main (1160440), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Будем искать его в виде1 () = ( − 0 )( − 2 )( + ),где , ∈ R.Так как 1 (1 ) = 1, то получаем, что1 (1 ) = (1 − 0 )(1 − 2 )(1 + ) = 1.Перепишем равенство относительно (1 + ):1 + =1.(1 − 0 )(1 − 2 )(3)Для нахождения коэффициента вычислим производную ′1 () в точке 1 :′1 () = ( − 0 )( − 2 ) + ( + )(2 − 0 − 2 ).Значит,′1 (1 ) = (1 − 0 )(1 − 2 ) + (1 + )(21 − 0 − 2 ).Подставив вместо (1 + ) равенство (3), получим представление для коэффициента :=−(21 − 0 − 2 ).(1 − 0 )2 (1 − 2 )2Выразим из равенства (3) коэффициент :=11(21 − 0 − 2 )− 1 =+ 1.(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )2 (1 − 2 )258Глава 2. Интерполирование и приближение функцийТогда коэффициент 1 () принимает вид:)︂(︂(21 − 0 − 2 )(21 − 0 − 2 )1.1 () = (−0 )(−2 ) −++ 1(1 − 0 )2 (1 − 2 )2(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )2 (1 − 2 )2Упростив последнее выражение, получим( − 0 )( − 2 )1 () =(1 − 0 )(1 − 2 )(︂( − 1 )(21 − 0 − 2 )1−(1 − 0 )(1 − 2 ))︂.Итак, мы нашли все необходимые коэффициенты для построения полинома Эрмита 3 ().Замечание.
Заметим, что из-за появления кратных узлов сложность вычисления коэффициентов полинома Эрмита значительно возросла. Если для интерполяционных полиномов в форме Лагранжа и в форме Ньютона существуют единые формулы для вычислениявсех коэффициентов, то для полинома Эрмита необходимо вычислять коэффициенты дляразных узлов по-разному.Оценка погрешности для 3 ()Зафиксируем ∈ (0 , 2 ) ⊂ R: ̸= 1 . Введем функцию ():() = () − 3 () − (), ∈ [0 , 2 ],где () = ( − 0 )( − 1 )2 ( − 2 ), а — некая зависящая от постоянная.Выберем константу так, чтобы () = 0. Тогда () − 3 () − () = 0, () − 3 ().()Введем погрешность для полинома Эрмита 3 ():=3 () = () − 3 ().Пусть для любого ∈ [0 , 2 ] существует (4) ().
Функция () имеет не менее четырехнулей: три — в узлах 0 , 1 , 2 , а четвертый — в точке (мы подобрали коэффициент таким образом, чтобы был корнем). Воспользуемся теоремой Ролля. Так как () имеетне менее 4-ех нулей, то ′ () имеет не менее 3-ех нулей на отрезке [0 , 2 ]. Так как узел1 является кратным узлом для интерполяционного полинома Эрмита 3 (), то точка 1является нулем ′ (): ′ (1 ) = 0. Следовательно, первая производная имеет не меньшечетырех нулей.
Тогда вторая производная имеет не менее трех нулей, а третья — не менеедвух. Тогда существует точка такая, что⃒ () − 3 ()⃒ (4) () = 0 = ( (4) () − 4! )⃒= (4) () − 4!.()=Тогда получим следующее выражение для погрешности: (4) ()().4!⃒⃒⃒ (4) ⃒⃒ ()⃒ .3 () = () − 3 () =Обозначим4 =sup∈[0 ,2 ]Следовательно,|3 ()| 6где () = ( − 0 )( − 1 )2 ( − 2 ).4|()|,4!§5.
Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита59Замечание 1. В общем случае погрешность интерполяционного полинома Эрмита степени , ∈ N, для функции () имеет вид () = (+1) ()( − 0 )0 ( − 1 )1 . . . ( − ) ,( + 1)!0 + 1 + . . . + = + 1,где { }=0 — разбиение области определения функции (), ∈ N, и функция () должнабыть ( + 1) раз дифференцируема на своей области определения.Замечание 2. Интерполяционный полином Эрмита дает более гладкое приближение,чем ранее рассмотренные интерполяционные полиномы в форме Лагранжа и в форме Ньютона.Задача. Показать, что интерполяционный полином Эрмита 3 () можно получить изинтерполяционного полинома Лагранжа 3 () с помощью предельного перехода.Решение. Пусть 0 , 1 , 2 — узловые точки функции () на отрезке [0 , 2 ].
Добавимфиктивный узел 3 ∈ [0 , 2 ], 3 ̸= , = 0, 2. Построим полином в форме Лагранжа поэтим четырем узлам:( − 0 )( − 2 )( − 3 )( − 0 )( − 1 )( − 2 ) (3 ) + (1 )+(3 − 0 )(3 − 1 )(3 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 3 )( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 0 )( − 1 )( − 3 )+ (0 ) + (2 ).(0 − 1 )(0 − 2 )(0 − 3 )(2 − 0 )(2 − 1 )(2 − 3 )3 () =(4)Покажем, что lim 3 () = 3 ().3 →1При стремлении 3 к 1 , коэффициент при (0 ) в формуле (4) примет вид:( − 1 )2 ( − 2 )= 0 ().(0 − 1 )2 (0 − 2 )Аналогично получим, что выражение коэффициента при (2 ) совпадает с коэффициентом2 () из интерполяционного полинома Эрмита (2) при 3 → 1 .Рассмотрим два оставшихся коэффициента: обозначим через (3 ) первые два слагаемых суммы (4). (3 ) можно представить в виде(3 ),3 − 1( − 0 )( − 1 )( − 2 )( − 0 )( − 2 )( − 3 )(3 ) = (3 ) − (1 ).(3 − 0 )(3 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(3 ) =При переходе к пределу функции (3 ) при 3 → 1 возникает неопределенность видаДля ее устранения воспользуемся правилом Лопиталя и получим:[︀ 0 ]︀0. ′ (3 )= lim ′ (3 ).3 →1 (3 − 1 )′3 →1lim (3 ) = lim3 →1Так как ′ (3 ) уже не содержит неопределенности при 3 → 1 , тоlim ′ (3 ) = ′ (1 ).3 →1После проведения всех необходимых вычислений получим, что(︂)︂( − 0 )( − 1 )( − 2 ) ′( − 0 )( − 2 )( − 1 )(21 − 0 − 2 )′ (1 ) = (1 )+1− (1 ).(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )Видно, что при ′ (1 ) и (1 ) мы получили выражения, в точности совпадающие с коэффициентами 1 () и 1 () из формулы для интерполяционного полинома Эрмита 3 () (2).60§6Глава 2.
Интерполирование и приближение функцийИспользование интерполяционного полинома Эрмита3 () для оценки погрешности квадратурной формулыСимпсонаРассмотрим задачу приближенного вычисления определенного интеграла∫︁= ()(1)от интегрируемой по Риману на отрезке [, ] ⊂ R функции ().Построим разбиение отрезка [, ]: 6 0 < 1 < . . . < 6 ,где ∈ N,так, чтобы выполнялось условие − −1 = ℎ, = 1, ,где ℎ — некоторая константа, задающая шаг разбиения, причем ℎ = −. Отрезки [−1 , ], = 1, , называются частичными сегментами.Будем искать интеграл в виде суммы интегралов по всем частичным сегментам:= ∫︁∑︁=1 ().(2)−1Для вычисления интеграла на всем отрезке достаточно построить приближение интегралана -ом частичном сегменте [−1 , ] для = 1, .Замечание.
Часто формулы для приближенного вычисления определенного интеграланазывают квадратурными.Запишем формулу Симпсона для -ого частичного сегмента функции (), = 1, :∫︁ () ≈)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) ,26(3)−1где − 1 =2 +−12— полуцелая точка.Утверждение. Квадратурная формула Симпсона (3) является точной для любого полинома степени не выше трех.Доказательство.
Приведем доказательство данного утверждения для -ого частичногосегмента, = 1, .Пусть () = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 = 2 () + 3 3 , 3 ̸= 0.Квадратурная формула Симпсона (3) точна для 2 (), так как по построению задает приближение функций параболами, то есть полиномами второй степени.
Покажем, что фор∫︀ 3мула Симпсона точна для функции 3 . Для этого вычислим интеграл по формуле−1§6. Оценка погрешности формулы Симпсона при помощи полинома Эрмита61Ньютона-Лейбница:∫︁4 − 4−1(2 − 2−1 )(2 + 2−1 )= =443 =−1=−1 )(2( − −1 )( +4+2−1 )=(4)ℎ( + −1 )(2 + 2−1 )4и по квадратурной формуле Симпсона:∫︁ℎℎ = (3−1 + 43− 1 + 3 ) =2663(︃(−1 + )(2−1− −1 +2 )(︂+4 + −12)︂3 )︃=−1ℎ=6(︂)︂( + −1 )(2 + 2 −1 + 2−1 )22(−1 + )(−1 − −1 + ) +=2)︂(︂ 22−1 − 2 −1 + 22 + 2 + 2 −1 + 2−1ℎ= ( + −1 )=62=ℎℎ( + −1 )3(2−1 + 2 ) = ( + −1 )(2 + 2−1 ).124Полученные выражения для интеграла от функции 3 совпадают, значит, формула Симпсона точна для полиномов третьей степени.Перейдем к оценке погрешности квадратурной формулы Симпсона (3), для чего воспользуемся интерполяционным полиномом Эрмита 3 (), рассмотренным в предыдущемпараграфе.Если для оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона мы воспользуемся выражением для погрешности интерполяционного полинома Лагранжа второй степени, тополучим сильно завышенную оценку.
Правильная оценка получается при использованииполинома Эрмита 3 ().Зафиксируем узлы −1 , − 1 и и построим на этих узлах интерполяционный полином2Эрмита 3, () для функции (). Ранее в §5 было доказано, что такой полином существует,единственен и удовлетворяет следующим условиям:3, (−1 ) = (−1 ),3, (− 1 ) = (− 1 ),223, ( ) = ( ),′3,(− 1 ) = ′ (− 1 ).22Запишем погрешность для полинома 3, ():3, () = (4) ()( − −1 )( − − 1 )2 ( − ),24! ∈ [−1 , ].(5)Введем обозначение:∫︁Ψ ( ) =3, ().−1(6)62Глава 2.
Интерполирование и приближение функцийПредставим исходную функцию () в виде () = 3, () + 3, () . Тогда∫︁∫︁ () =−1∫︁3, () +−13, ().(7)−1Так как формула Симпсона (3) точна для полиномов третьей степени, то мы можем заме∫︀нить интеграл3, () на соответствующую ему правую часть формулы (3):−1∫︁3, () =)︁ℎ (︁3, (−1 ) + 43, (− 1 ) + 3, ( ) .26−1Тогда∫︁∫︁)︁ℎ (︁ () =3, (−1 ) + 43, (− 1 ) + 3, ( ) +3, () =26−1−1=)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) + Ψ ( ).26Следовательно,∫︁ () −Ψ ( ) =)︁ℎ (︁ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) .26(8)−1Таким образом мы получаем, что Ψ ( ) задает погрешность формулы Симпсона (3) на -омчастичном сегменте.Так как выполнены равенства (5) и (6), то погрешность (8) можно оценить следующимобразом:∫︁∫︁|3, ()| 6|Ψ ( )| 64,( − −1 )( − − 1 )2 ( − ),24!−1−14, =sup∈[−1 , ]⃒⃒⃒ (4) ⃒⃒ ()⃒.Задача.
Показать, что∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2ℎ5.120−1Решение. Произведем замену в подынтегральном выражении: = −1 + ℎ, ∈ [0, 1].(︀)︀2Тогда = ℎ и − −1 = ℎ, − = ℎ(1 − ), ( − − 1 )2 = ℎ2 − 12 , и мы получаем,2что∫︁( − −1 )( − − 1 )2 ( − ) =2−15∫︁1=ℎ0(︂)︂)︂∫︁1 (︂1 215ℎ55 −(1 − ) = ℎ23 − 2 − 4 + =.2441200§7. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции63Таким образом, погрешность формулы Симпсона (3) на -ом частичном сегменте имеетпятый порядок точности:4, ℎ5|Ψ ( )| 6,(9)4! 120Оценим погрешность приближения интеграла (1) на всем отрезке [, ], учитываяпредставление этого интеграла в виде суммы ингералов по всем частичным сегментам (2)и воспользовавшись формулой Симпсона (3):⃒ ⃒ ⃒⃒⃒∫︁⃒ ⃒∑︁⃒ ∑︁)︁(︁∑︁⃒⃒ ⃒ ℎ⃒|Ψ( )| = ⃒⃒ () − (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) ⃒⃒ = ⃒Ψ ( )⃒ 6|Ψ ( )| .2⃒6⃒⃒ ⃒ =1=1=1Мы выбирали разбиение отрезка [, ] так, что ℎ = − , поэтому с учетом оценки (9)получим, что(︂ )︂44 ( − )ℎ,|Ψ( )| 62180⃒⃒⃒⃒4 = sup ⃒ (4) ()⃒.∈[0 , ]Следовательно, квадратурная формула Симпсона на всем отрезке [, ] имеет четвертыйпорядок точности.§7Наилучшее среднеквадратичное приближение функцииРассмотрим гильбертово пространство 2 — линейное пространство функций, интегрируемых с квадратом:∫︁ 2 () < ∞.Заметим, что здесь рассматривается интегрирование любого типа, не только интегрирование по Риману.Введем скалярное произведение в пространстве 2 :∫︁∀, ∈ 2(, ) = ()().Теперь введем норму в пространстве 2 :‖ ‖2⎛ ⎞ 21∫︁√︀= ‖ ‖ = (, ) = ⎝ 2 ()⎠ .Определение.
Пусть дана система ( + 1) линейно независимых функций в пространстве 2 { ()}=0 . Многочлен () вида() = 0 0 () + 1 1 () + . . . + () =∑︁=0называется обобщенным многочленом. (), где ∈ R, = 0, ,64Глава 2. Интерполирование и приближение функцийТак как коэффициенты обобщенного многочлена задаются произвольным образом, то,варьируя их значения, можно получить бесконечно много различных обобщенных многочленов.Определение. Пусть () ∈ 2 и дана система из ( + 1) линейно независимых функций () ∈ 2 , = 0, .Обобщенный многочлен (), имеющий минимальное отклонение по норме от функции ():⎛ ⎞ 21∫︁‖ () − ()‖ = min ‖ () − ()‖ = min ⎝ ( () − ())2 ⎠ ,()()называется наилучшим среднеквадратичным приближением функции () по системефункций { ()}=0 .Утверждение. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции () по системефункций { ()}=0 существует и единственно.Доказательство. Вначале рассмотрим доказательство для частного случая: выберем систему функций, состоящую из одной функции 0 () ∈ 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
