А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Отсюда сразу видно, что о с (1 — д)В(В< (1+у)В, т. е. т, =1 — д,.(, =1+у и, следовательно, (, =с,(1 — д), (,=с,(1+у).- Для чебышевской схемы с этим оператором 1 Гс,(1+1) 2 с11 — т яа(е) = — ~, ' 1п —, так как 5= — ':. о 2 1/ с1(1 — д) в' с 1+1 В качестве внутреннего итерационного процесса можно взять МПН из пп.
2, 3, "з 4, если В =В +Вс, Ва = Ва) О, а ВсВ3 = =В1В1. Величина д выбирается из условия минимума всей вычислительной работы для решения уравнения Аи = 1. Если спектр В априори неизвестен, то целесообразно для определения поправки использовать итерационные методы вариационного типа. Можно применять и другие комбинации, на которых мы не имеем возможности останавливаться. ДОПОЛНЕНИЕ $ $. Некоторые сведеюш мз фующиовального анализа Прн изложении теории ревностных схем мы пользуемся простейшимя понятиямн функционального анализа.
Приведем здесь краткий перечень используемых нами сведений пз теории линейных операторов. Б Линейные операторы. Пусть Х и У вЂ” линейные нормированные пространства, В! — некоторое надпространство Х. Коли кэмтдому вектору хш тп Ж по определенному правилу ам оставлен вектор у = Ах ю У, то говорят, что на и) (или в Х) задан оператор А со значениями в У.
Множооьпо и! лаеывается областью онределанил оператора А и обооначается Ж(А). 'Множество всех векторов вида у = Ах, когда к!пят(А), назььвается об-. ластью значений оператора А и обозначается бу(А). Иногда вместо Ах будем также плсзть А(х). Двз оператора А и В называются равными, если области их определепия совпадают и для всех *ю Ж(А) = м>(В) выполнено условие Ах = Вх. Оператор А аазывается линейным, осли ов: 1) эдднтиэел, т.
е. для всех хь хтьп В)(А) А(х, + ха) = Ах!+ Ахэ! й) однороден, т. е. для всех х ю мт(А) и любых чисел Л А(Лх) = ЛАх. Линейный ойоратор А называется ограниченным, если существует такая постоянная М ) О, что !!Ах))э ( М!)х)1! для любых х ю м)(А) (здесь 11 11, — норма в Х, 11 1)э — норма в У). Наименьшая ве постоянных М, удовлетворяющих условию (ь), называется нормой оиеуатора А и обоаначаевся 11А1)х г или просто 1!А!1.
Из определения нормы следует, что !!А!=- эпр зАх), ивм 'эА!!=сир ((Ах Ц (2) 1ийь=ь ' Ео Нх!!ь Отметим, что в вонечномерном прострамстве любой линейный оператор оврыючем. Всевовмакиые линейные оврзмпченвые операторы, действующие из Х в У, образуют лвмейюе нормированное проотрвновзо, так иви норма 11А!1 оператора А удовлетворяет всем аксиомам нормы: 1) 1)А!1) О, если 1!А11 = О, то >Ах))ь = О для всех х и А = О; 2) 11ЛА11 = (бь)1!А!1; 2) !!А+ + В11 ~ 11А) + 11В(1. Будем обозначать через (Х-ьХ) множество линейных ограниченных операторов, область определения которых совпадает с Х, а значения принвдлежат Х.
На множестве (Х-!-Х) можно ввести произведение АВ опера- . торов А и В, (АВ)х А(Вх). Очевидно, что А — линейный ограпвиенвый опеуэтор: 11АВ11 < 1!А!1 !!В!1. Если (АВ)х = (ВА)х для всех х ю Х, то А и В называются нерастанавочнмми или коммутатиенмми; в этом случае пишут АВ ВА. В связи с решонмем уравнений вида Ах = у вводится Шшятие обратшио операторе А '.
Пусть А — оператор вв Х ма У, т. е. Ж(А) = Х, бй(А) = У. Если каждому утп У сооюетстэует только одни хьмХ,,для которого Ах = у, то этим соответствием определяевся оператор А ', называемый обратнььм для А и имеющий облезть определения У и область значений Х. Для любых х чп Х и у чп У имеем, нэ определения обравного оператора, тождества А-'(Ах) = х, А(А-чу) = у. Нетрудно показать, что если А лпнееи, то и А ' (если он сущеиюуст) также лмнеен. 11. нннотогыв онидиния ив эуннцноняльного анялнвл 593 2) иоложительным, если (Ах, х) ) 0 для всех хгиН, кроме х = 0; (5) 3) нолуогрпниченным снизу, если (-4х, х) ~ — ез ) х) Дла любых х гв Н (б) вде еп — положительное чвсло; 4) положительно оиределенным, если (Ах, х) > 63х(Р для любых хсвН, (7) где 6 ) 0 — число.
Пусть А — проиавольный неотрицательный оператор, х ги Н. Число (Ах, х) наэовем знерзией оператора А. Будем сравнивать операторы А и В по аворгив. Если ((А — В)х, х) ) 0 для всех х, ю будем капать А > В. Неравемстиа (4) — (7), в частности, можно заменить операторными нера- венствами А)~0, т. е. (Ах,х) ьО, А>0, т.е. (Аз;х)>0, А~ — езВ, т. е.
(Ах,х)) — ез(!х1~, А> 6Н, т. е. (Ах,х) > 6(х((з, (8) где Н вЂ” единичный опвратор (Ез = х). Нетрудно убедиться в тоы, что введенное на множестве линейных операторов (Н - Н) оснащение неравенства облгдает следующими свойствами: 17' ив А > В и С > В следует А -(- С > В+ В; 2] ввА>Ов)з)ОслодувгИ>0; 3) вв А > ~>В и В > С следует А > С; 4) если А ) 0 и А-' существует, то А-' ) О. Если ф — линейный оператор, заданный ва Н, то оператор Ап, также заданный на Н, для которого при всех х, у онН выполнено равенство (Ах, у) (х, Азу), называется сопряженным к оператору А.
Если А— линейный ограниченный оператор, то сопряженный оператор определен однозначно н является линейным огранвчеиным оператором с нормой !!Аз!! = !(А1. Линейный ограниченный оператор А называется самосонряженным оператором, если Аз =А, т. е. (Ах, у) = (х, Ау) для любых х. у шН. Лемма 1. Для того чтобы аддитиеный оператор А е и!(А) = Х и Уу(А) = У имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы Ах = 0 тояько нри я=О.
Теорема 1. Пусть А — линейный оператор иг Х на У. Для того чтобы обратный оиератор А ' существовал и был ограниченным (как оператор иг У иа Х), необходимо и достаточно, чтобы сущеетеоеала такая постоянная 6 > О, что для есех х гв Х РА гз> 6!)х3г (3) (!! ° !!г — норма е Х, !! !!г — норма е У). При етом снраеедлиеа оценка !(А з3 ( ~ 1/6. 2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом вростраиотве. Пусть Н вЂ” вещественное гильбертово пространство со скалярным промвведввнем (х, у) и нормой !(х(! ) У(х, х).
Будем рассматривать ограниченные линейные операторы; заданные на Н (й)(А) = Н). Введем ряд определений. Оператор А будем нввываттс 1) неотрицательным, если (Ах, х) > 0 для всех хгвН; допосгвинив 594 Покажем, что = зи ) (. Действительно, иа неравенства (9) имеем ')(ц, х)! = )(А — 'ц, Ах)! (!!ц!! «э((х))л. (10') Если А †люб линейный оператор, то А«А и АА« — самосопряженные неотрицательные операторы: (А«4х, у) = (Ах, Ау) = (х, АеАу), (АьАх, х) = !!АЦ« ) О, (АА«х, х) (!Аьх!!г ) О, Отметим, что (А*)" = А, (Аь) ' =.(А ')е.
В комплексном гваьбертсием пространстве Н из требования веоврнцательвпсти оператора А следует его самосопряжевнссттм осли (Ах, х) ) 0 для всех хгв Н, то А = Ае. Для вещественного прсстрвиоша Нлто уввернщение наверно. Поскольку, мы рассмасрвваем только лещеогвенное гильбертово еэростринство, во будем повэисиаться операторными неравенствами и для несамосопряжевных опер в. Г воре ма 2. Проигеедение АВ двух иере«тоно«очных неотрицательных самосоиряженных окераторое А и В есть также неотрицательный самосонряженный оиератор. Оператор В называется кеадратным корнем иг ояератора А, есин В' = А.
Теорема 3. Существует единстеснный неотрицательный самосонряженный квадратный корень В иэ любого неотрицательного самосонряженного оператора А, яерестаиоеочный со есяким оиератором, нерестанооочным с А. Квадратный корень из оператора А будем обозначать через А'с Пусть А — положительный н самосопряжевный линейный оператор.
Вводя на линейной системе Н скалярное произведеыие (х, у)„= (Ах, у). в норму !)х!)л = У(х, х) л, получим гилибертово пространство Нл, которое обычно называют энергетическим иространстеом Нл. Неврудво понизатть что скалярное произведение (х, у) л — — (Ах, у) удовлетворяет аксиомам скаляржио произведения: 4) (х, у)* =,(у, х)л,' 2) (х+ у, г) « = (х, г) л+ (у, г) л! 3) (,Хх, у) л = ) (х, у) л'! 4) (х, х) л ) 0 ври х чь 0 и (х, х) „= О только ири х = О. Аксиомы 2) и 3) выполняются в силу линейности, 4) — в силу положительности оператора А. Требование (х, у) л = (у, х) л, или (Ах, у) = (х, Ау) = = (Ау, х) означает самосопряжеиность оператора А и тоже выполнено.
Ие аксиом окалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского ! (х, у) „! ~ !(х!!л!!у!!л в неравенство треугольника !!х+ у!(л ( ( !!х)!я + !!у)!». Тем самым докаваиа Л е м м а 2. Для любого иоложительного самосоаряженного окератора е еещестеенном гилъбертооом нространстее снрееедлиео обобщенное нера«енот«о Коши — Бунякоеского (Ах, у)г ( (Ах, х) (Ау, у). (9) Замечание.
Это неравенство имеет место н в том случае, когда А — неотрицательный оператор. Если А — самосопряжеиный положительный оператор ц А ' существует, то можно ввести «негативную» норму ))ц!),=(А-»ф, ц)'" (10) б!. ЦЗНОтогын снкдкния из ФункциОнАльнОГО АКАлизА 595 Следовательно, )(<р х) ) )гР "А — 1)) ))А С другой стороны, если х = А-'в, то (гр, А 1гр) )) .))А (АА-'р, А-гр)'/* (~/А-1 что н доказывает эквивалентность (10) л (10').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
