main (1160440), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость87Следовательно, решение разностной схемы сходится к решению исходной задачи.Перед тем, как доказать необходимость, докажем устойчивость разностной схемы. Рассмотрим разностную схему (4) – (6) c нулевыми краевыми условиями, получим задачу, совпадающую с рассмотренной задачей (8) – (10). После проведения оценок, аналогичных показанным выше, получим∑︁⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ 6 ⃦0 ⃦ +⃦ ⃦ ⃦ .=0Эта априорная оценка означает устойчивость решения разностной схемы по начальнымусловиям и правой части уравнения.

Окончательная оценка имеет вид⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ 6 ⃦0 ⃦ + 1 ⃦ ⃦ ,⃦где константа 1 не зависит от и ℎ.Перейдем к доказательству необходимости выполнения условия теоремы для сходимости разностной схемы. Рассмотрим однородное уравнение относительно : − 2 + +1+1 − = −1,ℎ2где = 0, ( − 1), = 1, ( − 1).Покажем, что при нарушении условия теоремы появятся неограниченные возрастающиегармоники — функции вида = ℎ , где 2 = −1, , ℎ ∈ R, ∈ C.(13)Предположим, что > 0.5. Подставим выражение (13) в рассматриваемое относительнооднородное уравнение и выразим :(︁)︁ℎ = 1 + ℎ − 2 + −ℎ = 1 + 2 (cos ℎ − 1) = 1 − 4 sin2.2Так как, по предположению, > 0.5, то1 − 4 sin2ℎ< −1,2и || > 1. Тогда неограниченно возрастает при → ∞, и о сходимости говорить неприходится.Следовательно, если условие теоремы нарушено, то решение разностной схемы не будетсходиться к решению исходной задачи.Замечание 4.

Разностные схемы могут сходиться условно (и быть условно устойчивыми) и абсолютно. Условная сходимость определяется наличием ограничений на шагисетки любого характера, для абсолютной сходимости требуется, чтобы какие-либо ограничения отсутствовали.Замечание 5. Важно помнить, что сходимость и устойчивость разностной схемы рассматриваются в каждой норме отдельно. В данном параграфе доказана сходимость иустойчивость решений разностной схемы (4)–(6) по норме ‖·‖ , которая является достаточно сильной нормой, а значит, обеспечивает более точную оценку, по сравнению,например, со среднеквадратичной нормой.88§3Глава 4.

Разностные методы решения задач математической физикиЧисто неявная разностная схема (схема с опережением).Погрешность, устойчивость, сходимостьРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода: 2 (, )(, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},2{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ],(1, ) = 2 (),(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(1)(2)(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы,на множествах и соответственно.Поставим в соответствие задаче (1) – (3) следующую разностную схему:+1 +1 − 2+1 + +1+1 − = −1+ ( , +1 ), ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,ℎ2{︃0+1 = 1 (+1 )+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), ∈ ℎ ,(4)(5)(6)где = ( , ) — искомое численное решение в точке ( , ) ∈ ℎ .В рассматриваемой разностной схеме использован четырехточечный шаблон вида−1+1+1Как мы видим, разностная схема является неявной, а это значит, что для получениярешения на ( + 1)-ом слое необходимо решить трехточечное уравнение.

Таким образомнайти решение на ( + 1)-ом слое «в лоб» не получится. В связи с этим возникает вопрос оразрешимости разностной задачи. Покажем, что эта задача имеет единственное решение,и укажем алгоритм его нахождения. Выразим +1 из уравнения (4):(︀ +1)︀+1+1 = + −1− 2+1 + +1+ +1 ,где = ℎ2 , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .Перенесем слагаемые, относящиеся к ( + 1)-ому слою, в левую часть уравнения и получим−1следующую систему уравнений относительно неизвестных {+1 }=1 :{︃+1+1−−1+ (1 + 2) +1 − +1= + +1 , = 1, ( − 1),+10+1 = +1, = +1.12Эта система имеет трехдиагональную матрицу⎛1 + 2−0⎜ −1+2−⎜⎜.... = ⎜ .....⎜⎝ 000000порядка ( − 1):.........00...00...⎞⎟⎟⎟⎟,⎟. . .

1 + 2− ⎠...−1 + 2§3. Чисто неявная разностная схема89обладающую строгим диагональным преобладанием: >∑︁| | , = 1, ( − 1).=1̸=Матрицы со строгим диагональным преобладанием обладают свойством невырожденности, поэтому || ≠ 0, и решение задачи (4) – (6) существует и единственно.

Так как матрица — трехдиагональная, разумно использовать метод прогонки для нахождения решения системы. Этот метод является разновидностью метода Гаусса, адаптированной для матрицспециального вида, и, в отличие от классического метода Гаусса, имеет сложность O( ).Кроме того, так как рассматриваемая матрица обладает строгим диагональным преобладанием, метод прогонки будет устойчивым, а значит, ошибки округления нарастать не будут.Введем сеточную функцию погрешности решения разностной схемы, равную разностиприближенного и точного решений: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из последнего соотношения и подставив это выражение в разностную схему,с учетом линейности уравнения (4) получим уравнение для с нулевыми краевыми иначальным условиями:+1 +1 − 2+1 + +1+1 − = −1+ ,ℎ2{︃0+1 = 0+1= 0,0 = 0,( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,+1 ∈ , ∈ ℎ ,(7)(8)(9)где — погрешность аппроксимации на решении : = ( , ) = −+1 − 2+1+ +1+1− +1+ −1+ ( , +1 ),ℎ2(10)где ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .Задача.

Доказать, что(︀)︀ = O + ℎ2 .(11)Решение. Обозначим ′ = ˙ = , , = (, ), = ( , ). Пусть функция (, )достаточно гладкая как по , так и по .Разложим ее по формуле Тейлора в окрестности точки ( , ). При этом второй аргумент может принимать значения , +1 , + 1 .2+1 = + ℎ′ +ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 (4) + + + . . .2 624(12)−1 = − ℎ′ +ℎ2 ′′ ℎ3 ′′′ ℎ4 (4) − + + . .

.2 624(13)90Глава 4. Разностные методы решения задач математической физикиИспользуя эти равенства, вычислим:, =(︀ )︀ℎ2 (4)+1 − 2 + −1′′=+ + O ℎ4 .2ℎ12(14)Таким образом,(︀ )︀, − ′′ = O ℎ2 .Это означает, что вторая разностная производная аппроксимирует ′′ со вторым порядкомпо ℎ. Далее разложим +1= ( , +1 ) в окрестности точки ( , ):+1= + ˙ + 2 3 ... + ...¨ +2 6 (15)Используя выражение (15), находим(︀ )︀+1− = ˙ + ¨ + O 22и, следовательно,(︀ )︀+1− − ˙ = O .(16)Замечание. Ясно, что(︀ )︀+1− − +1=O .(17)Перейдем к получению оценок погрешности явной и чисто неявной разностных схем.Явная разностная схема. Для явной разностной схемы имеем: =+1 − 2 + −1+1− +(,)−.ℎ2(18)Подставляя в уравнение (18) полученные выше равенства (14) при = и (16), получаем:(︀)︀ = ′′ − ˙ + ( , ) + O + ℎ2 .Так как в точке ( , )(︀ выполняетсяначальное уравнение, то ′′ − ˙ + ( , ) = 0.)︀Следовательно, = O + ℎ2 .Чисто неявная разностная схема.

Для чисто неявной разностной схемы имеем:+1+1+ +1+1− +1 − 2−1=+(,)−.+1ℎ2(19)Подставим в уравнение (19) равенство (14), взятое при = +1 и равенство (17). Тогда = +1Так как +1′′′′(︀)︀− ˙ +1+ ( , +1 ) + O + ℎ2 .(︀)︀− ˙ +1+ ( , +1 ), то = O + ℎ2 .Замечание. Для симметричной разностной схемы разложение берется в точке ( , + 1 )2и проводятся аналогичные действия.Для оценки погрешности воспользуемся нормой ‖·‖ в пространстве сеточных функций на слое, которую мы ввели в предыдущем параграфе.§3.

Чисто неявная разностная схема91Теорема. Пусть функция (, ) имеет достаточную гладкость (четыре раза дифференцируема по и два раза по ). Тогда чисто неявная разностная схема сходится к решениюисходной задачи в норме ‖·‖ с первым порядком точности по и вторым порядком точности по ℎ.Доказательство. Пусть 0 ∈ ℎ — узел, на котором достигается ненулевой максимумпогрешности на ( + 1)-ом слое:⃒ +1 ⃒⃒⃒ ⃦⃦⃒⃒ = max ⃒ +1 ⃒ = ⃦ +1 ⃦ .0066Заметим, что такой узел всегда существует, так как в противном случае +1 = , и дальнейшие рассуждения не имеют смысла.Для доказательства теоремы воспользуемся принципом максимума.

Запишем уравнение (7) относительно узла 0 :(︀)︀(1 + 2) +1= 0 + +1+ +1+ 0 ,00 −10 +1=> 0.ℎ2Оценим левую часть равенства по модулю с учетом того, что (1 + 2) > 0:⃒⃒ ⃒ ⃒⃒ ⃒⃒)︀⃒ ⃒(︀⃒⃒ 6 ⃒ ⃒ + ⃒ +1 ⃒ + ⃒ +1 ⃒ + ⃒ ⃒ .(1 + 2) ⃒+1−1+100000Перейдем в правой части неравенства от модулей слагаемых к нормам соответствующихфункций. При таком переходе правая часть неравенства может только увеличиться:⃦ ⃦⃦⃦⃒⃒ ⃦ ⃦⃒ 6 ⃦ ⃦ + 2 ⃦ +1 ⃦ + ⃦ ⃦ .(1 + 2) ⃒+10⃒ +1 ⃒ ⃦ +1 ⃦⃦ , то полученное неравенство имеет видТак как по предположению ⃒0 ⃒ = ⃦⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦⃦⃦ ⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ + 2 ⃦ +1 ⃦ + ⃦ ⃦ .(1 + 2) ⃦Отсюда следует, что⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ + ⃦ ⃦ .⃦Раскроем рекуррентное соотношение:∑︁⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ 6 ⃦ 0 ⃦ +⃦ ⃦ ⃦ .=0⃦ 0⃦⃦ ⃦ = 0, так как начальная погрешность равна нулю, значит∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ .=0Из (11) следует, что⃦ ⃦(︀)︀⃦ ⃦ 6 + ℎ2 ,где > 0 — константа, не зависящая от и ℎ, и∑︁ = +1 6 .=0Таким образом получим окончательную оценку:(︀)︀‖ +1 ‖ 6 1 + ℎ2 ,92Глава 4.

Разностные методы решения задач математической физикигде 1 = > 0 — константа, не зависящая от и ℎ. Устремив и ℎ к нулю, получим:⃦⃦lim ⃦ +1 − +1 ⃦ = 0. →0ℎ→0Равенство предела разности нулю означает, что решение разностной схемы сходится к решению исходной задачи с первым порядком точности по и вторым порядком точностипо ℎ.Замечание. Если в разностной задаче (4) – (6) взять нулевые краевые условия+10+1 = = 0,то для можно вывести оценку, аналогичную полученной выше:∑︁⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ ⃦ .⃦ 6 ⃦0 ⃦ + ⃦=0Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво по начальному условию и по правой части уравнения.§4Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсона)Рассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ),2(, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},(1){︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы на множествах и соответственно.Введем вторую разностную производную для дискретной функции = ( , ), определенной на множестве ℎ : − 2 + +1,= −1.ℎ2Эта производная является дискретным аналогом второй производной по функции (, ).Поставим в соответствие уравнению (1) его дискретный аналог в виде+1,+ ,+1 − =+ ( , + 1 ),22(︀)︀где ( , + 1 ) = , + 2 ∈ ℎ .2Определение.

Слой + 1 = +22называется полуцелым слоем.(4)§4. Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсона)Добавим краевые и начальное условия:{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ),+1 ∈ ,93(5) ∈ ℎ .(6)В рассматриваемой разностной схеме использован шеститочечный шаблон вида−1+1−1+1+1Заметим, что данная схема похожа на ту, которую мы рассматривали в предыдущемпараграфе, в частности, матрица системы, соответствующей этой схеме, является трехдиагональной со строгим диагональным преобладанием.

Это значит, что решение разностнойсхемы (4) – (6) такой задачи существует, единственно и находится с помощью метода прогонки.Введем погрешность решения разностной схемы: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из этого выражения и подставив его в уравнение (4), получим задачу относительно :+1+ ,,+1 − =+ , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,(7)2{︃0+1 = 0+1 ∈ ,(8)+1= 0,0 = 0, ∈ ℎ ,(9)где — погрешность аппроксимации на решении исходной задачи (1)–(3): = ( , ) = −+1+1− , + ,++ ( , + 1 ),22( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .(10)Задача.

Доказать, что(︀)︀ = O 2 + ℎ2 .(11)Переходим к изучению вопросов сходимости и устойчивости разностной задачи (4)–(6).Рассмотрим вещественное пространство −1 сеточных функций , заданных на одномерной сетке ℎ , содержащей ( − 1) узел и обращающихся в нуль на границе (0 = =0).Значение функции ∈ −1 в -ом узле сетки, = 1, ( − 1), обозначим через .Заметим, чтоdim −1 = − 1.Введем скалярное произведение в пространстве −1 :(, ) =−1∑︁=1 ℎ,, ∈ −1 .94Глава 4.

Характеристики

Список файлов лекций