А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 92
Текст из файла (страница 92)
6. Схема повышенного порядка точности в прямоугольнике. В гл. 1(т, $5 для задачи Днрихле Ли — 1(х), х сн с; и )»(х), х»в Г, (45) была получена схема четвертого порядка точности Л'у = — »р(х), х си л>л; у )»(х), х »н'(1, (46) где Ао л ~р = ~+ — „' Л»1+ —,', Ла~. у 3. попвувмвнно-тувугольньш мвтод Пусть Н=Й вЂ” пространство сеточных функций, задаяных на 1е1 и равных нулю на 7а Введем операторы Ау = — Л'у, Ву — Лу для любого У1иН и вместо (46) получим АУ=1р, где 1р чь1р только в приграничных узлах. Воспользуемся оценками для А из гл. 1Ч: 3 В(~А(В, т.е. с1= 3' сз=1 2 2 Оператор В представим в виде суммы В, и В,: У- У- У У В=В„+В„В,У= — + ~, Ву аа 1 ~$ ьв ьв 2 а Величины 6, Ь, с11 те же, что и вп.
5, 71 — — — 71, 71=7м где а о 71 и 71 даны в п: 4: а 2 (1+УЧ) 4УЧ Остается найти итерационные параметры (ть), используя 71 и 71. Формулы (42) и (43) остаются в силе, меняется лишь Р: ь ь А ь Л1+Л,' . а Р = Р(зю+ Ф Ф = — ть+1 — '' Л1Л У, (47) гдов'<зю — выражение, определяемое по формуле (38). Число итераций, очевидно, равно ° /3 а п~)па(з), па(з) = ~1 2 пз(с),- где па (с) — число итераций в случае задачи 'Дирихле для уравнения Пуассона (35). Таким образом, для схемы повышенного по рядка число итераций по ПТМ увеличивается в У1,5 = 1,22 раза по сравнению со схемой второго порядка точности.
Для двумерного случая более экономичным является итерационный метод переменных нбправлений (см. т 4, п. 2) или даже прямой метод декомпозиции (см. т 1, п. 2). Однако для многомерной задачи Дирихле 0(1Ь!1) наиболее экономичным является ПТМ. В этом случае оператор Л' строится так (см. 3 5 гл. 1Ч): У г азу Л У = ~А~а~ Ла .1.1 (Е + кУЛУ)~ ка 12 ~ Лау = уааа ' (48) У=1 УФа 33 Л. а. Саааусааа 554 гл. х.
методы Решения сеточнь|х уРАВнении Тогда справедливы операторные неравенства ~ — ) В(А(В, (49) где Р Ау= — Л'у, Ву= — Лу= — ~' Л„у, уееН, лл 1 р-1 .Ел (е) = ~2 ) пе (з), Р Ы г = )л(х). Требуется найти решение задачи Дирихле 5и- — ~(х), хлв6, и!Р=фх), (50) непрерывное в лл. Здесь 5 — эллиптический оператор второго порядка. В области (7 вводится сетка елл=(х~=((лЬо ллЬлф у 1РЬ,) н6, ла-О, $, 2, ~ №1 Ь„№ („а 1,2,...,р) с гРаницей 71, так что елл = слл 0 71. Как обычно, вводим пРостРанл ство В=И сеточных функций, заданных на елл и равных нулю на "(л..Пусть (у, и) = ~ у (х) и (х) Ь,Ь,...
Ь вЂ” скалярное произведение в Н. Ф где па (е) — число итераций для решения уравнения Ву=(, оно практически не вависит от числа измерений р. 7. Разностеые схемы для эллиптических уравнении общего вида. Чтобы применить ПТМ для решения операторного уравнения первого рода, надо найти оператор В, построить треугольные 'операторы В; и В„ вычислить постоянные зквивацентности ели с„ а также б и Л.
После этого можно пользоваться общей теориеи иа п. 4, в частности, теоремой 2, найти и = п(е) и построить набор Ф параметров (тл). В качестве оператора В в случае разностных эллиптических операторов А можно выбирать, как мы видели в и. 5, разностный оператор Лапласа. Рассмотрим несколько примеров более сложных разностныхэллиптических задач. Всюду будем предполагать, что область П (0<х ((„а 1, 2, ..., р) — р-мерный параллелепипед (при р 2 — прямоугольник) с границей Г, на которой задано краевое условие первого ода ' э э.
попвгвмкнно-тывттольнын метод 555 где Л вЂ” раэностный (2р+1)-точечный оператор Лапласа, и вместо (54) запишем Ау <р, где <р чь ~р только в приграничных узлах. В гл. 1Ч, э 4 было показано, что с,В < А а: с»В, (55) где с„ с, — постоянные, входящие в условие эллиптичности (52).
Чтобы применить ПТМ, надо построить В, и В,. По аналогии с п. 5 полагаем Р Вду =,)„ЛЛ»" аю а т ад д»а В у= — г, —,", В,+В,=В. а д а Теперь надо найти постоянные б и Ь. Так как б — наименьшее собственное значение, то 4, пЛа б= т, де)пэ — ". =ль~ Л 2д а д а а 'ад 4 Постоянная Ь равна т, —, так как а даа ~В,д ~ч~~ »а ~~ д ~ч~~~ ~д~~ч~~ 1 (В а а,ьаа„, " „— дьа а) Уравнение эллиптичесноэо типа со смешанными производными. В этом случае д l д»1 Ьи = ~~~~ Ьаэи, 1~аэи = — ьаэ (х) 1д (51) э Р сд ~ »эа(~ Х йаз (х) э»ас»Э ~ (сэ 2.'~ э»а1 (52) а д а,с=д где а=($п 5», ..., $») — произвольный вектор, с,) О, сд) О— постоянные.
Построим на одд разностные операторы (см. гл. 1дГ, $4) т ЛУ = )~~ Ладу~ Ладу = — [(йаэ У- ) + (~ааэу- ) '~ (53) а, В= и ставим задаче (50) в соответствие раэностную задачу Дирихле Лу — ~р(х), х дв вл, у = )д(х), х ~и Тд. (54) » Введем операторы А и В в пространстве Н = И: Р Ау = — Лу, Ву = — Лу = — ~~.", У- а-д 556 ГЛ. Х. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ Зная 6, Л, с, и с„вычисляем од, я(э), [тй), после чего применяем ПТМ. Число итераций п(е) апе(э) = ~/ — — т) = — ° /се 1в(2/е) 4 е У сд Е)/Евд/ЧР (56) ,рр с пропорционально )др )рр с В случае кубической сетки (Ь, Ь, ... Ьв=Ь) в р-мерном кубе (!р )в ...
1, 1) имеем 6 = — э(е — Л =— 4р е ай 4р йе Э * йев и величина т) = ип' —, а эначит, и число итераций не зависят . еай от числа измерений. й+1 Для определения у решаем уравнения й й+1 й+1 Вру =(Е+едВ1)у =Р, Вв у=(Е+сдВе) у =ур (57) Р = Ву — Тй.~д ~Ар — рр) = Ву+ тй.ед ~ЛР+ рр). (58) й+1 й+1 й Решением аедачи (57) является и = у при х ев едв и и = р при й+1 й+1 х ае 71, так что и — у = р — рсНапишем выражения для В, и Ввд У Р а-1 "а а 1 а Р Р вс-р.р вс-'(р.р 2 — ',)р — У.— ', рр""'. а два а дйа (59) (60) й+1 во всех узлах х ~ сдв, Чтобы найти у на едв, выбираем в качестве исходного узел с номерами д = )рр', — 1, а 1, 2, ..., р, и Вычисления начинаются с узла (р 1, дв 1, ..., дв 1 параллелепипеда, для которого все соседние уалы х( а) ~ удивляются граничными, и значения р( да) = р в них известны.
Поэтому определяем у в этом уэле. После этого фиксируем 31 1, ..., $в ° 1 и меняем д, 2, ..., )Уд — 1, затем полагаем 1,=2, проводим вычисления для д, = 1, 2, ..., )р'р — 1 и т. д. В .результате находим $3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫИ МЕТОД 557 пользуемся формулой Л+1 а 1 а б) СиетЕМа ЭЛЛиитиЧЕЕНиХ ураВНЕНий. Пуеть .П = (и1, изв... ..., йо) — вектор, й = (й В)- клеточная матрица р Х р с клетками лов Хтов так что йав = (веав) — матрица размерности лов Х Х воо. Реосмотрим задачу Дирихле для системы уравнений в параллелепипеде С: Ьи*= — ~', хам бо и'= )1', х~ Г, в= 1, 2,...,шов (61) где (62) Условие зллнптичности имеет вид Р овО Р '"О ао е,Х Х(В.')'~ 2: Х й-в(х)В;Вв(е,ХХ ®)*о (6З) где $а = ($,'„ф, ..., ~,~), а =(, 2,..., р,-произвольные' векторы, с, О, со)0 — постоянные.
Строим разностный оператор '"о Лу'= „'Е,„'Е Л.ву", аз 1ов-1 где Л ву = ~~ [~Кву„"-,) +(й ву".в)1в (65) и рассматриваем ревностную задачу Дирихле Лу' — ~р'в х 1в ооов у' = )1'в х ы 7ь (66) о Вводим пространство Н= ое сеточных функций со скалярным про- изведением о (у т) = ~~.'~ ~(у, Р ), (у', о') = ~ у*(х) Р'(х)Ь15 .. ЪРв ° -1 аяаЛ у=(ух,уо,...,у,...,у ), т=(оовоо,...,о,...оо )1 у*~Н, О'онН, в = $, 2, ...,то. В пространстве Ы рассматриваем оператор Ау'= — Лу' и регуля- ° о о,г о ризатор Ну = — Лу = — А5 у-, где Л- (2р+ 1)-точечный раз- а 1 аа*а постный оператор Лапласа.
558 ГЛ. Х. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИИ Пользуясь разностной формулой Грина и условием (63), по- лучаем операторные неравенства (32). Так как оператор В тот же, что и для задачи (53), (54), то 6, Л и, следовательно, ю известны и оператор В определен. Алгоритм определения (й + 1)-й итера- 1+1 рии для каждой из компонент у тот же, что н для примера а). в) Система уравнений теории упругости.
Рассмотрим систему уравнений стационарной теории упругости (уравнений Лама) 5п )глн+ (Л+ р) лгай 61т и = — Пх), (67) где и = (и', и*, ..., и'), 1 ()о )„ ..., 7,) — векторы, Л > О, р ~ ~ Π— постоянные Ламе. Напишем эту систему в виде Р 1 ° Р )1,)' — ", +(л+)1)~~~~~ з = — 1', з=1,2,."1Р (68) „ 1 дга Сравнивая с (62), видим, что )газ = Фазба» + Р + )1) баэбзпв~ (68) где бо — символ Кронекера (ба = О, если гчьу, ба 1). В гл.
1Х, з 2 было показано, что для системы уравнений (68) постоянные с, и с„входящие в неравенства (63), равны с, = )1, со = Л+ 2)1. Получаем следующую разностную задачу Дирихле для (68): Л'у'= — ~', хове11, у' 11', хж7„г 1, 2, ..., р, (70) где, Р Р л'у' = р Х л.- '+ (л+ р) Х л,.у', а=1 з 1 г л.у=у-., л,,у= — (у- +у -'). 2 ( "з* *с**)' Остается определить оператор Ау' = — Л'у' для любого у'1НВ Р и регуляризатор Ву = — ~~~ Л„у, т.
е.  — ' тот же оператор, что а 1 и выше. Пользуясь разностной формулой Грина, убеждаемся в том, что имеют место неравенства С,В (А ~ С,В, где с, = )1, с, Л+ 2)1. Здесь дальнейшие рассуждения совпадают с теми, которые прово- дились для предыдущих примеров. Таким образом, применение ПТМ требует числа итераций, пропорционального р' — = ~ 2 + —: / Л+2Н ° / Л Р по(е) = )l + ало (е), (71) $ э. попнгвменно-твкугопьный мнтод 559 Ф где пз(е) — число итераций для решения разностного уравнения Лапласа. 8; ПТМ для решения сеточных эллиптических уравнений в 'процзвольной области.
При решении эллиптических уравнений разностным методом в произвольной области даже при использовании постоянного шага по каждому направлению в приграничной зоне получается неравномерная сетка. Кроме того, на практике часто используются неравномерные сетки. Между тем оказывается, что границы спектра разностного оператора на неравномерной сетке могут сильно меняться, и это приводит к ухудшению сходимости рассмотренных выше итерационных методов. Поясним оитуацию на простом примере.
Для уравнения и" = — 7(х), 0<в<1, и(0) =иИ) О, посвронм трехточечную разностную схему Лу= — Лх), хж с)ь, у(0) =О,- уИ) =О. (72) Возьмем сетку е)с из двух внутренних узлов: юс=(х, О, хс=йо хс Ь,+Ь, х,=1), так что 1 ( Ус — У, У,~ — 2Ус + У, лу,= — ~ — '' — — '~~ лу,= так как у, = у,= 0 (считаем, что Ь, < Ь и 2Ь+ Ь, = 1). Найдем собственные значения' оператора Л: Лу+Ху=О, или 1" Исключая. отсюда у„получим для р =))Ьс квадратное уравнение 1)с* — И + 81))с+ 2+ С О, С = Ь,/Ь, . (73) и найдем его корни 1+Зс+ У (1+Зс)' — 4с(2+ с) Сс(с с) Рсс, с)— 2с 3 Асс,с) = 1 Кс а также характерное отношение Хс,)=3 „=б к Асс>=Х Л: з 2с (2+ с) ((1+ зс)~ — 2с (2+ с) + (1 + зс) у' (1+зс)с — 4с(2+с)] Отсюда видно, что при С 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
