2 = O 2 + ℎ4 .Сгруппируем слагаемые в уравнении (13) следующим образом:(︀)︀ℎ2 (4) + O 2 + ℎ4 =12(︀)︀ℎ2 (4)= ′′ − ˙ + (+ 1 ) + − (+ 1 ) + ( − 0.5)˙ ′′ + + O 2 + ℎ4 .2212⏟⏞ = ′′ − ˙ + + ( − 0.5)˙ ′′ +(14)0Для получения четвертого порядка по ℎ для погрешности аппроксимации на решенииℎ2 (4)необходимо исключить из уравнения (14) члены порядка ℎ2 , то есть слагаемое .12 Рассмотрим уравнение:′′ = ˙ − .(4)Продифференцируем это равенство два раза по и получим выражение для :(4)= ˙ ′′ − ′′ .Подставим это выражение в равенство (14):(︂)︂(︀)︀ℎ2ℎ2 = − (+ 1 ) + ( − 0.5) +˙ ′′ − ′′ (+ 1 ) + O 2 + ℎ4 .221212102Глава 4.
Разностные методы решения задач математической физики(︂)︂ℎ2Выберем так, чтобы коэффициент ( − 0.5) +обратился в нуль:12* =1ℎ2−.2 12Теперь если положить = * , = (+ 1 ) +2ℎ2 ′′ ( 1 ),12 + 2(︀)︀то погрешность аппроксимации на решении задачи (1) – (3) будет иметь порядок O 2 +ℎ4 .Определение. Разностная схема (4) – (6) при=ℎ21−,2 12 = (+ 1 ) +2ℎ2 ′′ ( 1 )12 + 2называется разностной схемой повышенного порядка точности.Замечание. Если(︀ )︀(︀)︀ = 0, = (+ 1 ) + O ℎ2 , то = O + ℎ2 ,2(︀ )︀(︀)︀ = 1, = (+ 1 ) + O ℎ2 , то = O + ℎ2 ,2(︀)︀(︀)︀ = 0.5, = (+ 1 ) + O 2 + ℎ2 , то = O 2 + ℎ2 .2(︀)︀При всех остальных погрешность аппроксимации имеет порядок O + ℎ2 .§6Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задачаРассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона:⎧ 22⎨ + = ( , ), ( , ) ∈ ,1 21 2222⎩ 1(1 , 2 )|Γ = (1 , 2 ),(1)где — прямоугольная область: = {(1 , 2 ) : 1 ∈ R, 0 < 1 < 1 ; 2 ∈ R, 0 < 2 < 2 } ,а Γ — граница этой области.Решением первой краевой задачи называется функция (1 , 2 ), удовлетворяющая системе уравнений (1), для которой выполнены следующие условия:(︀ )︀(1 , 2 ) ∈ , = ∪ Γ, (1 , 2 ) ∈ 2 ().Введем на области сетку с шагами ℎ1 = 11 и ℎ2 = 22 , где 1 , 2 ∈ N — размерысетки (узлы этой сетки обозначены на рисунке окружностями):{︁(︁)︁}︁() ()()()ℎ =1 , 2 : 1 = ℎ1 , 2 = ℎ2 , = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1).Добавим к этой сетке узлы на границе Γ (обозначены на рисунке квадратами):2 −11 −11 −12 −1Γℎ = {0, }=1 ∪ {1 , }=1 ∪ {,0 }=1 ∪ {,2 }=1 .§6.
Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задача103Обозначим ℎ = ℎ ∪ Γℎ .22ℎ211ℎ1Пусть — сеточная функция, определенная на сетке ℎ . Определим для этой функцииразностные производные второго порядка по 1 и второго порядка по 2 в узле ∈ ℎ :1 1 , =+1, − 2 + −1,,ℎ212 2 , =,+1 − 2 + ,−1ℎ22и поставим в соответствие задаче (1) разностную схему(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = ,(2)где , — значения функций (1 , 1 ) и (1 , 2 ) в узлах ∈ ℎ . Этой разностной схемесоответствует пятиточечный шаблон типа «крест»:,+1−1,+1,,−1Введем погрешность решения численной задачи:(︁)︁() () = − 1 , 2 = − .Погрешность удовлетворяет следующей разностной схеме:(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = − , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = 0.где — погрешность аппроксимации на решении исходного уравнения (1): = − + 1 1 , + 2 2 , .104Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиЗадача.
Показать, что справедлива следующая оценка погрешности аппроксимации на решении исходной задачи (1):(︀)︀ = O ℎ21 + ℎ22 .§7Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностнойзадачи ДирихлеПродолжаем рассматривать задачу Дирихле⎧ 22⎨ + = ( , ), ( , ) ∈ ,1 21 2222⎩ 1(1 , 2 )|Γ = (1 , 2 )(1)Запишем разностную схему (2) из §6 в виде:⎧⎨ −1, − 2 + +1, + ,−1 − 2 + ,+1 = ,ℎ21ℎ22⎩ |Γℎ = .
= 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),Напомним, что , — значения непрерывных функций (1 , 1 ) и (1 , 2 ) в узлах сеткиℎ . Разрешим эту схему относительно центрального узла :)︂⎧(︂⎨ 2 + 2 = −1, + +1, + ,−1 + ,+1 − , = 1, ( − 1), = 1, ( − 1),12ℎ2 ℎ22ℎ21ℎ22⎩ 1 |Γℎ = .(2)Для того, чтобы эта система имела решение при любых значениях функций (1 , 2 )и (1 , 2 ), необходимо и достаточно, чтобы однородная система линейных уравнений имела только тривиальное решение.Пусть 1 −1,2 −1 — пространство сеточных функций, определенных на сетке ℎ и обращающихся в нуль на границе Γℎ .
Введем норму в этом пространстве:‖‖ =max1661 −11662 −1| |, ∈ 1 −1,2 −1 .Теорема 1. Однородная система линейных уравнений)︂⎧(︂⎨ 2 + 2 = −1, + +1, + ,−1 + ,+1 , = 1, ( − 1), = 1, ( − 1),12ℎ2 ℎ22ℎ21ℎ22⎩ 1 |Γℎ = 0имеет единственное решение, и оно является тривиальным: = 0, ∈ ℎ .Доказательство. Будем проводить доказательство методом от противного. Пусть существует узел ∈ ℎ , в котором достигается ненулевое значение функции: ̸= 0. Тогданайдется узел 0 ,0 , для которого выполнены два условия:A) 0 ,0 = ‖‖ =max1661 −11662 −1| |.§7. Разрешимость разностной задачи.
Сходимость разностной задачи Дирихле105B) Хотя бы для одного из оставшихся узлов шаблона выполнено условие| | < |0 ,0 |, ∈ {0 − 1, 0 + 1}, ∈ {0 − 1, 0 + 1}.Такой узел существует, поскольку в противном случае значения во всех узлах совпадути будут равны нулю, так как функция обращается в ноль на границе Γℎ .Рассмотрим уравнение системы в узле 0 ,0 :(︂)︂ −1,0 + 0 +1,0 , −1 + 0 ,0 +122+ 2 0 ,0 = 0+ 0 022ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22и оценим его по модулю:(︂)︂| −1,0 | + |0 +1,0 | |0 ,0 −1 | + |0 ,0 +1 |22+ 2 |0 ,0 | 6 0+.2ℎ1 ℎ2ℎ21ℎ22Значения функции из правой части неравенства не превосходят 0 ,0 в силу условия A)и, кроме того, в силу условия B) хотя бы одно из значений функции строго меньше 0 ,0 .Таким образом, справедлива оценка(︂)︂)︂(︂2222+|+‖‖ .|<0 ,0ℎ21 ℎ22ℎ21 ℎ22Получили противоречие: ‖‖ < ‖‖ .
Следовательно, предположение о существованиихотя бы одного ненулевого значения функции неверно, и ≡ 0.Следствие. Разностная задача{︃1 1 , + 2 2 , = ,(︁)︁() () = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = имеет единственное решение при любых значениях и , ∈ ℎ .Введем разностный оператор(︂)︂−1, + +1,,−1 + ,+122ℎ =+ 2 −−,22ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22 ∈ ℎи запишем разностную схему для погрешности = − решения задачи (2) с помощьюэтого оператора:{︃ℎ = , ∈ ℎ ,(3) |Γℎ = 0,где погрешность аппроксимации на решении задачи (1) вида = − + 1 1 , + 2 2 , .Рассмотрим вопрос сходимости разностной схемы. Сходимость означает наличие оценки(︀)︀‖‖ 6 ℎ21 + ℎ22 ,где — константа, не зависящая от ℎ1 и ℎ2 .
Такая оценка означает, что разностная схемаимеет второй порядок точности по ℎ1 и ℎ2 .106Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиЛемма (принцип максимума). Пусть для сеточной функции , определенной на сеткеℎ , выполнены неравенства > 0, ∈ Γℎ ,ℎ > 0, ∈ ℎ .Тогда справедливо следующее неравенство: > 0, ∈ ℎ .Доказательство.
Проведем доказательство методом от противного. Пусть существуетузел ∈ ℎ , в котором функция отрицательна: < 0. Тогда найдется узел 0 ,0 ,для которого выполнены два условия:A) 0 ,0 =min1661 −11662 −1 .B) Хотя бы для одного из оставшихся узлов шаблона выполнено условие| | > |0 ,0 |, ∈ {0 − 1, 0 + 1}, ∈ {0 − 1, 0 + 1}.Такой узел существует, так как в противном случае ≡ 0 и лемма доказана. Рассмотримдействие оператора ℎ на значение функции 0 ,0 :ℎ 0 ,0 =0 ,0 − 0 −1,0 , − +1,0 , − , −1 , − , +1+ 0 0 2 0+ 0 0 2 0 0 + 0 0 2 0 0 .ℎ21ℎ1ℎ2ℎ2Все слагаемые в правой части этого равенства неположительны, и, кроме того, хотя быодно из слагаемых в силу условия B) строго отрицательно.
Таким образом,ℎ 0 ,0 < 0.Это неравенство противоречит условию леммы, следовательно, предположение о существовании хотя бы одного узла, в котором функция отрицательна, неверно.Следствие. Рассмотрим две разностные задачиℎ = , ∈ ℎ , |Γℎ — заданы,ℎ = Φ , ∈ ℎ , |Γℎ — заданы.Если выполнены неравенства| | 6 , ∈ Γℎ ,| | 6 Φ , ∈ ℎ ,то справедливо следующее неравенство:| | 6 , ∈ ℎ .Доказательство. Рассмотрим сеточные функции и , определенные на сетке ℎ : = − , = + .§7.
Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле107Воспользовавшись неравенствами из условия и принципом максимума, получим следующиеоценки:ℎ = Φ − > 0, ∈ ℎ , |Γℎ > 0, > 0, ∈ ℎ .ℎ > 0, ∈ ℎ , |Γℎ > 0, > 0, ∈ ℎ .Из неотрицательности функций и следует искомая оценка для модуля функции .Теорема 2. Пусть решение исходной дифференциальной задачи четыре раза непрерывнодифференцируемо в :(︀ )︀(1 , 2 ) ∈ 4 .Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи, и справедливаоценка⃦(︁)︁⃦(︀)︀⃦() () ⃦⃦ − 1 , 2 ⃦ 6 ℎ21 + ℎ22 ,где > 0 — константа, не зависящая от шагов сетки ℎ1 и ℎ2 .Доказательство. Запишем следующую разностную схему:{︃ℎ = 4, ∈ ℎ , > 0,(4) > 0, ∈ Γℎ ,(︂(︁ )︁2 (︁)︁ )︂()() 2где = 12 + 22 − 1− 2— мажоранта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
