main (1160440), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Разностные методы решения задач математической физикиВведем норму в пространстве −1 :‖‖2 (ℎ ) = ‖‖2 =(︃ −1∑︁)︃ 122 ℎ, ∈ −1 .(12)=1Заметим, что если взять значения сеточной функции , рассматриваемой на сетке ℎ , принадлежащие одному слою, пусть -ому, то эти значения образуют функцию ,принадлежащую пространству −1 . Тогда, если будет верна оценка⃦ +1 ⃦(︀)︀⃦ 6 2 + ℎ2 ,⃦2где константa не зависит от и ℎ, то это будет означать сходимость рассматриваемойразностной схемы к решению исходной задачи в норме 2 с соответствующими порядкамиточности по и ℎ.Наряду с вещественным пространством −1 будем рассматривать гильбертово пространство 2 — линейное пространство функций, интегрируемых с квадратом на интервале(0, 1):∫︁1 2 () < ∞.0Введем скалярное произведение в пространстве 2 :∫︁1(, ) = ()(), (), () ∈ 2 .0Теперь введем норму в пространстве 2 :⎛∫︁1‖ ‖2 = ⎝⎞ 21 2 ()⎠ .0Задача на собственные значенияРассмотрим задачу на собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля) для функции() ∈ 2 , обладающей достаточной гладкостью:⎧ 2⎨ + () = 0, ∈ (0, 1),(13)2⎩(0) = (1) = 0,причем () ̸≡ 0.Решениями данной задачи являются собственные значения и собственные функции (): = 2 2 , ∈ N,0 < 1 < 2 < .
. . < < . . . , () = sin(), = ̸= 0.Одним из свойств собственных функций задачи Штурма-Лиувилля является тот факт, чтоэти функции образуют ортогональный базис пространства 2 .§4. Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсона)Положим =√952 и получим: () =√2 sin().Тогда функции { ()}∞=1 образуют ортонормированный базис в пространстве 2 :( , ) = .Значит, произвольную функцию () ∈ 2 можно разложить по базису { ()}∞=1 : () =∞∑︁ (),=1где коэффициенты = (, ) называются коэффициентами Фурье. Тогда справедливоравенство Парсеваля:∞∑︁2‖ ‖2 =2 .=1Рассмотрим теперь разностный аналог задачи Штурма-Лиувилля для сеточной функции ∈ −1 :{︃, + ( ) = 0, ∈ ℎ , = 1, ( − 1),(14)0 = = 0.причем () ̸≡ 0.
Будем искать собственные функции в виде( ) = sin( ), ∈ R, = 1, ( − 1).Распишем уравнение (14) подробнее:+1 − 2 + −1+ = 0ℎ2и перенесем слагаемые, содержащие , в правую часть:(︀)︀+1 + −1 = 2 − ℎ2 , = 1, ( − 1).Очевидно, что+1 + −1 = ( + ℎ) + ( − ℎ) = sin ( + ℎ) + sin ( − ℎ) = 2 sin( ) cos(ℎ).Следовательно,2 sin( ) cos(ℎ) = (2 − ℎ2 ) sin .sin( ) ̸= 0, так как собственные функции не могут быть нулевыми, значит(︂ )︂ℎ22 ℎ= 1 − cos ℎ = 2 sin.22Отсюда следует, что4 = 2 sin2ℎ(︂ℎ2)︂.Для того, чтобы найти , воспользуемся краевым условием для : = sin = 0,96Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиоткуда следует, что = , ∈ N. Тогда собственные значения равны(︂)︂42 ℎ = 2 sin, = 1, ( − 1),ℎ2а соответствующие им собственные функции имеют вид ∈ 1, ( − 1).
= sin( ),√Система функций ( ), = 1, ( − 1)√ортогональна, а если положить = 2, тосовокупность сеточных функций ( ) = 2 sin( ) образует ортонормированный (всмысле скалярного произведения (12)) базис пространства −1 . Следовательно, любая−1сеточная функция ( ), = 1, ( − 1), однозначно разложима по базису { }, то есть1 ( ) =−1∑︁ ( ),=1где = (, ), = 1, ( − 1) — коэффициенты Фурье.
Имеет место равенство Парсеваля:‖ ‖22 (ℎ ) =−1∑︁2 .(15)=1Воспользуемся рассмотренной задачей Штурма-Лиувилля для доказательства следующей теоремы.Теорема. Пусть функция (, ), являющаяся решением задачи для уравнения теплопроводности (1) – (3), имеет достаточную гладкость. Тогда симметричная разностнаясхема (4) – (6) сходится к решению исходной задачи со вторым порядком по и вторымпорядком по ℎ в 2 -норме пространства сеточных функций.Доказательство. Обратимся к рассмотрению задачи (7) – (9) для погрешности решенияразностной схемы :+1,+ ,+1 − =+ , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,2{︃0+1 = 0+1 ∈ ,+1= 0,0 = 0, ∈ ℎ ,(16)(17)(18)(︀)︀где — погрешность аппроксимации на решении задачи (1) – (3), = O 2 + ℎ2 :+1+1− , + ,= ( , ) = −++ ( , + 1 ),22( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .(19)Будем искать погрешность в виде =−1∑︁ ( ) ( ), ∈ ℎ ,(20)=1где ( ), = 1, ( − 1) — дискретные функции только аргумента , , = 1, ( − 1) —собственные функции задачи, зависящие только от ∈ ℎ :, + ( ) = 0, = 1, ( − 1),(21)§4.
Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсона)970 = = 0.Задача (21) была рассмотрена нами выше.Функции имеют вид√ ( ) = 2 sin( ),, = 1, ( − 1)и образуют ортонормированный базис в −1 . Этим функциям соответствуют собственныезначения , равные(︂)︂42 ℎ = 2 sin, = 1, ( − 1),ℎ2 −1Так как функции { }=1образуют ортонормированный базис пространства −1 , толюбой элемент пространства −1 можно разложить по этим функциям, следовательно,представление (20) корректно.Разложим по базисным функциям погрешность аппроксимации на решении: =−1∑︁ () ( ) ( ),(22)=1где () ( ) — дискретные функции только аргумента .Подставим выражения (20) и (22) в уравнение (7):∑︀ −1=1−1 −1∑︁( (+1 ) − ( ))1 ∑︁ () ( ) ( ). ( ) =( (+1 ) + ( )) ( ), +2=1=1Принимая во внимание уравнение (21), получаем−1 (︂∑︁=1)︂−1∑︁ (+1 ) − ( ) + ( (+1 ) + ( )) ( ) = () ( ) ( ).2=1−1Так как { }=1 — система линейно независимых функций, то полученное равенство выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих функциях ( ), = 1, ( − 1) равны: (+1 ) − ( ) + ( (+1 ) + ( )) = () ( ),2 = 1, ( − 1).Разрешим это уравнение относительно ( + 1)-ого слоя, домножив обе части на ̸= 0 исгруппировав слагаемые с (+1 ) и ( ):(︂)︂(︂)︂ 1+ (+1 ) = 1 − ( ) + () ( ).22(︁)︁Учитывая, что 1 + 2 ̸= 0, получаем (+1 ) =Обозначим =1−1+ 2 2.1−1+ 2 ( ) 2+1+ 2 () ( ).(23)98Глава 4.
Разностные методы решения задач математической физикиЗадача. Показать, что⃒⃒1 −⃒| | = ⃒⃒1 + 2 2⃒⃒⃒⃒ 6 1.⃒Решение. Нужно показать, что −1 6 6 1 или−1 61 − 0.5 6 1.1 + 0.5 Неравенство1 − 0.5 611 + 0.5 очевидно в силу того, что > 0, > 0. Рассмотрим теперь неравенство1 − 0.5 > −11 + 0.5 или−1 − 0.5 6 1 − 0.5 ,Которое, как легко заметить, выполнено всегда.Подставим выражение (23) в разложение (20):+1 =−1∑︁ (+1 ) ( ) ==1−1∑︁ ( ) ( ) +=1−1∑︁=11+ 2 () ( ) ( ).Обозначим первую сумму через , а вторую через . Применим правило треугольникадля оценки нормы погрешности +1 через нормы этих величин:⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ + ⃦ ⃦ .⃦(24)222Оценим квадрат нормы , воспользовавшись результатом рассмотренной выше задачи иравенством Парсеваля:−1−1∑︁∑︁⃦ ⃦2⃦ ⃦22 2⃦ ⃦ =2 ( ) = ⃦ ⃦2 .()6 2=1=1Аналогичным образом поступим с с учетом того, что 1 +−1∑︁⃦ ⃦2⃦ ⃦ =2=1(︃)︃21+ 2(︁ () ( ))︁26 2−1 (︁∑︁ 2> 1:)︁2⃦ ⃦2 () ( ) = 2 ⃦ ⃦2 .=1Тогда неравенство (24) примет вид⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ + ⃦ ⃦ .222Рассматривая полученную оценку как рекуррентную, легко получим:∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦⃦⃦⃦ 6 ⃦ 0 ⃦ + ⃦( )⃦2 .22=1(25)§5.
Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении99Учитывая, что ‖ 0 ‖2 = 0 как норма начального приближения, а также используя оценкунормы погрешности аппроксимации, которая следует из оценки (11),⃦ ⃦(︀)︀⃦ ⃦ 6 2 + ℎ2 ,2где > 0 — константа, не зависящая от и ℎ,∑︁ = +1 6 .=0Обозначим 1 = > 0 и получим окончательную оценку:⃦ +1 ⃦(︀)︀⃦ 6 1 2 + ℎ2 .⃦2Замечание. Если в разностной задаче (4) – (6) взять нулевые краевые условия+10+1 = = 0,то для можно вывести априорную оценку, аналогичную полученной выше оценке (25):‖+1‖2 6 ‖0 ‖2 + ∑︁‖ ( )‖2 .=0Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво в норме 2 по начальному условию 0 и правой части уравнения.§5Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимациина решенииРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода: 2 (, )(, )=+ (, ),2(, ) ∈ = {(, ) | ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},(1){︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы,на множествах и соответственно.Поставим в соответствие задаче (1) – (3) семейство разностных схем (в зависимости отпараметра ):+1 − +1= ,+ (1 − ) ,+ ,( , ) ∈ ℎ ,(4)где - некоторая аппроксимация правой части, но не точное значение функции (, ) всоответствующем узле, ∈ R — весовой множитель.Замечание 1.
На практике обычно рассматривают параметр ∈ [0, 1], но данное условиене является обязательным.100Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиДобавим краевые и начальное условия:{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ),+1 ∈ , ∈ ℎ .(5)(6)В рассматриваемой разностной схеме использован шеститочечный шаблон вида−1+1−1+1+1 .При определенных значениях параметра мы получим разностные схемы, которые рассматривались в предыдущих параграфах:1. При = 0, = получаем явную разностную схему.2. При = 1, = ( , +1 ) получаем чисто неявную разностную схему.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
