main (1160440), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Тогда(︃ )︃ 21∑︁√‖ℎ (())‖ℎ == 2 + 1.1=0Следовательно, при ℎ → 0lim ‖ℎ (())‖ℎ = ∞.ℎ→0Очевидно, что ‖‖0 не может равняться бесконечности, так как норма должна бытьконкретным числом. Значит норма ‖·‖ℎ не согласована ни с одной нормой пространства 0 .Рассмотрим подробнее оператор проектирования ℎ пространства 0 на пространствоℎ . Ранее в этом параграфе мы предполагали, что этот оператор задан следующим образом:(ℎ ())( ) = ( ), ∈ ℎ ,() ∈ 0 .Однако оператор проектирования можно ввести бесконечным числом способов. Например,оператор проектирования1(ℎ ())( ) =ℎ∫︁+0.5ℎ(),() ∈ 0 , −0.5ℎзадает среднее значение функции () в узле , = 1, .

Значения оператора в граничныхточках области ℎ определяются следующим образом:1(ℎ ())(0 ) =0.5ℎ0.5ℎ∫︁(),0∫︁11(ℎ ())( ) =0.5ℎ().1−0.5ℎПерейдем к основным понятиям теории разностных схем.Определение. Сеточная функцияℎ () = ℎ () − ℎ () = ℎ () − ℎ (()),ℎ () ∈ ℎ , () ∈ 0 ,(4)называется погрешностью разностной схемы (2).Подставим выражение ℎ () = ℎ () + ℎ () в разностную схему (2) и получим разностную схему относительно погрешности ℎ ():ℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ ,(5)гдеℎ () = ℎ () − ℎ ℎ ().(6)§9. Основные понятия теории разностных схем113Определение. Сеточная функция, задаваемая соотношением (6), называется погрешностью аппроксимации на решении исходной задачи (1).Замечание. Погрешность аппроксимации можно представить в виде суммы погрешности приближения оператора и погрешности приближения правой части.Определение.

Разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу, еслиlim ‖ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Определение. Разностная схема (2) имеет -ый порядок аппроксимации, если существуют положительные константы 1 и , не зависящие от шага ℎ, такие, что‖ℎ ‖ℎ 6 1 ℎдля достаточно малых ℎ.Определение. Разностная задача (2) называется корректно поставленной, если при достаточно малых ℎ выполнено:1. При любых погрешностях аппроксимации ℎ и при любых правых частях ℎ решениезадачи (2) ℎ () существует и единственно.2. Существует константа 2 , не зависящая от шага ℎ, для которой выполнена априорная оценка:‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .Это оценка означает устойчивость в норме ‖·‖ℎ решения разностной схемы по правой части уравнения.Замечание 1. Свойства существования и единственности решения задачи определяютсуществование оператора −1ℎ .Замечание 2.

Второе условие корректности постановки задачи означает равномернуюограниченность по ℎ оператора −1ℎ .Определение. Решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной дифференциальной задачи (1), еслиlim ‖ℎ ‖ℎ = lim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0ℎ→0Определение. Разностная схема (2) имеет -ый порядок точности, если существуетконстанта 3 , не зависящая от шага ℎ, такая, что‖ℎ ‖ℎ 6 3 ℎ .Теорема 1. (Филиппова). Пусть исходная задача (1) и разностная схема (2) поставленыкорректно, и пусть разностная схема аппроксимирует исходную задачу.

Тогда решениеразностной задачи сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности разностной схемы совпадает с порядком аппроксимации.Доказательство. Рассмотрим задачу для погрешности разностной схемы (5). Так как поусловию разностная схема корректна, то выполнено условие‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ ,114Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикигде константа 2 не зависит от ℎ. Заметим, что задача для погрешности ℎ ∈ ℎ тоже является корректно поставленной, значит, для погрешности выполнена аналогичная оценка:‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .Так как разностная схема аппроксимирует исходную задачу, тоlim ‖ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Пусть разностная схема имеет -ый порядок аппроксимации:‖ℎ ‖ℎ 6 1 ℎ ,где константа 1 не зависит от ℎ.

Тогда аналогичная оценка справедлива и для погрешности ℎ :‖ℎ ‖ℎ 6 3 ℎ ,где 3 = 2 1 > 0, не зависит от ℎ. Это и означает, что разностная схема (2) сходится с-ым порядком точности по ℎ.Замечание. При доказательстве теоремы условие согласованности норм (3) не использовалось. Это условие нужно для того, чтобы гарантировать единственность предельнойфункции.Покажем, что возможно отсутствие сходимости решения задачи (2) к исходной задаче (1), если нормы пространств 0 и ℎ не согласованы. Пустьlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Мы хотим выяснить, существует ли какая-либо другая функция () ∈ 0 , для которойlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0Покажем, что если норма ‖·‖0 пространства 0 согласована с нормой ‖·‖ℎ пространства ℎ ,то функция (), если существует, то тождественно совпадает с функцией ().

Оценимнорму ‖ℎ − ℎ ‖ℎ :‖ℎ − ℎ ‖ℎ = ‖ℎ − ℎ − (ℎ − ℎ )‖ℎ 6 ‖ℎ − ℎ ‖ℎ + ‖ℎ − ℎ ‖ℎ .Так какlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0,ℎ→0lim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0,ℎ→0тоlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0В случае согласованности норм отсюда следует, что‖() − ()‖0 = 0,а это значит, что функции () и () совпадают: () ≡ (), и решение разностнойсхемы (2) ℎ однозначно определяет решение исходной задачи (1).Этот факт гарантируется согласованностью норм пространств 0 и ℎ .

Что произойдетв случае отсутствия такой согласованности, заранее предсказать невозможно.Глава 5Методы решения обыкновенныхдифференциальных уравнений исистем ОДУ§1Постановка задачи Коши и примеры численных методоврешения задачи КошиВ этой главе рассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений⎧⎨ = (, ()), > 0,(1)⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), . . . , ()) , (, ()) = (1 (, ()), . . . , (, ()) .Напомним теорему, гарантирующую существование и единственность решения задачи (1) в окрестности начальных данных.Обозначим√︁‖()‖ =21 () + 22 () + .

. . + 2 ().Предположим, что функция (, ()) непрерывна в параллелепипеде = {0 6 6 , ‖() − (0)‖ 6 , , ∈ R}и удовлетворяет в условию Липшица по второму аргументу, то есть‖ (, ) − (, )‖ 6 ‖ − ‖,для всех (, ), (, ) ∈ R.При выполнении этих условий существует единственное решение () задачи (1), определенное и непрерывное на некотором отрезке.Доказательство этой теоремы основано на методе Пикара, который состоит в том, чтодифференциальную задачу (1) заменяют эквивалентным интегральным уравнением∫︁() = (0) + (, ())0116Глава 5. Методы решения ОДУ и систем ОДУи для этого интегрального уравнения доказывается сходимость последовательных приближений (), построенных по правилу∫︁+1 () = (0) + (, ()).(2)0Если функция (, ) такова, что интеграл в правой части уравнения (2) легко вычисляется, то метод Пикара, безусловно, можно использовать для приближенного решениязадачи (1).

Однако вычислять этот интеграл в явном виде, как правило, не удается.В дальнейшем при построении и исследовании численных методов будем предполагать,что искомое решение задачи (1) () существует, единственно и обладает требуемыми свойствами гладкости.В настоящее время наибольшее распространение получили две группы численных методов решения задачи Коши:1. методы Рунге–Кутта;2.

многошаговые разностные методы, наиболее известными из которых являются методы Адамса.Приведем примеры таких методов, предполагая для простоты изложения, что система (1)состоит всего из одного уравнения. Таким образом получим следующую задачу Коши:⎧⎨ = (, ()), > 0,(3)⎩(0) = ,0Будем рассматривать сетку по времени с постоянным шагом > 0, то есть множествоточек = { = , ∈ Z+ },и обозначим = ( ), = ( , ). В дальнейшем точное решение задачи (1) будемобозначать буквой , а приближенное решение — буквой .Пример 1.

Пожалуй, наиболее простым методом решения задачи (3) является разностнаясхема (метод) Эйлера. Несмотря на всю простоту схемы, метод Эйлера часто используетсяна практике.Замечание. В данном примере мы рассмотрим только явную схему Эйлера, но нужнопомнить, что существуют и неявный аналог этой схемы.⎧⎨ +1 − = ( , ), ⎩ = , ∈ Z .00+ ∈ (4)Эта схема является явной, так как значение численного решения в каждой следующейточке +1 , ∈ Z+ находится по явной формуле:+1 = + , ∈ Z+ .Введем погрешность разностной схемы (4): = − , ∈ Z+ .§1.

Постановка задачи Коши и численные методы ее решения117Если мы получим оценку ‖ ‖ 6 , где константа не зависит от , то будем говорить,что решение разностной схемы Эйлера сходится к решению исходного уравнения (3) спервым порядком точности по .Запишем теперь погрешность аппроксимации разностной схемы (4) на решении исходной задачи (3):+1 − = −+ ( , ).(5)Разложим +1 в ряд Тейлора в узле :(︀ )︀+1 = + ′ + O 2 .Тогда(︀ )︀+1 − = ′ + O .Подставим последнее выражение в уравнение (5):(︀ )︀ = −′ + ( , ) + O .Воспользовавшись тем, что −′ + ( , ) = 0, так как выполнено исходное уравнение (3),окончательно получаем:(︀ )︀ = O .Эта оценка означает, что разностная схема (4) аппроксимирует исходную задачу с первымпорядком точности по . В дальнейшем мы покажем, что рассмотренная разностная схемабудет сходиться к решению задачи (3) с первым порядком по .Пример 2.

Характеристики

Список файлов лекций