main (1160440), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

, −1 — заданы. Будем считать, что коэффициенты , , = 1, независят от .Пример. В применении к уравнению (1) метод (4) принимает вид:∑︁( + ) − = 0.(5)=0Решение этого разностного уравнения с постоянными коэффициентами будем искать в виде = , ∈ Z+ .Подставив эту формулу решения в уравнение (5) и сократив на − , придем к уравнению (, ) =∑︁( + ) − = 0.(6)=0Определение.

Уравнение вида (6) называется характеристическим уравнением разностной схемы (5).Можно было бы искать условия, при которых все корни уравнения (6) лежат внутри или на границе единичного круга. Однако это оказывается достаточно сложным дажедля квадратного уравнения. Поэтому в случае общего -шагового разностного метода (4)поступают по-другому.Предположим, что шаг достаточно мал. Тогда корни уравнения (6) будут близки ккорням уравнения (, 0) = 0,то есть уравнения∑︁ − = 0,(7)=0которое также называется характеристическим. Заметим, что последнее уравнение определяется только способом аппроксимации производной ′ () и не зависит от того, какимспособом аппроксимируется правая часть исходного уравнения (3).При анализе -шаговых разностных схем для нелинейного уравнения (3) обычно ограничиваются рассмотрением упрощенного характеристического уравнения (7).Определение. Говорят, что схема (4) удовлетворяет условию (), если все корни характеристического уравнения (7) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней.Таким образом, выполнение условия () соответствует устойчивости разностного метода для уравнения ′ () = 0.

Однако часто схему и для общего уравнения (3) называют устойчивой, если она удовлетворяет условию (). Такая терминологическая неточностьоправдана тем, что из условия () следует сходимость решения разностной задачи (4) к решению исходной дифференциальной задачи (3). Приведем без доказательства следующуютеорему.§4. Понятие устойчивости разностного метода129Теорема. Пусть разностная схема удовлетворяет условию () и |′ | 6 на отрезке0 6 6 .

Тогда при 0 6 = 6 и всех достаточно малых выполняется оценка⎛| − ( )| 6 ⎝⎞∑︁ | | +=max | − ( )|⎠ ,066−1где | −( )| — погрешности в задании начальных данных, = 0, ( − 1), — константа,зависящая от , и не зависящая от , — погрешность аппроксимации на решенииисходного уравнения (3): = −∑︁=0(− ) +∑︁ − .=0Таким образом, исследование сходимости метода (4) сводится к анализу погрешностиаппроксимации и проверке условия ().Замечание 1.

Методы Адамса − −1 ∑︁= −=0всегда удовлетворяют условию (), так как для них 0 = −1 = 1, то есть = 1 = 1,что следует из уравнения − −1 = 0.Замечание 2. При указанном подходе, в отличие от рассмотренных примеров, не различаются абсолютно устойчивые и условно устойчивые разностные схемы, так как параметр заранее считается достаточно малым.Замечание 3. Мы уже упоминали в §3 данной главы, наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных -шаговых методов равен 2, а явных — (2 − 1). Однакооказывается, что методы наивысшего порядка неустойчивы в том смысле, что они неудовлетворяют условию (). А именно, если нечетно, то никакой устойчивый методне превосходит порядка = + 1.

Если четно, то никакой устойчивый метод непревосходит порядка = + 2 ( — порядок аппроксимации). Для явных схем наивысшийпорядок аппроксимации устойчивых методов = .Пример. Нетрудно привести пример схем, не удовлетворяющих условию (). Так, явнаядвухшаговая схема + 4−1 − 5−22−1 + −2=63(︀ )︀имеет третий порядок погрешности аппроксимации = O 3 (чтобы убедиться в этом,достаточно проверить условия -ого порядка аппроксимации, полученные в §3 текущейглавы). Характеристическое уравнение (7) для этой схемы 2 + 4 − 5 = 0имеет корни 1 = −5, 2 = 1, и, тем самым, условие () нарушено.130§5Глава 5. Методы решения ОДУ и систем ОДУЖесткие системы обыкновенных дифференциальных уравненийМногие из рассмотренных выше методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся без изменений на системы дифференциальных уравнений.

Однако в случае численного решения системы уравнений могут возникнуть дополнительныетрудности, связанные с разномасштабностью процессов, описываемых данной системой.Поясним это на примере системы, состоящей из двух независимых уравнений⎧1 ()⎪⎪+ 1 1 () = 0, > 0⎪⎪⎪⎪⎨ (0) = ,101(1)()2⎪⎪+()=0,>0⎪22⎪⎪⎪⎩ (0) = ,202где 1 , 2 — положительные постоянные.Система (1) имеет решение1 () = 01 −1 ,2 () = 02 −2 ,монотонно убывающее с ростом . Предположим, что 2 гораздо больше, чем 1 . Тогдавторая компонента 2 () затухает гораздо быстрее, чем первая и, начиная с некоторого момента времени * , поведение решения почти полностью определяется первой компонентой1 ().

Однако оказывается, что при решении системы (1) явным разностным методом шагинтегрирования определяется, как правило, компонентой 2 () = 02 −2 , которая несущественна с точки зрения поведения решения системы.()1 ()2 ()*Например, явный метод Эйлера+1− 11+ 1 1 = 0,§5. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений131+1− 22+ 2 2 = 0,где = ( ), = 1, 2, будет устойчив, если шаг удовлетворяет одновременно двумнеравенствам 1 6 2, 2 6 2.Поскольку 2 > 1 , условие устойчивости накладывает следующее ограничение на шагинтегрирования:26 .2Приведенный пример может показаться искусственным, так как ясно, что каждое из уравнений системы (1) следует решать независимо от другого со своим шагом интегрирования2 6 , = 1, 2.

Однако аналогичные трудности возникают и при решении любых системобыкновенных дифференциальных уравнений, если матрица этой системы имеет большойразброс собственных чисел.Определение. Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида⎧⎨ ()+ () = 0, > 0⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), . . . , ()) , и ( × ) — заданная матрица постоянных, вообщеговоря, комплексных коэффициентов, называется жесткой, если:1.

Действительные части всех собственных значений , = 1, матрицы положительны.2. Выполняется неравенство⃒⃒⃒max ⃒166⃒ ≫ 1.⃒⃒min ⃒166Так же, как и в приведенном выше примере, нетрудно прийти к следующему выводу.Решение жесткой системы уравнений содержит как быстроубывающие, так и медленноубывающие составляющие. Начиная с некоторого > 0, решение почти полностью определяется медленноубывающей составляющей, однако при использовании явных разностныхсхем быстроубывающая составляющая влияет отрицательно на устойчивость, вынуждаябрать шаг интегрирования слишком маленьким.Выход из этой парадоксальной ситуации был найден в применении неявных абсолютноустойчивых разностных методов для интегрирования жестких систем уравнений.Например, систему (1) можно решать с помощью неявной схемы Эйлера+1− 11+ 1 +1= 0,1+1− 22+ 2 +1= 0,2которая устойчива при всех > 0.

Поэтому шаг интегрирования здесь можно выбирать,руководствуясь лишь соображениями точности, а не устойчивости.132Глава 5. Методы решения ОДУ и систем ОДУПонятие жесткости можно обобщить и на случай нелинейных систем. Рассмотрим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений⎧⎨ ()= (, ()), > 0,(2)⎩(0) = ,0где() = (1 (), 2 (), . . . , ()) , (, ()) = (1 (, ()), 2 (, ()), . . .

, (, ())) .Зафиксируем какое-либо решение () системы (2) и запишем разность () = () −() между произвольным решением системы (2) и данным решением (). Эта разностьудовлетворяет системе уравнений ()= (, () + ()) − (, ()), = 1, .(3)Проведем разложение по формуле Тейлора правой части этой системы, предполагая,что возмущение () в определенном смысле мало. Так как (, ()) = (, 1 (), 2 (), . . . , ()),имеем (, ())1 ()+1(︀)︀ (, ()) (, ())2 () + . . . + () + O |()| ,+2 (, () + ()) − (, ()) =(︀ )︀где через O || обозначены величины более высокого, чем первый, порядка малости по .В результате этого разложения система (3) запишется в виде(︀)︀z() (, ())=() + O |()| ,где через(4) (, ())обозначена матрица с элементами (, ()) = (, ()),, = 1, .Обрывая разложение в правой части (4), получим так называемую систему уравненийпервого приближения() (, ())=().(5)Эта система линейных дифференциальных уравнений относительно (), так как ()задано.

Теперь уже можно дать определение жесткости системы нелинейных дифференциальных уравнений. Это определение связано как с данным фиксированным решением() так и с длиной отрезка интегрирования. Пусть (), = 1, — собственные значенияматрицы (, ())() =.Введем число жесткостиmax | |166() =.min | |166§6. Дальнейшие определения устойчивости133Определение. Система (2) называется жесткой на решении () и на данном интервале0 < < если1. () < 0, = 1, .2. Число жесткости () велико на рассматриваемом интервале 0 < < :max | |166min | |≫ 1.166Заметим, что первое требование означает асимптотическую устойчивость по Ляпуновурешения ().§6Дальнейшие определения устойчивостиПри исследовании разностных схем для жестких систем уравнений обычно рассматриваютмодельное уравнение()= (),(1)где — произвольное комплексное число.

Характеристики

Список файлов лекций