main (1160440), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Свойства различных разностных схем изучаюти сравнивают на примере этого уравнения.Для того, чтобы уравнение (1) действительно моделировало в некотором смысле исходную систему()= (, ()),необходимо рассматривать его при значениях , являющихся собственными значениямиматрицы (, ())=.Кроме обычного определения устойчивости (все корни характеристического уравненияне превосходят по модулю единицу) при рассмотрении жестких систем используют и другие, более узкие определения устойчивости. Мы рассмотрим два таких определения.Определение. Областью устойчивости разностного метода называется множествоточек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению = ,для которых данный метод, примененный к уравнению (1), устойчив.Рассмотрим, например, явную схему Эйлера:+1 − = ( , ).В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 = (1 + ) , = .Условие устойчивости |1 + | 6 1 для комплексного числа = 0 + 1 означает, что(0 + 1)2 + 21 6 1.134Глава 5.
Методы решения ОДУ и систем ОДУТаким образом, область устойчивости данного метода представляет собой круг единичногорадиуса с центром в точке (−1, 0).Im 1Re 1Рассмотрим теперь неявную схему Эйлера+1 − = (+1 , +1 ).В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 − = +1 .Перепишем это уравнение в виде+1 =1 .1−Область устойчивости метода определяется условием⃒⃒⃒ 1 ⃒⃒⃒⃒ 1 − ⃒ 6 1,которое эквивалентно неравенству|1 − | > 1и представляет собой внешность круга единичного радиуса с центром в точке (1, 0).Im Re Определение.
Разностный метод называется -устойчивым, если область его устойчивости содержит полуплоскость, задаваемую условиемRe < 0.§6. Дальнейшие определения устойчивости135Отметим, что уравнение (1) асимптотически устойчиво при Re < 0. Поэтому всякий-устойчивый метод является абсолютно устойчивым (устойчивым при любом > 0),если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения.
Нетрудно видеть, чтонеявный метод Эйлера является -устойчивым, а явный метод Эйлера не является устойчивым.Рассмотрим схему второго порядка аппроксимации:+1 − (+1 , +1 ) + ( , )=.2(2)В применении к уравнению (1) эта схема примет вид+1 − = (+1 + ).2Отсюда находим+1 = ,2.21+Неравенство || 6 1 выполнено при Re 6 0. Следовательно метод (2)1−является -устойчивым.При решении жестких систем уравнений было бы желательно пользоваться именно-устойчивыми разностными методами, так как условия их устойчивости не накладывают ограничений на шаг .
Однако класс -устойчивых методов весьма узок. Известно,что не существует явных линейных многошаговых -устойчивых методов. Среди неявныхлинейных многошаговых методов нет -устойчивых методов, имеющих порядок аппроксимации выше второго. Таким образом, схема (2) является одной из лучших -устойчивыхсхем. В связи с тем, что класс -устойчивых разностных схем весьма узок, было введенонесколько определений устойчивости, являющихся менее ограничительными, чем определение -устойчивости.где =Определение.
Разностный метод называется ()-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол левой полуплоскости:| arg(−)| < , = .Im В частности, (︀ )︀2Re -устойчивость совпадает с -устойчивостью.Известно, что ни для какого не существует явного ()-устойчивого линейного многошагового метода. Построены ()-устойчивые неявные методы третьего и четвертогопорядка аппроксимации. К ним относятся чисто неявные многошаговые разностные схемы, у которых правая часть (, ) вычисляется только при новом значении = + , а136Глава 5.
Методы решения ОДУ и систем ОДУпроизводная ′ () аппроксимируется по нескольким предыдущим точкам и точке = + .Например, схема25+4 − 48+3 + 36+2 − 16+1 + 3= (+4 , +4 )12имеет четвертый порядок аппроксимации и ()-устойчива при некотором > 0.§7Разностные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядкаИнтегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения разностных схемРассмотрим первую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка.Требуется найти непрерывную на отрезке 0 6 6 1 функцию (), удовлетворяющуюуравнению(︂)︂()− ()() + () = 0, ∈ (0, 1)(1)и краевым условиям первого рода при = 0, = 1(0) = 1 , (1) = 2 ,(2)где 1 , 2 — числа.Будем предполагать, что (), (), () — заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям() > 1 > 0, () > 0,1 = .При сформулированных условиях решение задачи (1) – (2) существует и единственно.Введем сеткуℎ = { = ℎ, = 0, , ℎ = 1}.Обозначим− 1 = − 0.5ℎ, + 1 = + 0.5ℎ,22() = ()(),± 1 = (± 1 )22и проинтегрируем уравнение (1) по на отрезке [− 1 , + 1 ].
В результате получим урав22нение+ 1+ 1∫︁ 2∫︁ 2+ 1 − − 1 −()() + () = 0,(3)22− 1− 122которое представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке [− 1 , + 1 ]. Далее заменим2+ 1+ 1∫︁∫︁22()() ≈ − 12()− 122§7. Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка137и введем обозначения+ 11 =ℎ2∫︁+ 1− 12∫︁1(), =ℎ ().(4)− 122В результате вместо уравнения (3) получим уравнение+ 1 − − 122ℎ− + = 0.(5)Выразим далее ± 1 через значение () в узлах сетки.
Для этого проинтегрируем равен2ство()′ () =()на отрезке [−1 , ]. Имеем∫︁ − −1 =∫︁() ≈ − 12()−1−1Обозначая⎛⎜1 = ⎝ℎ,()∫︁⎞−1 ⎟⎠(),(6)−1получаем − −1= , , + 1 = , .2ℎПодставляя эти выражения в уравнение (5) получаем− 1 = 21(+1 , − , ) − + = 0ℎили( ), − + = 0.(7)Это уравнение по построению является разностным аналогом дифференциального уравнения (1). Оно записывается для = 1, ( − 1) и дополняется краевыми условиями:0 = 1 , = 2 .(8)В дальнейшем, как обычно, решение разностной задачи (7) – (8) будем обозначать буквой , так что = ( ), ∈ ℎ . Тогда задача (7) – (8) записывается в виде{︃( ), − + = 0, = 1, ( − 1)(9)0 = 1 , = 2 .Систему уравнений (9) можно записать в виде трехточечного уравнения −1 − + +1 = − , = 1, ( − 1),(10)где = , = +1 , = 1 + +1 + ℎ2 , = ℎ2 .
В силу диагонального преобладанияматрицы системы (10), задача (10) имеет, и притом единственное, решение, которое обычнонаходится методом прогонки.138Глава 5. Методы решения ОДУ и систем ОДУДостаточные условия второго порядка аппроксимацииРассмотрим разностную схему (9) и найдем условия, которым должны удовлетворять коэффициенты , и правая часть , чтобы она имела второй порядок аппроксимации.Для погрешности = − , как обычно, получаем задачу( ), − = − , 0 = = 0, = 1, ( − 1),(11)где = ( ), − + =1ℎ(︂)︂+1 − − −1+1− + − ℎℎ(12)— погрешность аппроксимации разностной схемы (9) на решении задачи (1).Считая () достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, разложим в точке по формуле Тейлора:+1 = + ℎ′ +(︀ )︀ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 + + + O ℎ5 ,2624(︀ )︀ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 − + + O ℎ5 ,26242(︀ )︀+1 − ℎℎℎ3 , == ′ + ′′ + ′′′ + O ℎ4 , +ℎ26242(︀ )︀ − −1ℎℎℎ3 , == ′ − ′′ + ′′′− + O ℎ4 .ℎ2624Подставим , , , в (12):(︂)︂)︂)︂(︂(︂(︀ 3 )︀(︀ 3 )︀ℎ ′′ ℎ2 ′′′1ℎ2ℎ′ =+1 ′ + ′′ + ′′′+Oℎ−++Oℎ− + =−ℎ26 2 6 −1 = − ℎ′ +(︀ )︀+1 − ′′′+1 − ′ +1 + ′′ + + ℎ − + + O ℎ2 .ℎ26′′′′′′Учитывая, что 0 = (( ) − + ) = + − + , перепишем в виде= =(︀)︀+1 − ′ +1 + ′′ +1 − ′′′ + +ℎ − + − ′ ′ + ′′ − + =ℎ26(︂)︂(︂)︂(︀ )︀+1 − +1 + ′′=− +− ′′ − ( − ) + ( − ) + O ℎ2 .ℎℎОтсюда видно, что если будут выполнены условия (это и есть достаточные условия):(︀ )︀ +1 + (︀ )︀(︀ )︀(︀ )︀+1 − = ′ + O ℎ2 ,= + O ℎ2 , = + O ℎ2 , = + O ℎ2 ,ℎ2(︀ 2 )︀то = O ℎ .
Из первых двух соотношений вытекает = −(︀ )︀(︀ )︀ℎ ′ + O ℎ2 = − 1 + O ℎ2 ,22(︀ )︀(︀ )︀ℎ ′ + O ℎ2 = + 1 + O ℎ2 .22Нетрудно видеть, что коэффициенты∫︁−1 + 11 = − 1 , =,=22ℎ −1 ()+1 = +(13)§7. Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второго порядка139удовлетворяют этим условиям. Так, например, при = − 1 имеем2 = − 1 = −2(︀ )︀ℎ ′ ℎ2 ′′ + + O ℎ3 ,28+1 = + 1 = +2(︀ )︀ℎ ′ ℎ2 ′′ + + O ℎ3 ,28и, следовательно,(︀ )︀ +1 + (︀ )︀(︀ )︀+1 − ℎ2= ′ + O ℎ2 ,= + ′′ + O ℎ3 = + O ℎ2ℎ24и т.д.Принцип максимумаДля оценки решения задачи (10) можно воспользоваться так называемым принципом максимума. Он имеет место для уравнений более общего вида, когда > 0, > 0 и > 0.Запишем первую краевую задачу в виде{︃[ ] = − −1 + − +1 = , = 1, ( − 1),(14)0 = 1 , = 2 .Теорема 1.
Пусть выполнены неравенства > 0, > 0, − − > 0, = 1, ( − 1)(15)и пусть [ ] 6 0([ ] > 0), = 1, ( − 1). Тогда если ̸= , то не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения во внутренних узлах, т.е. при = 1, ( − 1).Доказательство. От противного предположим, что в узле = * достигает наибольшегоположительного значения * = max = 0 > 0. Так как ̸= , то найдется такая166 −1точка 0 , в которой 0 = * = 0 > 0, а в одной из соседних точек, например, в точке = 0 − 1 выполнено 0 −1 < 0 .Запишем [ ] = ( − − ) + ( − −1 ) − (+1 − ). Рассмотрим действиеоператора:[0 ] = (0 − 0 − 0 )0 + 0 (0 − 0 −1 ) − 0 (0 +1 − 0 ).В силу условий (15) получим:[0 ] > 0 (0 − 0 −1 ) + 0 (0 − 0 +1 ) > 0,так как 0 > 0 +1 , 0 > 0 −1 . Это противоречит условию теоремы [ ] 6 0, = 1, ( − 1),в том числе и для = 0 .Первое утверждение теоремы доказано.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично (достаточно заменить на − и воспользоваться доказанными выше утверждениями).Следствие 1. Пусть выполнены условия (15) и ( ) > 0, = 1, ( − 1) и пусть 0 >0, > 0. Тогда > 0, = 0, . Если выполнены условия (15) и ( ) 6 0, = 1, ( − 1)и пусть 0 6 0, 6 0. Тогда 6 0, = 0, .140Глава 5. Методы решения ОДУ и систем ОДУВ самом деле, пусть ( ) > 0, а < 0 хотя бы в одной точке = * , 0 < * < .Тогда должна достигать наименьшего отрицательного значения во внутренней точке = 0 , 0 < 0 < , что невозможно в силу доказанной теоремы.Следствие 2. Пусть выполнены условия (15).
Тогда единственным решением задачи = 1, ( − 1), 0 = = 0( ) = 0,(16)является функция = 0, = 0, и, следовательно, задача (14) однозначно разрешимапри любых 1 , 2 и . В самом деле, предполагая, что решение задачи (16) хотя бы водной точке = * * ̸= 0, мы придем к противоречию с принципом максимума: если* > 0, то достигает наибольшего положительного значения (при * наименьшегоотрицательного значения) в некоторой точке 0 , 0 < 0 < , что невозможно.Теорема 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
