main (1160440)
Текст из файла
Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиЛекции по курсуЧисленные методыЛекторыА. В. Гулин, Н. И. ИонкинМосква, 2013ОглавлениеПредисловие от авторов4Введение5Список обозначений71 Численные методы линейной алгебры§1 Введение . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Связь метода Гаусса с факторизацией матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Обращение матрицы методом Гаусса-Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . .§4 Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .§5 Примеры и канонический вид итерационных методов решения СЛАУ . . . . .§6 Теоремы о сходимости итерационных методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§7 Оценка скорости сходимости итерационных методов . . . . . . . . . . . . . . .§8 Исследование скорости сходимости ПТИМ . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .§9 Методы решения задач на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . .§10 Приведение матрицы к верхней почти треугольной форме . . . . . . . . . . .§11 Понятие о QR-алгоритме решения полной проблемы собственных значений .§12 Предварительное преобразование матрицы к ВПТФ. Неухудшение ВПТФпри QR-алгоритме . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8891315182227323540442 Интерполирование и приближение функций§1 Постановка задачи интерполирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Интерполяционная формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .§3 Разделенные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§4 Интерполяционная формула Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§5 Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита . . . . . . . . . . . .§6 Использование интерполяционного полинома Эрмита 3 () для оценкипогрешности квадратурной формулы Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . .§7 Наилучшее среднеквадратичное приближение функции . . . . . . . . . . . . .§8 Наилучшее среднеквадратичное приближение функций, заданных таблично4747495054553 Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейныхний§1 Введение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Метод Ньютона и метод секущих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§4 Сходимость метода Ньютона.
Оценка скорости сходимости . . . . . .46606367уравне....................69697173774 Разностные методы решения задач математической физики§1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость . .
. . . . .§3 Чисто неявная разностная схема (схема с опережением). Погрешность, устойчивость, сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§4 Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсона) . . . . . . . . .§5 Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении . . . .§6 Разностная схема для уравнения Пуассона.
Первая краевая задача . . . . . .§7 Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле .§8 Методы решения разностной задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§9 Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость,сходимость . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8080828892991021041081105 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и системОДУ115§1 Постановка задачи Коши и примеры численных методов решения задачи Коши115§2 Общий -этапный метод Рунге–Кутта . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 121§3 Многошаговые разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122§4 Понятие устойчивости разностного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126§5 Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . 130§6 Дальнейшие определения устойчивости . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133§7 Разностные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Литература142Предисловие от авторовЧитателю предлагается курс лекций по численным методам, который авторы читали втечение десятков лет студентам III – IV курсов программистских кафедр факультета ВМКМГУ. Безусловно, программа и содержание курса неоднократно менялись как в связи собновлением курса, так и в связи с преобразованиями учебных планов, происходившимив разные годы на факультете. Здесь представлен вариант курса, читаемого в последниегоды.Решение издать курс лекций обусловлено постоянными из года в год просьбами студентов, слушающих этот курс, оформить лекции в печатной и электронной версиях.Данный курс лекций ориентирован на студентов, основной специализацией которых неявляется разработка и обоснование численных методов решения прикладных задач.Тем не менее, одной из главных задач этого курса является обретение студентами навыка ориентирования в области численных методов, умения применять к решению прикладных задач основополагающие приемы построения и исследования вычислительныхалгоритмов.Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность студентам кафедрыАСВК В.
С. Алтухову, М. А. Казачук, М. В. Коростелевой, С. В. Селецкому, А. В. Фролову,и В. И. Шахуро, которые с энтузиазмом и творчески записали и оформили лекции курса.Заслуженный профессор МГУ, А. В. ГулинЗаслуженный преподаватель МГУ, доцент Н. И. ИонкинВведениеПредмет численных методов, если его понимать не как учебный курс, а как отрасль науки,весьма обширен и неоднороден. В очень общих чертах его можно охарактеризовать каксовокупность приемов и методов, позволяющих с помощью компьютера решать те илииные задачи, уже получившие математическую формулировку.Предполагается, что читатель знаком с некоторыми численными методами.
Так, в курсах анализа и алгебры рассматривались приближенные методы вычисления определенных интегралов, нахождения корней алгебраических уравнений, решения систем линейныхалгебраических уравнений. Из курса «Введение в численные методы» читатель получилпредставление о приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений спомощью метода конечных разностей.Нетрудно видеть, что общим для всех перечисленных методов является построение иобоснование алгоритма, позволяющего дать решение исходной задачи в виде числа илитаблицы чисел.Обычно процесс решения прикладной задачи складывается из нескольких крупныхэтапов, образующих, как иногда говорят, «колесо Самарского» (А.
А. Самарский — одиниз крупнейших математиков XX века в области численных методов решения актуальныхприкладных задач).Принцип колеса Самарского заключен в следующем: сначала по изучаемому объектустроится его математическая модель, которая отражает существенные в данной задачесвойства изучаемого объекта. Затем для построенной модели предлагается алгоритм решения поставленной задачи и приводится его формальное обоснование. По предложенномуалгоритму создается программа для выполнения численных расчетов на ЭВМ, после чегоуже производятся сами расчеты, анализ результатов выполнения алгоритма, их интерпретация и, возможно, уточнение модели. Получение новых данных расширяет существующиезнания об изучаемом объекте, появляются новые задачи, и колесо Самарского замыкается.В рамках данного курса численных методов рассматривается этап разработки алгоритма для некоторых классов математических моделей. Мы предполагаем, что каждая израссматриваемых нами математических моделей построена корректно (рассмотрение решения задач для некорректных математических моделей выходит за рамки нашего курса).Данный курс разделен на пять глав.
В главе I рассматриваются прямые и итерационныечисленные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, а также исследуются итерационные методы решения частичной и полной проблем собственных значений. Вглаве II представлены методы интерполирования и приближения функций. В главе III описаны методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. На практикечасто встречается задача численного решения дифференциальных уравнений, которой посвящены главы IV и V. Так, в главе IV приводятся описание и анализ разностных методоврешения задач математической физики. А в заключительной, пятой, главе рассматриваются методы численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.Свежую версию лекций можно скачать на странице github.com/shahurik/num-cmc.Кроме того, по всем вопросам можно написать по адресу num-cmc@ya.ru.Список обозначенийN — множество натуральных чисел: {1,2, .
. . };Z — множество целых чисел;Z+ — множество целых неотрицательных чисел;R — множество вещественных чисел;R+ — множество вещественных неотрицательных чисел;C — множество(︀)︀ комплексных чисел; () = O () — функция асимптотически ограничена сверху функцией (с точностьюдо постоянного множителя); () — вектор-функция;[] — целая часть числа .В следующих обозначениях и — натуральные числа.
( × ) — вещественная (если не сказано иное) матрица , содержащая строк и столбцов;R× — множество всех матриц размера × над полем вещественных чисел;C× — множество всех матриц размера × над полем комплексных чисел.Размер следующих матриц и вектора определяется по контексту. — нулевой вектор-столбец; — единичная матрица;0 — нулевая матрица; — конец доказательства; — символ Кронекера:{︃1 при = , =0 при ̸= .Глава 1Численные методы линейной алгебры§1ВведениеРешение систем линейных уравненийРассмотрим матричное уравнение вида = ,(1)где || ≠ 0, ( × ), = (1 , 2 , .
. . , ) , = (1 , 2 , . . . , ) .Так как матрица невырождена, то решение системы (1) существует и единственно. Существуют две группы методов решения СЛАУ:1. Прямые методы (методы Гаусса, Крамера, Холецкого и другие), позволяющие за конечное количество действий получить решение задачи. Эффективность методов этойгруппы оценивается по необходимому количеству умножений и делений. Несмотря нато, что эти методы часто называют точными, прямые методы таковыми не являютсяиз-за ошибок округления при вычислении.2.
Итерационные методы (методы Якоби, Зейделя, Самарского и другие), в которыхзадается начальное приближение 0 и итерационный процесс, по которому строится — последовательность приближений, такая, что ‖ − ‖ < ( > 0 — точностьприближения).Эффективность итерационного метода определяется числом итераций 0 = 0 (),необходимых для получения решения с заданной точностью .Поиск собственных значений матрицыЗадача нахождения собственных значений матрицы (×) состоит в решении уравнения = , ̸= .(2)Здесь — собственное значение, — собственный вектор. Собственные значения находятсяиз уравнения | − | = 0, которое в общем случае представляет из себя многочлен степени .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
