А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 91
Текст из файла (страница 91)
— Ф1 в — 1 ~ д»11Ауе — Р1 в — ' где 2Р1 1 И 71 19 1+ (+И т ( ) Теорема 2 была доказана в $2 для явной схемы с В=В: Сведем (6) к явной схеме (17). Поскольку для этой схемы справедлив, в силу леммы 1, операторные неравенства 7,Е(С< ( 7,Е, то из оценки (31) 4 2 следует 1Сх„— ф11 ( а„11Сх« — ф11. (20) Вспомним, что ф В "), В-вх„=у„, С=В 'АВ '", и проведем преобразование 1Сх.— фГ=(сх.— ф, Сх.— ф) = = (В 0(АВ Пх„— ~), В 0(АВ Пхь — ~)) = = (В ~(Ау„— )), Ау„— )) = (Ау„— 7~' Подставляя 1Ау„— )1в — г (20) вместо 11Сх„— ф11, получаем неравенство (18).
Теорема доказана. При вычислении параметров (т„) следует воспользоваться построенным в $ 2 упорядоченным множеством Щ, нулей полинома Чебышева и-го порядка. Нумерация параметров т„..., т„не зависит от вида уравнения Аи 7' и от оператора В схемы из исходного семейства и является универсальной. 4. Попеременно-треугольшай метод. Перейдем теперь к вопросу о выборе оператора В.
Если оператор В есть произведение конечного числа экономичных операторов, то он также экономичен. Так, например, экономичным является оператор В В,В„ равный произведению «треутольныхз, т. е. имеющих треугольные матрицы, операторов В, н В,. Рассмотрим оператор В В*) 0 и представим его в виде суммы треугольных операторов В, и В;. В,+В,= В, В= В" ь0, Д,*= В,.
(21) б4Е Рл. х. мвтоды Рипвния сжточных ггьвнинии Оператору В соответствует матрица Я=(гс); она симметрична, т. е. ге ге. Соответствующие операторам В, и В, матрицы Я, и Я„очевидно, равны (гп при ~(д, д ««)а . ««(О при у)д, . + (г««при «) «, Отсюда и из условия.ге = г„видно, что Яд — — Я,.
Оператор В схемы (0) представим в виде произведения тре- угольных операторов В = (Е+ вВа)(Е+ сдВа), (22) где в > 0 — параметр. Покажем, что  — самосопряжеиный и положительный оператор: В В*>0, т. е. схема (6) с опера- тором (22) принадлежит исходному семейству схем (д2). В самом деле, операторы -В, =В+ вВ„В, =Е+ вВ, являются сопряженными и положительными: В,'=(Е+вВ«)е = Е+вВ = В, В )Е, В,)Е при в)0, так как В, >О, В,>0: (Вуэ У) = (Вдуд У) + (Науа У) = 2(Вф, У) 2(Вау, У) > О. Позтому (Ву, и) = (В,В,У, и) = (у, ВатВ,и))= (у, В«Ва«д)«т. е. В В*; далее, имеем (Ву, у) =(В,В,У, у) =(В,у, В,у) = 1В«у!Р > О.
Из уравнения (Е+ вВ,) (Е+ о«В,) +д +Ауа — — ~, й = О, 1, 2,...,и„ та+а задано любое уа не Н, (23) видно, что для определения у„+, надо решать уравнение (Е+ вВ )(Е+ вВ )уа+ = аа, где «га = Вуа - та+«(Ауа — 1). Это сводится к последовательному .решению двух уравнений (Е+ вВ«)у = Ра~ (Е+ вВа)уа+д у (24) с нижней и верхней треугольными матрицами. Отсюда и следует название метода (23) с оператором (22): попеременно-треуео««ьный метод (ПТМ). $ 3. попеРеменно-твеугольный метод 547 Тогда справедлива оценка о 'о 71В ( Л(7гв, еде о 6 1 7г = э 72= 1+ а6+ 1 аг66 2а ,4 (27) (28) О о 7 (а) Отношение $= .~ имеет наибольшее значение при 7,(а) ао 2 (29) ')/66 ' при этом 2Уч 6 ' 6 6 $==, Ч= — 7 = 72 ' (3О) 1+Уч 6 2(1+Уч) 4Уч Доказательство.
Неравенства (25) п (26) означают,что (Ву у))6(у у) (В В,у у) = (В у В'у) =? В у1г( — '(Лу у) Отсгода нетрудно покааать, что 6~6, Ч <1. Запишем оператор (22) в виде В = Е + в(В, + В,) + агЛ,Ло = Е + вВ + а*Л,В,. (31) Учитывая, что В>6Е или Е( — В, получаем'для В оценку 1 сверху: В 6 В+ + 4 (6+ +4 Д) В' '1 Тг о т. е. Л))7,В. Преобразуем теперь формулу (31): В = Š— а(Л, + Вг) + воВ,Во + 2в(В, + В,) = (Š— аВ,ИŠ— вВ,) + 2вВ. Что можно ожидать от этого метода? Чтобы воспользоваться теоремой 1,надо получить параметры 7,и "(,.
Лемма 2. Пусть заданы оператор В = В,+ Во, Вг =' Вг и оператор В, определенный по формуле (22), и выполнены условия Л= Ло, Л)6Е, 6)О, . (25) Л,Л,( — В, Ь) О. (26) 548 Гл. х. мвтоды Решвння скточных уРАВнениЙ Отсюда следует, что (Ву, у) = ((Š— ыВг) (Š— ыВ,) у, у) +' 2а (Ву, у) = = ((Š— ыВ,) у, (Š— вВ,) у) + 2ы (Ву, у) = = ~ (Š— ь)В,) у ~'+ 2ы (Ву, у) ) 2ы (Ву, у) = —, (Ву, у], 71 а т. е.
(Ву, у) ~ 7а(Ву, у) а 7 2аб а *а * а * 1()= —. 7 1+ иб+— найдем его максимум. Вычислим производную: ес 28 1 — ~~бЫ4 ~1+ б+ ) Отсюда видно, что максимум $(ы) достигается при 2 а у 1 == так как $" (ы)(0 при ы=ы,. Подставляя в (28), получаем формулы (30). Теорема 2. Пусть даны операторы А =Аз~О, и выполнены условия леммы 2, а также неравенства ы, = 271)/б (32) сВ<А < с В, с,) О.
Тогда для ПТМ (23) с чебыьаевским набором параметров то 2 1 — $ ть = Р = 1+ Реоь 7г+ тз 1+ ь тз (33) где а а 71 17» 7з гум 71 2 (1+ (/ б ° а и = а, оь ен4))а~ б 7з ==, 4 1/Ч справедлива оценка (18), и для выполнения неравенства 1Ау„— ~1 в- ~ е1Ауо /1вдостаточно и итераций, где п)п,(е), п,(е) =1 ъ / ет 1в (2/е) (34) ~г 2 1/21/Ч , Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы воспользоваться предыдущей теоремой, надо найти коэффициенты 7, и 7, в операторных неравенствах 7,В < А ~ 7,В. е 3.
ПОПЕГЕМЕННО-ТРЕтт>ОЛЬНЫН Митек 549 Из (27) и (32) следует, что о о А > с»В > с,'(»В = (>В, т. е. (» = с»'(„ о о А < с»В ~ с,'(»В аа т»В, т. е. (а с»т!. Параметр обусловленности прп »» = »е, равен о о 2)/Ч $= — = — 3= — =.
те се ое (+УЧ ' Теперь применим теорему 2 и воспользуемся результатами т 2. Условие»/„( е, как было показано в $2, выполнено при н в 1п-у(2')/$). Подставляя сюда выражение для $="(»/(, и учио» атывая, что $ ( — 2 у н, получаем достаточное условие (34). Оно удобно для проверки. В частном случае А=В=И,+В, Во=В», с,=с =1, для числа итераций имеем оценку и вне(з), по(е) = 1а (2/е) 2)/2 т" Ч 5.
ПТМ для разностиой задачи Дирихле. Проиллюстрируем ПТМ на примере разностной задачи Дирихле для уравнении Пуассона в прямоугольнике С=*(Ое2х <1, а 1, 2): Лу= уй„+уй = — /(х)» хан»ол» у(т„.=)»(х) (35) на сетке »ео (х» (!»Ь»> 1»Ь!)> »а О> 1> 2» Л»а> Л!айа (а> се 1> 2) = е»о 0 "(ь, где та — граница сетки. В этом случае о Ау=- — Лу, уенН= И, Я=А, В,у-уй)/»,+у-(Ь„В!у= — уа,/Ь,-у„,/Ье.
1 Вместо (35) получаем (35') Ау»у, уюа, где 1! отличаотся от / только в приграничных узлах. 550 1'л. х. метОды Ркшення сеточных РР»вненнн Вычислим коэффициенты б и Л: Л ) ЬЕ Ь == -1 — еш — + — е(п- —, / 1 . л» 1 п»1~ ю »1 2~ »1 Ч ю 1 1 1 1 т, е, 4 4 (37) "1 При этом мы учли, что (ааЬ, + а,Ь1)' а-. (аа + аа) (Ьа + Ьа) и (ЕУ У) =(У- У-] +(у-, у-] >~у„~ + ~у„~~а, где (а, п) = та Яа-1 ~ и1,11Р1111Ь,Ь„аналогично определяется (и, и)1. !1=111 1 Зная 6 и Л, находим т), та, та и $ после чего оцениваем число итераций. Сравнение методов мы проводим для модельной эадачи (35) па квадратной сетко йа Ьа Ь в квадратной области С(11 11 1).
В этом случае В = э(п —, $ = = яв 2 ~Ч = 2 е1п —. . 1а» 21/Ч - - . п» 2' 1 ~.~/,~ 2 ' При малых -а- <1 имеем а» УЖи=)Г Ь 1тЦ/Ь, п„(е) ж — '1п — = — ' при е= 2е ж10 029 2 2,9 -1О -а У» а Ь» Сравним ПТМ по числу итераций и,(е) со схемой' простой итерации (СПИ) и явной чебышевской схемой (ЧНП): СНИ ЧНП НТМ »=1~0 ЮО .
32 9 Ь 1/50 0 000 160 21 Ь = 1НОО 20 000 320 29 Остановимся на описании алгоритма вычисления (Ь+ 1)-й итерации из уравнения 1+1 1+1 1 В у = (Е+ аоюйа) (Е+ «еаЕ1) у = Еа Е = Ву — т»+1 ~Ау — ~р) = Ву + т»+1 ~ЛР+ Да $1. попБРеменно-туеугольнын метод А+1 А А А А где у =У=О на границе (», а и у при хжо»», и р прп х ли '(л. А+1 Решенном задачи (38) является функция и, определенная на А+1 1+1 А+1 А+1 о»А+'111 Р = у на А»А» Р =р на УА. Чтобы найти у, последовательно решаем задачи А+1 (Е+ о»АВ1)у = Р» (Е+ е».ВА) У = У, лепс»А, (39) где У У;1 У вЂ” У„, В»У= „+ А"" = — + — 'У— у;,+,— у А', < — У»1 1+ — Ауул 1, (40) 1 1 < —,, У',+1+ — „У1 +1 . (41) 1 1 У;А1 У ВАУ вЂ”вЂ” А' 1 Здесь заданыу=у(11Ь1 (АЬА) У'»т1= У((11 ~1)Ь1 М4, У1 ~1 = У(1 Ь (»1~1) ЬА).
Оператор Е+.АА»В» определен па трехточечном шаблоне Олй„ 1,Ь,), (О,— 1)йо 1»Ь»), О,Ь„О,— 1)Ь»), а оператор Е+е»,В,— на трехточечном шаблоне Олй», 1»Ь»), (О»+ 1)Ь„»»Ь»), О,й„ О»+1)й»). Подстав)1яя выражения для В,У и В,у в (39), полуА+1 чаем для определения значений у и у в центре шаблона О»йо М») рекуррейтные формулы А х У;,, + х 'У», + Г У <тл = ()» А»1 А+1 А+1 х УА+ +х У;+ +У 1+х»+х 1 1 и, = е»В»1» хл=-ы»~ЬА. (42) А+1 у <ть.— — О, (43) Чтобы определить у на сетке АА», выбираем левый нижний угол области и берем приграничный узел 1, 1, 1» ° 1 так, что другие два узла (Π— 1)Ь», 1»й ) н Олйо О»-1)Ь,) лежат на границе и, следовательно, У1 -1 и у1 1 известны.
По формуле (42) определяем значение у и дальше движемся либо по строкам, либо но столбцам. 552 тл. х. метОды Ргшопия сеточных гглвпнпип Счет по строкам ведется слева направо: фиксируем 1, ° 1 и меняем 1, 2, 3, ..., Л»» — 1, затем налагаем», = 2 и последовательно берем 1, 1, 2, ..., Л»» — 1 и т. д. Счет по столбцам Л+1 А+1 А+1 ведется снизу вверх.
Значение у выражается через у»,+1 и у» +1, поэтому счет надо начинать с правого верхнего угла, полагая 11 = Л»1 — 1, 11 = Л»о — 1. Тогда соседние узлы шаблона лежатна А+1 А+1 границе и У» +ы У» +1 известны. Дальнейший счет ведется либо по строкам (справа палево), лабо по столбцам (сверху вниз). Все вычисления ведутся по рекуррентным формулам; счет, очевидно, устойчив. Такой алгорптм счета обычно называют алгоритмом бегущего счета. А+1 А Для вычисления у прп заданном г" требуется 4 операции сложения и 6 операций умнолсенпя (коэффициенты к», хл и 1 А постоянны) на один узел сетки.
Для определения 1г 1 О надо затратить 10 операций сложения и 10 операций умножеА+1 А ппя, итого требуется для вычисления у по заданному у 14 операций сложения и 16 операций умножения. Мол»по уменьшить ьтп числа, если хранить пе одну последо- А вательность у, а две последовательности. Для этого воспользуемся алгоритмом А+1 А+1 (К+ юо))1)»о = Фл» и>(тл = О, (Е+ о>оЛА) и>=и>>»о~ ул — — О> (44) А+1 А А+1 у = у+ т»+ли>1 А А А+1 гдеФА=Ло+)» РСул= )».Для определения у в атом случае требуется 10 операций ело>кения и 10 операций умножения на один узел, однако при переходе от й-й к ()с + 1)-й итерации надо пом- А А+1 нить не только у(11Ь„11)>,), по и »о (11)11, 1,й,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
