main (1160440), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , ++1 ) − ( , +1 , . . . , + ).++1 − (3)Замечание. Отношение (3) является дискретным аналогом ( + 1)-ой производной.Введем следующие обозначения:() =∏︁( − ) = 0, (),=0, () =∏︁( − ), = 0, 1, . . . , , = 0, .=Очевидно, что′0,( )=∏︁=0̸=( − ),′,( )=∏︁( − ), = , + 1, . . . , .≠=Покажем, что разделенная разность произвольного порядка выражается через значенияфункции () в узлах { }=0 .Утверждение. Разделенная разность -ого порядка представима в виде (0 , 1 , . . . , ) =∑︁ ( )′ ( ) .0,=0(4)52Глава 2.
Интерполирование и приближение функцийДоказательство. Воспользуемся методом математической индукции.Пусть = 1. Тогда (0 , 1 ) = (1 ) (0 ) (1 ) − (0 )=+.1 − 01 − 0 0 − 1Таким образом утверждение выполнено при k=1. Пусть теперь утверждение верно длянекоторого = . Докажем его для = + 1.Следующие соотношения вытекают из предположения индукции:∑︁ ( ) (0 , 1 , . . . , ) =′ ( ) ,0,(5)=0 (1 , 2 , .
. . , +1 ) =+1∑︁=1 ( ).′1,+1( )(6)Запишем разделенную разность ( + 1)-ого порядка: (0 , 1 , . . . , +1 ) = (1 , 2 , . . . , +1 ) − (0 , 1 , . . . , ).+1 − 0(7)Подставим выражения (5) и (6) в уравнение (7) и вынесем общий множитель за скобку:1 (0 , 1 , . . . , +1 ) =+1 − 0(︃ +1∑︁=1)︃∑︁ ( ) ( )−′′ ( )1,+1( )0,.=0Вынесем за скобку ( + 1)-ое слагаемое первой суммы и нулевое слагаемое второй: (0 ) (+1 )++′′(+1 )(0 − +1 )0, (0 ) (+1 − 0 )1,+1(︃ (︃)︃)︃∑︁111+− ′. ( )′+1 − 01,+1( ) 0,( ) (0 , 1 , .
. . , +1 ) ==1Рассмотрим отдельно некоторые элементы этого равенства. Заметим, что:′′(0 ),(0 ) = 0,+1(0 − +1 )0,′′(+1 ),(+1 ) = 0,+1(+1 − 0 )1,+1(︃)︃111− ′=′+1 − 0 1,+1( ) 0,( )1=+1 − 0(︃ − 0 − +1− ′′1,+1 ( )( − 0 ) 0, ( )( − +1 ))︃=1.′0,+1( )Подставив полученные выражения в равенство (8), получим: (0 , 1 , . . . , +1 ) =+1=1=0∑︁ ( )∑︁ ( ) (0 ) (+1 )+ ′+=.′′′0,+1 (0 ) 0,+1 (+1 )0,+1 ( )0,+1( )Утверждение для = + 1 доказано, и в силу индукции справедлива формула (4).(8)§3. Разделенные разности53Утверждение. Значение функции () в произвольном узле , = 0, можно выразитьчерез значение функции в узле 0 и разделенные разности до порядка включительно.Доказательство.
Пусть = 1. Запишем разделенную разность первого порядка: (0 , 1 ) = (1 ) (0 )+.0 − 1 1 − 0Домножим обе части уравнения на (1 − 0 ) ̸= 0:(1 − 0 ) (0 , 1 ) = (1 ) − (0 ).Следовательно, (1 ) = (0 ) + (1 − 0 ) (0 , 1 ).Докажем утверждение для = 2. Аналогично предыдущему случаю запишем разделеннуюразность 2-ого порядка и домножим обе части равенства на (2 − 0 )(2 − 1 ) ̸= 0:(2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ) = −2 − 02 − 1 (0 ) + (1 ) + (2 ).0 − 10 − 1Введем обозначения:=2 − 02 − 0 (1 ) =( (0 ) + (1 − 0 ) (0 , 1 )) =0 − 10 − 1=2 − 0 (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ),0 − 1=− (0 )(2 − 1 ).0 − 1Следовательно,(2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ) = + + (2 ) ==2 − 0(2 − 1 ) (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ) − (0 ) + (2 ) =0 − 10 − 1= (2 ) − (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ).Выразив из последнего выражения (2 ), получим: (2 ) = (0 ) + (2 − 0 ) (0 , 1 ) + (2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ).Переход от = к = + 1 для произвольного ∈ производится по аналогиис рассмотренным переходом от = 1 к = 2, но здесь не приводится, так как сопровождается более громоздкими выкладками.
Далее мы иногда будем пользоваться таким приемом,чтобы избегать громоздкости выкладок.Обобщив полученные результаты, запишем формулу для ( ): ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).Замечание. Формула (9) является дискретным аналогом формулы Тейлора.(9)54§4Глава 2.
Интерполирование и приближение функцийИнтерполяционная формула НьютонаРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < . . . < 6 , ( ) = , = 0, .Воспользуемся результатами предыдущего параграфа и запишем формулу для ( ): ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . .
. ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(1)Подставив в эту формулу вместо , получим полином степени от : () = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).Обозначим полученный полином как (): () = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ .
. . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(2)Утверждение. Полином (2) интерполирует функцию ().Доказательство. Для доказательства утверждения достаточно показать, что ( ) = ( ), = 0, .Подставив в формулу (2) вместо , получим: ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ .
. . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(3)В равенстве (3) все слагаемые, начиная с -ого, содержат множитель ( − ), тождественноравный нулю. Тогда получим ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ) = ( ), = 0, ,что и требовалось доказать.Определение. Интерполяционный полином, задаваемый формулой (2), называется интерполяционным полиномом Ньютона.Замечание 1. Интерполяционный полином Ньютона тождественно совпадает с интерполяционным полиномом в форме Лагранжа.Доказательство.
Этот факт следует из доказанного в первом параграфе утверждения,что для любой функции () существует единственный интерполяционный полином,построенный по ( + 1) узлу. То есть интерполяцоннный полином Ньютона и интерполяцоннный полином в форме Лагранжа являются различными вариантами записи одного итого же интерполяционного полинома.§5. Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита55Замечание 2.
Так как интерполяционный полином Ньютона тождественно совпадаетс интерполяционным полиномом в форме Лагранжа, он имеет такую же погрешность:⃒⃒+1⃒⃒|()| , где +1 = sup ⃒ (+1) ()⃒.| ()| 6( + 1)!∈[,]Замечание 3. Аналогично случаю с интерполяционным полиномом Лагранжа, если исходная функция является полиномом степени, не превышающей , то интерполяционныйполином Ньютона приближает ее точно.Замечание 4. Выбор формы записи интерполяционного полинома функции () зависитот особенностей каждой конкретной задачи.
Например, если узлы зафиксированы и ихчисло постоянно, а искомая функция меняется, то удобно использовать интерполяционный полином в форме Лагранжа. Если же появляется необходимость в добавлении илиудалении узлов при условии сохранения функции, то удобно использовать интерполяционный полином в форме Ньютона.§5Интерполирование с кратными узлами. Полином ЭрмитаРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < . . .
< 6 , ( ) = , = 0, .Пусть, кроме того, в узле заданы значения всех производных функции () до порядка( − 1), = 0, . Натуральное число называется кратностью соответствующего узла .Постановка задачи. Необходимо построить полином () степени , удовлетворяющий условию:() ( ) = () ( ), = 0, ( − 1), = 0, .Определение. Полином () называется интерполяционным полиномом Эрмита.Будем искать интерполяционный полином () в виде () = ∑︁ −1∑︁, () () ( ),=0 =0где , () - полиномы степени .Сформулируем условие, при котором можно найти интерполяционный полиномом Эрмита.Утверждение. Если сумма кратностей узлов функции f(x) равна ( + 1):∑︁ = + 1,=0то существует, причем единственный, интерполяционный полином Эрмита степени для функции ().56Глава 2.
Интерполирование и приближение функцийРассмотрение задачи построения интерполяционного полинома Эрмита в общей постановке, которую мы привели выше, выходит за рамки нашего курса. Интересующиеся могутобратится к [1], мы же далее будем рассматривать частный случай: построение интерполяционного полинома Эрмита для функции () по трем узлам, один из которых имееткратность.Построение полинома Эрмита по трем узламРассмотрим функцию (), определенную вместе со своей первой производной на отрезке[, ].
Построим для функции () интерполяционный полином Эрмита 3 () по трем узлам0 , 1 и 2 : 6 0 < 1 < 2 6 , где узел 1 — кратный.По определению интерполяционного полинома Эрмита для 3 () должны выполнятьсяследующие равенства:3 (0 ) = (0 ), 3 (1 ) = (1 ), 3 (2 ) = (2 ), 3′ (1 ) = ′ (1 ).(1)Будем искать полином Эрмита 3 () в виде3 () = 0 () (0 ) + 1 () (1 ) + 2 () (2 ) + 1 () ′ (1 ),(2)где 1 () и (), = 0, 2 — полиномы третьей степени.Равенства (1) и (2) позволяют сформулировать условия нахождения коэффициентов 1 ()и (), = 0, 2:0 (0 ) = 1, 1 (0 ) = 0, 2 (0 ) = 0, 1 (0 ) = 0,0 (1 ) = 0,1 (1 ) = 1,2 (1 ) = 0,1 (1 ) = 0,0 (2 ) = 0,1 (2 ) = 0,2 (2 ) = 1,1 (2 ) = 0,′0 (1 ) = 0,′1 (1 ) = 0,′2 (1 ) = 0,′1 (1 ) = 1.Воспользуемся этими условиями и получим коэффициенты интерполяционного полинома (2) в явном виде.Из условий 0 (1 ) = 0, 0 (2 ) = 0 и ′0 (1 ) = 0 следует, что узлы 1 и 2 являются корнями полинома 0 () двойной и единичной кратности соответственно.
Поэтому коэффициент0 () будем искать в виде0 () = ( − 1 )2 ( − 2 ),где ∈ R.Для нахождения воспользуемся условием 0 (0 ) = 1:0 (0 ) = (0 − 1 )2 (0 − 2 ) = 1.Поделим это равенство на (0 −1 )2 (0 −2 ) (мы можем это сделать, так как узлы 0 , 1 , 2различны):1=.(0 − 1 )2 (0 − 2 )Замечание. В дальнейшем при делении на множители, содержащие разности узлов, мыне будем оговаривать неравенство нулю этих множителей, считая это очевидным.Запишем представление для 0 () с учетом выражения для коэффициента :0 () =( − 1 )2 ( − 2 ).(0 − 1 )2 (0 − 2 )§5.
Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита57Очевидно, что коэффициент 2 () имеет аналогичную структуру с двукратным корнем 1и однократным корнем 0 :( − 1 )2 ( − 0 )2 () =.(2 − 1 )2 (2 − 0 )Рассмотрим коэффициент 1 (), для которого точки 0 , 1 , 2 являются однократнымикорнями. Тогда1 () = 1 ( − 0 )( − 1 )( − 2 ),′1 () = 1 (( − 1 )( − 2 ) + ( − 0 )( − 2 ) + ( − 0 )( − 1 )).Для нахождения 1 воспользуемся условием ′1 (1 ) = 1:′1 (1 ) = 1 (1 − 0 )(1 − 2 ) = 1.Получаем выражение для 1 :1 =1.(1 − 0 )(1 − 2 )Тогда 1 () принимает вид1 () =( − 0 )( − 1 )( − 2 ).(1 − 0 )(1 − 2 )Из условий 1 (0 ) = 0, 1 (2 ) = 0 следует, что коэффициент 1 () обращается в нольв точках 0 и 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
