А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Заметим, что»идтод минимальных невяаок сходится в Нлч,т. е. в более сильной норме. Для неявного метода скорейшедчд спуска В ьг ~+Ау»=1, й 0,1,2,..., задано любое у енН, (28) т»+д по аналогии с п. 2 получаем т»».д —— , ю» = В дг», г» = Ау» — ~. (29) (гм и») » д=(~ 88 л. л. самаре»ха Эта формула может быть получена иа.условия минимума нормы погрешности а, у».
— и в Н„,т. е. иа условия шш Ца»+дЦА ЦхЦ,»= 'Г'(Аа,г). (т»+д) Для погрешности а, = у„— 'и имеем уравнение а,+, = а,— — т»+дА,т». Вводя и, = А"а„, получим и„+, — — и„- тд».,Аи». (23) Вычислим квадрат нормы: Ци»»-дЦ'=Ци»Ц' — 2т»»д(имАи»)'+т»».,ЦАи»Ц'. (24) Условие шш Ци»».»Ц» дает (д»» д] 586 гл. х. Мн1'оды Рвшвния свточных углвнннин Оценка (21) в этом, случае остается без изменения, если выполнены условия т,В ( А ~ т,В, (, > О, В = В* > О. 4. Решение уравнений с несамосопряженными операторами.
Рассмотрим уравнение Аи=~, А:Н- Н, где А — положительно определенный несамосопряженный линейный оператор. Будем пользоваться сначала двухслойной схемой с постоянным параметром (чстационарным» итерационным методом) "+' "+Ауь=), й= 0,1,2,..., задано любое у ыН. (30) Для оценки скорости сходимости итераций рассмотрим одно- родное уравнение а+,=Лам Я=Š— тА, Й= О, 1, 2, ..., г,~иН, для погрешности г, = у, — и. Отсюда следует (!г„+,!! ( !!Е(!(!з,(!.
Па- раметр т надо выбирать из условия ш(п !!Е(т)!!. Пусть заданы нижние границы для А и А '. А ) у,Е илн (Ау, у) ) р, !! у ~э, у, > О, А-'>-Е или 1Ау(э(у (Ау,у), . у,)(ь (31) УЯ Второе условие при А =А* эквивалентно условию А ('(,Е. Предполагая, что 2 — т(, > О, получаем !!Еу!Р (!у — тАуР = !!у!!' — 2т(Ау, у) + т1!!Ау(Р ( < (!уР— 2т(Ау, у)+ т'(з(Ау, у) !!у!!' — т(2 — туз)(Ау, у) ~ - !!у!!*-' т(2 — тЫ"( (!у<!' = (1 — 2т"(1+ ~Ъ"(*)1у!<* т.
е. !(Е!!'(1 — 2тт~+ т'т т . Выбирая т из условия минимума трехчлена, находим т= 1/(„ !!Е!Р ( (1 — (,lу,), т. е. !!8 $( У1 — $ при т '= 1/у„$ = у,lу,. (32) Рассмотрим теперь случай, когда вместо двух параметров то у, задано ври параметра уо "(„"(ь Представим А в виде суьемы ' симметричного (самосопряженного) оператора А, и кососимметрического оператора А~.' А=Ао+Аг Ао= — (А+А*), А,= у (А — 'А ), (33) тащ что А =А„Ае = — А„(А,х,х) = — (т,А,х) = О, т. е.
з 5. дгтгив итвРАционныв мктоды (Ах, х)=(А х, х). Предположим, что А удовлетворяет условиям 71Е ~ ~А» ~ (Т.Е, )!А~!! < 7», (34! где 7»>7~ >О п 7»> 0 — задаппые числа. Вапишем уравпеппе х„+, — — (Š— тА)х„для погрешности хо+~ = у»+~ — и в виде х„, = (Š— тА, — тА,)г„= (ОŠ— тА,)х„+ ((1 — О)Š— тА,) х„, (35) где 0(О = 1 — произвольное число. Выберем т и О так, чтобы норма !!Е)!=!!Š— т(А,+А,))! была мипимальпой. В силу неравенства треугольника Цх,+,Ц(О$Š— — „'А,$ЦхьЦ+Ц(1 — О)хо — тА,х,$!. (36) Оператор А, — самосопряженпый и ъ,Е ( А, ( 7,Ео поэтому т» т 2 ш(пЦŠ— — Аоц=ро при — =т„= —, (37) ~во е 'Ц ' з .т+т,' где ро= — $= — ', так что т=т О.
Рассмотрим второе сла- 1 — в 1+у т о гаемое в правой части (30): Ц(1-О)у А,уЦ =(1 — О)оЦу)о — 2т(1 — О)(А,у,у)+т ЦА,уЦо»» = (1 — О) о Ц у Ц' + то Ц А,у Цо ~ (! (1 — О) ' + тоуо„~ Ц у Цо = = Ц(1 — О)о+ тоо'731Ц у Ц'-. Таким образом, при т = т,О справедлквы неравенства Цхо+,Ц(ЦЕЦЦхоЦ, ЦЕЦ<)(О), (38) У (О) = Ор + У(1 — О)о + Ооа', ао = тооуоо.
Найдем теперь минимум функции 7(О). Вычислим производную 1 — Š— аз 2 а — а 2 1 — з У' (О) = р,— = р,—, а= —. У(, е).+,з У' +," в Условие 7'(0) =0 дает р,1а*+ а'=а — а*. Отсюда получаем квадратное уравнение для а, (1 роо) ао 2аоа+ ао(ао роо) 0 и решаем его: а + Ро г' 1 Ро + а со=а о о (второй корень непригоден, так как он может быть отрицательным при некоторых'значениях параметров а и р,!.
Введем Зз» 588 Гл. х. питоны Решения свточных Рглвнинии обозначение и = 73/~ 7273+ 7',, так что 47 7 2 (1 — рй) хй а =то72-,— 3— ! (72+ 7,)21 — х 1 — х 1 — Р х 1 — х 3 й. х 2 73 = — 27172! 1 — х Преобразуем подкоренное выражение 2 2 х (1 Ро) 1 Ро о 1 — Ро+ а = 1 — Ро+ 1 — хй 1 — х х откуда получим о (х+р) х(х+р) !2 = 2 3 ! х (1 — рй) 1 — х 1 1 — х й 8= — = — '.
1+а 1+хр 1+ хро 1+а= — о 1 — х 1 Найдем теперб 1(6) = — р, + — "у а'+ ай = .Учи1+а 1+а У- (1+а)р . тывая, что рой+со — а'=(1+а) .(1 — р',+ай) =' о 1+ хро 1 Ро Ро+ 22 = 1+ 22 — — й = —. хй '1 — хй 1 — хй 1 — х получаем ~Я~ ( — при т = т —. х+ ро 1 — х 1+яр 21+хр Таким образом, для решения задачи (30), если оператор А удовлетворяет условиям (34), справедлива оценка 1у — и1 -'= р'1 у! — а1, где р "+ о х 3, т = т = то(1 — хй)/(1+ хро) (39) 11 Число итераций и)~ 1п-~1п —.
о) р' Вместо явной схемы можно рассмотретэ и неявную схему В ь+ ' ~+-АУь=~ й=0 1!2 'УоенН (40) та+1 с самосопряжениым Ьператором В=Во)0. В этом случае надо перейти к явной схеЖ хь+! — — х„ — т(Сх„ — ор), х„ = Вьуь С В-ьАВ-'ь ф В-ь| з а дгугив итБРАционныв мвтоды 589 и условия 434) для С переформулировать, как условия для А и В: у«В(А (у,В, (В 'А,у, А«у)(уз(Ву,у), (41) т. е.
1А,уев-«(~у«1у~в. Тогда вместо (39) получим !! у„— и)1«( р"!!у, — и!),. Для решения уравнения Аи=) с неоамосопряженным оператором А можно воспользоваться методом минимальных невязок, который сходится с той же скоростью, что и схема (30) при т т. Для явной схемы ИЗ) «+ «+ Ау« = ~, й = 0 1 2 ' у«ен Н т«+1 параметр т«~, вычисляется, согласно п. 2, по формуле И4) (Аг«, г«) т«~.« =, г« = Ау« — ~, 1Аг«~' ' которая получается из условия минимума 1г«+,1*.
При этом нигде не используется самосопряженность А. При доказательстве сходимости несколько изменяются рассуждения из п. 2. В правую часть тождества Иб) вместо т,+, подставляется т: ~ г«~., )~«( ~ г«)~ — 2т (Агы г«) + т« ~ Аг« ~« = = ~㫠— тАг«~«(~Š— тА~«~г«~(«~ (рз~г«~«, т. е. (!г„+,1(р)г«1. Тем самым доказано, что при выполнении условий (34) для метода минимальных невязок, определяемого формулами ИЗ) и И4), справедлива оценка 1А у.
— Ф~ ~ р" 1Ау. — 11, где у„— решение задачи ИЗ), а р определяется по формуле (39). Метод скорейшего спуска в данном случае неприменим, так как он предполагает самосопряженность оператора А. Для неявного метода минимальных поправок верна оценка '(Ау„— ~)~ ~<р" ~Ау,— 1~ где В = Ве ) 0 и выполнены условия (34). 5. Гибридные методы.
Для решения разностных эллиптических уравнений могут применяться гибридные (комбинированные) численные методы, сочетающие прямые и итерационные методы, а также итерационные методы разного типа (двухступенчатые методы). Рассмотрим итерационную схему В««+' "+ Ау« = ), задано у, ы Н. (42) т«+« 590 Гл. х. ме'ГОды Решения сеточных уРАВнениЙ Отсюда находим (43) У111 = У1 т121ш1 где ш1 — поправка, являющаяся решением уравнения В„ш„тм т, = Ау„— 1 — невязка.
Пусть В = В* > 0 — регуляризатор и с1В < А < с,В, с, > О. Чтобы найти (у+ 1)-ю итерацию у,в, согласно (43), надо вычислить поправку ш1. Оператор В„ может быть задан в явном виде, например, В„= В, (44) В, = (Е+ «)А("В1) (Е+ (эА(')В2), (45) где В, и В,— экономичные операторы, а е)А и а)А — нтерацион- (1) (2) ные парамепры.
С фаз(торнзованным оператором вида (45) мы встречались как в случае попеременно-треугольного метода (ПТМ), когда В1 = В2, «)А = 2)А = а), так и в случае метода переменных (1) (2) направлений (МПН), когда В = В„>О,а = 1, 2, В,В, = В,В,. а) Вычисление поправки прлмььи методом.
Пусть В1=В, и онстема алгебраических уравнений Вш = т„решается одним иэ прямых методов (изложенных для эллиптических сеточных уравнений в $1, пп. 2, 3, например — методом деюомпозиции). Прн этом 71 =с„72= с,. Выбирая чебышевские параметры т„т„... ..;, т„, получаем для числа итераций оценку п))п,(е), и (е) = — — 1п —. 1 /22 2 1 В случае разностных эллиптических задач из $3, п. 7 п,(е) не зависит от шага сетки, а общее число дейотний /с 1 ( 2~ 0 11 — — 1п — 1п — ( если область б — прямоугольнпк и й = ~/ 2„2 А з/ ° 1 1 = )), = й — шаг сетки.
б) Вычисление поправки итерационным методом. Для решения уравнения Ви)„= т, применяем некоторый (внутренний) итерационный метод и полагаем шом = ш„где п) — номер внутренней итерации. Поскольку неявная двухслойная итерационная схема с само- сопряженными операторами может быть сведена к явной, например, путем перехода от ш к В'ш, то можно написать ВА(ш(") — ш) = Т„В'"(ш(') — ш), где ш — точное решение уравнений Вш=т„а ҄— разрешающий оператор такой, что Т„'=Т, 1Т ~~д<.1 (46) (завпсийость д от тп опу)окаем).
1 ь дРуГие итеэациОнные методы Выбирая начальное приближение иеа = О, найдем и ° -В '(Š— Т„) 'Вьи' '. После подстановки этого выражения и Ви = г„получим Вш, = г„, гдв В=В"(Š— Т ) 'Вь, и„= и'"'. .ПОПраэиа НайдЕНа И ус+~ = ус — тс+1И1. Чтобы применить общую теорию, надо убедиться в самосо- пряжвнности В=В* и вычислить постоянные у, и тс энергети- ческой эквивалентности В и А. Первое утверждение очевидно, так как В* = В, Т = Т . В силу (46) имеем (1 — у)Е ~ Š— Т„~ (1+ д)Е, (1 + д) 'Е ~ (Š— Т„) ' ( (1 — д) 'Е, (Вх, х) = (Вв(Š— Т ) 1Ввх, х) = ((Š— Т ) 'у, у), где у =Вьх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
