А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Естественно оегидать, что при этом число итераций изменится мало, но это не так из-эа большой величины отноше- НИЯ Се/С,. Если область е — прямоугольник, то можно положить В=В а+1 и использовать для определения у прямой метод. Тогда $' с,/с, и число итераций не зависит от /е: 1 Г7, 2 и (е) т — у — 1п —. 2 )/ е е' В модифицированном ПТМ (см.
и. 8) оператор В не вводится, и постоянные с, и с, поэтому не фвгурируют при выборе параметров (т,). Оператор А представляется в виде суммы А = А, + А,. Рассмотрим для иллюстрации эффективности МПТМ в качество примера задачу (81) в единичном квадрате. Введем квадратнуго сетку е11 = (х(= (1,Ь, 11й), 1 = О, 1, 2, ..., )т', Ь)т'= 1, сс — 1, 2) и напишем уравнения ' (а1у-' )„+(аеу-)„= — 1Р, х~юл, у)ТА — — О. Коэффициенты а,(х) и а,(х) определяготся формулами а,(х) = 1+ К,((х1 — 0,5)*+ (х, — 0,5)Ч, а,(х) 3+ Ке(0,5 — (х, — 0,5)* — (х, — 0,5)Ч, К, сопзс) О. Правая часть фх) выбирается так, что у(х) =х,(1 — х,)х,(1 — х,) есть точное решение задачи.
Обозначая с = шш а (х) =1, с = шах ао(х) =1(-О 5Ке е,Я 1,$ е,е 1,1 и выбирая в качестве В, и В, операторы В,у = у- /Ь+у- /Ье Век = — Ует//1 Уее//11 можно восйользоватьсе 11ТМ согласно и. 7, выбирая в качестве В оператор (Е+ юп1>~Е+ гоВ1). 3 в. итврАционные методы пкременных наддравления 887 Далее, согласно и. 8 положим А = А, + А„где А,у = 2 ( — уу -У У 1 +, — )), а д'д А,у= — А ( — у .У вЂ”;1~ — „1) аа р + а 1 Строим оператор Р способом, описанным в и. 8, после чего обре.
эуем оператор' В (Р+ с)Ау)Р '1Р+ адАд). Вычислительная процедура МПТМ описана в п. 8, и мы не будем ее повторять. Таблица 6 Ь 1/22 «-мвв а 1/128 мптм ) птм птм , мптм птм Были проведены численные эксперименты. Выше приводится таблица для числа итераций при е 10-', различных значениях отношения сд/с, и шага Ь для модифицированного попеременно- треугольного метода (МПТМ) и обычного варианта этого метода (ПТМ), наложенного в и.
7. Эти расчеты показывают,что МПТМ эффективен не только для проиавольной области, но и в случае переменных коэффициентов. $4. Итерационные методы переменных иаправлеинй 1. Метод переменных направлений для решения разностиой аадачи Дирихле в прямоугольнике. Рассмотрим раэностнудо эадачу Дирихле в прямоугольнике с1 (0<х <1, вв 1, 2) для уравнении Пуассона. Ее формулировка дана в 3 1, п. 1: Ли = Л,и+ Лви = — 1(х), хек ада, и')та — — р(х), Л,р = у- д и=1,2, ода = ада+ Та = (хд = (11)21,12122) е= С!.
(1) аааа. Для решения вадачи (1) в качестве итерационной схемы можно ваять схему переменных направлений для уравнения теилеире- 2 8 32 128 512 20 23 25 26 26 23 46 92 184 367 28 33 37 39' 39 32 64 128 256 512 . 39 47 53 57 59 45 90 180 360 720 568 ГЛ. Х. МЕТОДЫ РЕППННЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ водности дп/д8 Лп+/(х). Она имеет вид /+ч ;, ~=л,у'+"+Л,у'+/(х), * „у'+')т„=р(х), 1+1 1'+1 /+»/» (2) = лу/+ /'+ л,у/+1+/(х), хеее1л, у/+1~ л=)1(х) т/(~+/1 для )/ О, 1, ... при произвольных начальных данных у' у(х, О). Здесь )/ — номер итерации, у'+" — промежуточная итерация (подитерация), тл+1) 0 и т,+1) 0 — етерациопные параметры, подле- 11) Ув жащие выбору иэ условия минимума итераций. Переход от у-й итерации к (/+ 1)-й итерации достигается последовательным применением метода прогонки вдоль строк и вдоль' столбцов для трехточечных уравнений: у'+ /' — т(/+)1Л1у/+ /' = Р/, Р/ = у/+ т/(+1Л,у/+т(»+~1/ (вдоль строк), у'+' — т(" Л,у'+' = Р'+", Р"" = у'+»й+ тре Л у'+ч + т"'/» — т,+1 .у =, =у +т,+,,у +т,+1/ (вдоль столбцов).
Таким образом, для вычисления одной итерации требуется 0(1/(й»й»)) арифметических действий или 0(1) действий на один узел сетки /ел. По аналогии с разностной схемой для нестационарного уравнения теплопроводности будем называть итерационный. процесс (2) методом переменных направлений (МПН). Для изучения сходи- мости МПН (2) напишем однородные уравнения для погрешности з'+' = у'+' — и, полагая лри этом з'+" у'+" — и: /.~.»/ Р, "— Л,з/+*/+Л,з',хее/ел, з»+'/ ~п —— О, 1+1 — /+»/» 1+1 »+1 1+»/» = Л»з '+ Ллз, х~ /сл г ~»л — — О, 1+1 /+1 зл уе ц Дальше целесообразно перейти к операторно-раэностным схео мам, вводя, как обычно, пространство Н И сеточных функций, заданных на /ел и равных нулю на границе сетки (1, и операторы Э А»у — Л»у, А»у — Л»у для любых й, уж И.
В Н= И вводится скалярное произведение Л1-1 Лз-1 (у, и) = ~ у (х) и (х) й,й = ~~.", ~ у (1 й , ( й,) и (11Ь1, 1 й ) Ь,Ь,. »»иел 11 1»З 1 Введенные таким образом операторы, как было показано в гл. 1'(/» $ а итерлционные методы переменных нлпрлвлений 589 $4, обладают следующими свойствами: Аа = А, Ь Е < А < ЬаЕ, б„) О„а = 1, 2 4 ° лаа 4 лЗза б = —,зш' — ба= —,соз' — а=1 2. а д гз з д г) ьд а ь а (3) 37 л, л. самар а Операторы А, и А, перестановочеы, А,А, = А,А,.
Это свойство вы- полняется только для прямоугольника. 2. Общая формулировиа МПН. Дадим общую формулировку итерационного метода переменных направлений (МПН) для опе- раторного уравнения Аи=|, А А,+А„ (4) где А: Н 'Н, Н вЂ” конечномерное евклидово пространство со ска- лярным произведением (у, и) и нормой 1уо у(у, у), Будем предполагать, что 1) А=А +А, Ад=А, Ад=А, М 2) ЬЕ<А <ЬЕ, б ~0, сд 1,2, (б) 3) операторы А, и А, перестановочны,' А,А, = А,А,.
Итерационный МПН в общем случае записывается аналогич- но (2): Уз+3l. Уз (') ' +Аду)+ч +Ауз=|з тз+д "з+д "з+ч, ' + Аду)+зп + А,у;+д — — |, з+д задано у,зв Н, 1= 0, 1, 2..., Для погрешности г,+, уз+,— и получаем однородные уравнения (Е+ т(+',.4,) г;+ и = (Š— т(~.~Ао) гн (Е + тфАд) г,+д — — (Š— т(з+~дАд) г)+.з„ го=уо — иемН, |=0,1,2з... Исключим отсюда гз+ззд.' (Е + тз(+дАд) (К + т)+дАд) г;+д = (К вЂ” тз(+$Ад) (К вЂ” т(з+дАо) гф. Так как А, и Ад перестановочны, то с, ЕО> Е(о) г)+д = *з+дгз. -з+д = -з+д.
з+д' Отсюда следует, что л гл= тлгоз |'зз= Еп (8) Уд 570 Гл. х. Методы Решения сеточных ттавнении где'҄— разрешающий оператор, представляющий собой произведение перестановочных самосопряженных операторов и поэтому Ф являющийся также самосопряженным, Т„= Т .
Иэ (8) находим 11г„11 <!1Т„1!1122!!. Величина 11Т„1 аависет от параметров т) и т,, 1=1,2, ...,п. Выбор этих параметров надо (1) (2) проводить иэ условия минимума числа итераций, т. е; минимума 11Т„1. Точнее, задача состоит в отыскании таких параметров ч(1> (1) (1) ' (2) (2> (2) 1 1т2 э ' етэ и т1 т»,...,тв Гдв и п(э) эадано при которых достигается шш 1Т„1 = д„. ()" (2>)- 3. Выбор оптимальных итерационных параметров (по Жордану). Спектры операторов А, и А„согласно (6), расположены на равных отрвэках б„~Л(А,) ( Ь, Ь,Ф4, и (21чвйв Заменим А, Р и А, операторамп А, и А» у которых границы спектров совпадают: ВЕ ~ Аа ( К, а = 1, 2, 2) ) О. Для этого положим А, = (дŠ— гА1) '(А1 — рК), А»= (дК+гА,) 1(А'+ рЕ), (()) где г, р, д — числа,' подлежащие выбору, и 'введем параметры (10) д 2(1)р ' э+2(2)р ' При этом получим Найдем выражение для 11Т„11 череэ собственные значения опе- Г / раторов А1 и А».
Обозначим а» =Л»~д~(А,), р» =Л»~,'~(А»), Фа=1,2, 1)д 1 а=1,2„ У Р собственныв эначения операторов А1 и А». Ф Р Так как А1 и А» перестановочны, то они имеют общую систему собственных функций, ту же, что и операторы А„' А», А и Т„. Обоэначим Л„(Т„) собственные эначвния оператора Т„. Учитывая, что Л(К(О) = (1 — в(2)а)/(1+ в"'а), Л(К(2>) = (1 — в("!)И1+ в(*>()) (индексы 1 и й пока опускаем), находим 1 — в(2)а 1-в(1)б Л(Т.) =П У» 1+в)1)а 1+в(2)() ' $ ъ. Нтетлционные метОды петеменньъх нлпрлвлении 571 причем 0<0(аъ,(1, 0(т) (ръ,<1, )г„= 1,2,..., У„, а = 1,2.
Норма оператора Т„равпа наибольшему собственному авачению шахЛъ(Т„). Заменим в (11) аъ, и р»ъ непрерывными аръ гументами а и (). При етом максимум правой части в (11), вообще говоря, увеличится, т. е. 1 — в(ъ~а ъ — в(ъ~() а, в шл) ) )=д ъ + в(па 1+ в(вб Далее, поскольку а ъь 6 меняются на одном отрезке (ъ(, 1) и в"', всо входят в формулу (12) симметрпчво, то монъпо положить вго = все = в и а =5. В результате приходим к следующей задаче: требуется найти 'параметры в„в„..., в„, при которых достигается минимум ъТ„(во вв ..„в )1, точнее, (1 — ва1ь ш!и шах П („„„1.
Решение атой задачи известно. Мы приведем лишь окончательные формулы для вычисления оптимальных параметров т; (О ч(, ~. Остановимся сначала на определении постоявпых р, д, г, ъ). (2] Они находятся иа условий а=6 т) при Л(А,) =6„Л(А,) =6, и а= р 1 при Л(А,) =. Ь„Л(А,) -Л, и выражаъотся формулами „,Г(а, — 4,) (ь,— 4,) т+ъ' ~/ (а,+б,)(Л,+4,)' (14) х — 8 (оъ — оъ) Лъ о,— аъ+(Лъ+от) р ъ — р р= „+,, х= (а +б)д, г= 24 а,д=~+ (15) причем х>Ф и р>0., Пусть зава точность е>0 итерационного процесса и илвес границы б„й„операторов А,.
По формулам (14) и (15) находим т) и р, д, г. После етого можно определить число итераций,п я(е), обеспечивающих ааданную точность е>0: (у„— и!) ( е1уь — п1. Справедлива приближенная формула и (е) ж — 1п — 1п —. 1 4 4 (16) я' е Ч Вводя обовначеиия 6= 4 Ч ~1+ 2 т) ), и= 2, у=12,...ъп, 2а 37е Я2 гл.
х. методы Решения сеточных РРАВненнн подучим для определения вв формулу П+ ге) (1+ е') гав~в (1+ Е'-'+ Е'+') ' Теперь остается определить, согласно ИО), искомые параметры После этого можно приступить к решению эадачи (7). В частном случае при бв 6, 6 и Лв =ив=А формулы И4) и И5) дают вв=$, р г=О, 4=1/вв, а 5=И вЂ” в))/И+в)), в) 6/Л. Преобраэования (9) — ИО) принимают вид Ал = влАв, в А, = ЛАв, все = Лтвв' воэ Лт'в'. Условие все веэ дает Для модельной задачи (37) иэ $ 2 имеем х яЬ иЬ 4 16 1 1,6 в) 16 3 4 ' в) ав Ьв Ь' Отсюда и иэ И6) видно, чтои(е)т 0,2)п — '1п —. Так, напри- 1,г7 4 мер, для е=2е-"=10 ' получаем и(е) 6 при В=1/10, п(е) ва ва 9 при Ь 1/50, и(е) = 11 при )в = 1/100. 4.
МПН для случая неперестановочных операторов. Рассмотрим уравнение Аи (А, + А,)и И8) где А, и Ав — неперестановочные операторы (АвАвчлАвАв), удов- летворяющие условиям (5) и (6): Аа = Аа) Ов баК((Аа ~ ~лваЕг ба) Ов в = 1в 2. Для решения уравнения (А,+А,)и / в атом случае при- меняют двухпараметрический итерационный МПН: (Е+ в,А,)ув+л (Н вЂ” А,)у + вв/, (Е+ в,Ав)ув+в (Š— в,А,)у„+„+ вв/, И7) увшК, й 0,1в2,", где в, > 0 и в, >0 — параметры, подлежащие выбору.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
