А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 93
Текст из файла (страница 93)
е. на равномерной сетке, с) 1)'3, а при малых 1=Ь,/Ь<1 имеем ц = 21=2Ь,/Ь, т. е. обусловленность системы уравнений (72) ухудшается при уменьшении Ьс/Ь. Число итераций для решения системы (72) по явной схеме о ЧНП или по схеме пюоогой итерации обратно пропорционально Ус) или с) и потому будет неограниченно возрастать при Ьс- О. 560 гл. х. методы Решения сетОчных угавнений Рассмотрим теперь для того же оператора Л обобщенную задачу на собственные значения: Лу+ ХРу О, где Р— диагональная матрица, Ру=11(х)у, 1Их) >О. В данном (А, 0) случае Р =~0,~ ), и мы получаем для определения ), задачу 1~ — — — „— ~ +),1(,у, = О, — +)~1(~у = О.
1 /Уз У1 У11 зУ1+ У1 1 Вместо (73) получаем квадратное уравнение 1(11(11р' — (И+ 1)1(1+ 2Ы1))1+ 2+1=0. Выбирая 1(1=1/Г, 1(1=1, получим отсюда 1) 1П2+1) и ц 1э0,5 при Гч. 1, т. е. О остается конечным при Ь1- О. Поэтому вместо наной схемы целесообразно пользоваться схемой =Лу +1. '1+1 Аналогичная ситуация имеет место и при использовании ПТМ для эллиптических уравнений на неравномерных сетках или в произвольной области. Поэтому оказалось необходимым модифицировать попеременно-треугольный метод за счет введения в состав В еще одного оператора Р =.Р* > О, который должен выбираться иа соображений минимума итераций и экономичности каждой итерации. Пусть Р =Р* > Π— произвольный оператор, а оператор А = Ае > 0 уравнения Аи = 1 представлен в виде суммы двух сопряженных друг другу операторов А, и А,: А = Аз) О, А = А, +А„А, =А .
(75) Образуем факторизованный оператор В = (Р+ вА1)Р '(Р+ е1А1), (76) гдеои >0 — итерационный параметр. Очевидно, что  — самосопряженный и положительный оператор. Предположим, что вместо (25), (26) выполнены условия А > бР, т. е. (Ал, х) > б(Рх, х), б > О, (77) А,Р 1А ( 4 А, т. е. (Р-'А,х, А т) ( (— (Ах, х), Л) О, (78) для всех л ж В. Тогда справедлива теорема 2 и все формулы (27) — (30), в которых оператор В следует заменить оператором А. Нет необходимости их переписывать. Э 3.
ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 561 Как выбирать оператор 'Р7 В тех задачах, которые рассматриваются ниже, достаточно предположить, что Р— диагональная матрица, Р б х) йх))0. ' (79) у ( у Поэтому для модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ) возникает задача выбора сКх) так, чтобы отношение т) = б/Ь было максимальным. Покажем эффективность МПТМ для задачи Дирихле в произвольной области 6 с границей Г в случае эллиптического уравнения с переменными коэффициентами: Ьи = е— ~й~ (х) з— ) + з (й, (х) з— ") = — 1(х), х = (х„х~) ее6, (80) и (х) = р (х), х я Г, йа (х) а сг ) О, а=1, 2. Предположим, что граница Г достаточно гладкая. Кроме того, для простоты изложения будем считать, что пересечение области 6 прямой, проходящей через любую точку хш 6 параллельно оси координат Ох„, а = 1, 2, состоит из одного интервала.
Для того чтобы написать разностную схему для задачи (80), построим сетку оа (вообще говоря, неравномерную не только вблизи границы Г). Проведем семейство прямых ха =х('а), (а= О, ~1, ~ 2,..., а = 1, 2.Тогда точки х;=(х(дЧ, х( э)) образуют ос поеную решетку В, на плоскости (хо х,). Точку х, решетки Вз, Ь Ь принадлежащую 6, назовем внутренним узлом сетки. Множество всех внутренних узлов обозначим вм т.
е. ма= (х;ен 6 П В,). а Пересечением любой прямой, проведенной через точку х,шва параллельно оси Ох„, с областью 6 является интервал О (х,). Концы этого интервала назовем граничными узлами по направлению. х,. Множество всех граничных узлов по х, обозначим через 7,. Граница "(а сетки ва есть сумма ~а=Ъ 07.. Тогда аа=юа07з. Обозначим ю (хз), р = 3 — а, а=1, 2,— множество узлов, лежащих на интервале А„; ю (хе) — множество, состоящее из ю, и + правого конца интервала Ь, а (хз) состоит из ю (хз) и концов (+за) ( 1 а) интервала О,. Обозначим х и х узлы,' соседние с х ш ~и юа(хр) справа и слева и принадлежащие еэ,(хз).
Здесь х — внут(+та) Ренний Увел. Если х ~уа, то этот Узел может не совпадать Оа+1) ь с узлом х решетки. Пустьйа(х) — шаги сетки вм определяе- мые как расстояния между узлами сетки х ш аз и узлами (а1а) ~ юь. Во всех внутренних узлах сетки а, определим также средние шаги 562 ГЛ. Х. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЬТХ РР»ВНЕНИй Еели решетка равномерна по каждому иэ направлений х„, т. е. = (айа»' (а ()» .л. "1» ш 2» ° ° » то вес средние шаги Ь й, — постоянные, а Ь„в приграничной эоне отличны от ь„: ЕЕЛН йа (Ьа» ТО Х ЕЕ ЦЮ ха Мха =((а+ 1) Ьа (+»а) (+»а) (Ча+») Напишем разностную схему Лу — ф(х), х ю е»», у(х) = )л(х), х»и т», (81) где 1 ( „(+'.) „„„(-'а)~ Л = Л, + Л», Лау = (аау- )- = — аа — аа а)аа Ь ~ Ь+ а а ьа у( а) = у(х( )), а+ = а,(х( ")), а ь+ ' *а ва (82) л.» — 2 (',— '».„.> ', (" — — ")»~, (83) (- а) (+»а) причем у- = — у, если х ееу», у„= — у при х еиу».
аа Ь а ь о Введем на множестве И сеточных функций, равных нуую на у»» операторы А, и А„полагая А„у -Л у, а 1, 2, для любых у»яй-Н. Тогда А А,+А,- — Л. о В Н й вводится скалярное проиэведение (у, и) = ~ у (х) о (х) й»я». о» Операторы А, и А, сопряжены друг другу: (А,у, о) (у, А»и); В'этом можно убедиться непосредственно с помощью формулы Коэффициенты а и ф(х) выбраны так, чтобы схема на равномерной сетке имела второй локальный порядок аппроксимации. По ° налогяи с $3 гл. 1У можно доказать равномерную сходимоеть схемы (81) со скоростью О(! Ы»). Перейдем к описанию МПТМ для решения написанной системы разностных уравнений (81), Прежде всего представим Л в виде суммы Л = Л, + Л, $ 3.
ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 563 суммирования по частям. Отсюда следует, что оператор А А, + +А, самосопряжен. Мы опускаем те выкладки, которые приводят к выбору (1(х) из условия максимума отношения )) = 6/(й, и остановимся лишь на описании окончательных реаультатов. Для ()(х) получается формула «(*)=2 ( „' — -И- — $ — ' — — "$) у — „, (34) (ра(ХЕ) = Шал Рй (Х), ())а(ХЕ) = Шал Р«" (Х), (а) (а) «аваа. .аеаа ' (85) ' Р=3 — а, а=1,2. ФуНКцИИ Р1, '(Х) И Е(а'(Х) ОПрЕдЕЛяЮтея КаК рЕШЕНИя аадаЧ ( ° )*.— а+ оао = ' Р1 ха ее (еа (хс) ~ Р1 !»а О, Р1 = —.(-~ (86) (ан, (а)- (а) (а) а а а ( Оаг ) . = — Рй ~ Ха С«Ва (ХС)1 (а)) .
(а) ~а+ а (87) ,(а)) «, (а) ( ! а «а 1 с» (» =81 Р« Всего надо определить четыре функции Р),Р1 Рй ° Рг . Это (1) (1) (1) (1) можно сделать методом прогонки с аатратой 0(1) действий на УВЕЛ СЕТКИ. ЗНаЯ Р(а) (Х) И ~4") (Х), СтРОИй СЕТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО переменного (р,(хй), )Р (х»), после чего определяем ()(х) согласно (84). При таком выборе ()(х) имеем . 6=1, 6=4шах( шах (У(ра(хв)+(()а(хе)) ). (88) а=1 «ь «аеас Теперь можно определить итерационные параметры в, и (тй) и воспольаоваться итерационной схемой й+1 й (Р+вА1)Р'(Р+вА1) " "+Ау=(р, я=О,'1,2,... тй+ й+1 Для определения у надо решить уравнение й+1 ' й (Р+ вА,) Р ' (Р + вАД у = Р« й 1'й = Ву+ та+1 (ЛР+'ч)), '(и = у на вй, Р = )й на уй),что сводится и последовательному решению уравнений й (Р + вА,) у = Р, у )»й «а О, й+1 1+1! (Р+вА,)у =Ру=()(х)у, у )»~=О.
564 ХЛ, Х. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИИ Напишем более подробные формулы: (90) а1 а «а а1 Вычислительная процедура та же, что и в и. 5. 9. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области. Рассмотрим в качестве примера применения изложенного выше алгоритма МПТМ задачу Дирихле для уравнения Пуассона Ли =' — + — = — ~(х), хан С, и = р,(х), хан Г. ди ди да1 дат 1 1 (1а+Ч (1а) Предположим,'что решетка квадратная, т. е.
ха —— ха +Ь, 1 О, ~й, ~2, ..., а (, 2, е11 (х1=(11Ь, 11Ь)ыб, 1 О, ж$, ~2, ..., а 1, 2). При этом все йа= Ь, а Ьа отличны от Ь только в приграничных узлах сетки. Воспользуемся схемой (81), в которой положим а (х) 1 и Ь ° Ь, так что Лу=р- +у- = — В хые1ы у!т«=р. а1и1 ~~1~1 Чтобы применить МПТМ, надо найти функции в,(х) и Р1(х) как решения уравнения Л Р=Р„- = — р(Х), ХаЕНЕ1а(ХЗ), Р)Т„=О, (3=3 — и, 11=1,2, "а"а с правыми частями р, (х) = —, р, (х) = — — — — . 1 1!11 а «а а РаССМОтРИМ ИНтЕРВаЛ Ли И ОбОЗНаЧИМ ЕГО КОНЦЫ Ха = 1а(Ха) И ха=~а(хз),Ь„Н Ьа — нерегулярные шаги на левом и правом концах интервала Л . При этом ха — )а + Ьа е 1а+ Ьа ( ха(5а — Ьа ~ 1 (и(+1а) и „и( 'а)) « ~ «+ «(1 а $ х попзввменно-'ггеугольный мктод 565 Функции ид"~(й) и о~ ~(х) находятся в явном виде; для ~р,(хр) и ф.(х~) получаем выражения 1й (зз) —.
~ (зз) 'Р 4ра(хз) ~ . / +1, 2ь~ $ (хэ)= —, Р=З вЂ” а, а=1,2. 1 Отсюда, в силу (88), определяем Л и оцениваем число итераций л' эпо(е), лэ(е) =, ' (91) 3,4 )/ Ь/! где 1, — диаметр области 6. Таким образом, число итераций для проиэволыюй области за- висит лишь от основного шага Ь сетки оп и не зависит от шагов в приграничных узлах. Сравним (91) с формулой для итераций в случае модельной задачи в квадрате со стороной 1,: л (е)= 1в (2/з) 3,34 ФГЬ1~, Отсюда видно, что для произвольной области 6 число итераций увеличивается в 3,54/3,4=1,04 раз, т. е.
на 47з по сравнению с квадратом, сторона которого совпадает с диаметром области 6. Практически это означает~ увеличение числа итераций ка 1 — 2 итерации при е 10 ' и й = 1/100. Можно сделать такой вывод: число итераций с использованием МПТМ в случае произвольной области близко к числу итераций для той же задачи Дирихле в минимальном прямоугольнике, со- держащем область 6.
Численные расчеты подтверждают' теорети- ческие оценки. 10. О решении разностных уравнений для задач с переменны- ми коэффициентами. В п. 8 мы рассматривали метод решения разностных уравнений, аппроксймирующнх эллиптическое уравне- ние с переменными коэффициентами в случае, когда область 6 имеет произвольную форму. В п. 9 мы оценили эффективность модификации ПТМ при решении разностной задачи Днрихле для уравнения Пуассона. Пе мэ важным является также вопрос об уменьшении числа итераций при рею оивн уравнений с переменными коэффициента- ми.
В п. 7 емли показано, что для ПТМ число итераций пропор- ционально Усз/с, где ~. — наименьшее, а 'с, — наибольшее значе- ние коэффициентов. Опер~ эу А (с переменными коэффицнентао мн) ставится в соответствие опер ор Л (например, В = — Л, где Л вЂ” разностный оператор Лапласа), таъ с,В<А <с,Н, 566 ГЛ. Х.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ и в дальнейшем именно В используется для построения факторизованного оператора В = (Е + о1В1) (Е + вВ1), В, + Ве = В, В1 = В, Возможен, однако, случай, когда коэффициенты дифференциального уравнения меняются очень сильно, но в малой области (локально), так что границы спектра оператора А нашей задачи меняются мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
