А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 101
Текст из файла (страница 101)
у«+д у«у( у«-д 2. (1+0) ' ' — О * ' =Лу,'+'. г т ) Ответ. (Š— тЛ)у + (0,5+О) тŠ— 2 Л1У- = ЛУ.Схема устовчиза лри «. «« 1 тб 4 . зяЬ О) — — — —, б = — з!вз —. 2 4' Ьз 2'' 1 1+20 Указание. Сраввавне с (4) дает В = Е+ тА, В = 2 А+ 2 Е. Отсюда следует 1+ 20 /1 1+ 20)  — — А = — А+ — Е~:~ — 6+ — ! Е) 0 4 4 2« ~4 2« мри 0 ) — 1/2 — тб/4, так как А > ЗЕ.
3 2уу'+«=(у — 05)(у/+ +уф««)+0,5(у/ д+ у/+ ), у=т//Р. Ответ. (Š— атЛ)уд Лу, а 1 — 1/(Зт). Схема устойчива при Т) ~ 0,5 и имеет погрешность аппроксимации 0(Ь«+ т). 4, у«+ = +б ((Зу — 0,5)(у~~+у«+д) + +(5 — бу)у««+(Зу+05)(у«д+у/+д)), у=т/Ьь. О т в е т. Та же схема, что и в задаче 1. 1 1„„' +()„Ь~~~+(1 „) у + (+д 1 «+д /+д 4 +(1 — ()) у«а+ — (4 — в — а — ()) у«+у«+у«а Д, ю=/Р/т. т Ответ.у — Ь (ау «+()у «) Лу, где Лу = у- +у- .Условие ат ) хдлд взвз устойчивости а+ () ~ 2 — 05Ь'/т.
Если а = 0(Ц, () 0(1), т/Ь-~-0 прк т-~ - О, Ь ° О, то схема аппроксимврует уравнение (2) с погрешностью 0(т+ Ь«+ т/Ь). б. У«+д= --Зу У/«+- Зу-- (У,',+у,'+,)- (у — ) (у«д — 2у«д + у««+д), у = т/Ь . 6 З. аЛДЛЧИ (И)й Ответ. Ву, +т~ЕУ- + Ау = О, 'где 1 71 В=Š— — ~ — — 1)тА, Е= Е+ ( — 1)А, Ау= У„, 2 (67 ) ' 2т 4 (67 ' йа' Схема устойчива при 7 ( 1/3. 7. 10у(+т = 3(у( + у/ )+2(у/+ у(-г), т = Ьв/4. .Ответ. у,+ — у- = Лу.
Схема устойчива. с с 31~ 8 у(+Ч дО (2УЗ а+ 32У11+ 3 (УЗ-Г+ у/-~)) т Ь /16 .1 О т в е т. Схема приведется к виду (4) с В = Š— тА, Е = 3 Е+ 0,5А, .4у = — у- и устойчива. а 4 (У1-г,ь + М+г,а) = 4 (У; а х+'У,' а+,), т = 0,5ь . О та е т. Схема имеет вавопичесвнй . (3) д .4, + В= Š— тЛ~„Лир= у, а = 1,. 2, устойчива и аш и пение (2) о погрешвостью 0(т+Ьч) = 0(Ь').
1 1,5У/+г — 2У( + 0,5У1 т 5 1,5У(+т — 2у(+ 0,5У/ 1О *'+1 ' ~ 1+а+ *' ' 1 + ' 12 т 6 15(+т — 2( +05( т +12 г У( Ответ. Схема имеет вмд (4), где В = Е + (1 — — ~ тА, Е = — Е + ~ — — -~- ! А, Ау = — у-, Ф ° ~2 ж! 'абсолвттло устой пава, погрешность аппроксимации иа решемии .уравнения (1) евка 0(та+ Ь'). к а в а ни е. Воопольвоватьси соотношением 3 1 1 д ° т1 — о/+1 — 2о) -(- — о/ х = те 1 + т о ч.
2 2 11..Рассмотрим вадачу для системы уравненвй параболического тима д (О мч д / дибоч дт л'1дл'( О д /-т ип)(0,1) = О, и10(1,1) = О, и10(в, 0) = и10(л). Иевестло, что с,~Я< ~ Ьц615/<.в~ ф с,~О. Ь>г 1т Пусть Лцу =~(аОУ ), 0( 01)=ЬО( ../.1), , 00 г О)ъ и и 3 — э Лсу10=У10 ВУУО= — оЛ~У10 о)-т, 4 АУО) = — ~ч~', лОУО). / 1 606 дополнипии Показать, что схема у~О+-т Ну<0+Ау(11 = 0: а) устойчива цри лю- 1 71 бых й и с; б) имеет точность 0(йт+ 1').
2. Задачи к главе 1Х. Здесь будут рассмотрены примеры экояомнчных методов для респевия уравнения теплопроводностм р ди ~ю ди и (г, 0) = ио (х), р = 2, 3, дг дга «=1 "а в цилиндре О/( [О < 1< 1,], где 0 — прямоугольпик(0< а«< 1, сс = 1, 2) прк р = — 2 нли параллелепипед (0< « < йч и = 1, 2, 3) при р = 3. На пранице Г области 0 вадало юраевое условие первое«1 рода «]г = р( ), = (х, ", * ). В 0 вводится сетка вл, равномерная по каждому направлению л„(а = = 1, ..., р) с шагом й«; пусть "(л, — множество граничных уалов прк х« = О, х = 1 . Как обычно, обозначаем Л„у = у- Пусть Нл— а« пространство сеточных фуюкций, определенных на юл в йавлых нулю ла грашгце тл сетки, (у, р) = ~чр~ у (г) р (х)й ...
й„, хмел где оуммиронаиие проводится по внутренним узлам * щ 0 сетки. На отрезке 0 < 1 < 1, введена равномерная сетка с шагом 1. Будем рассматривать эдесь только те экономичные схемы, которые эювивалентлы факториеоваллой схеме. Пробование эявивалентмости, квк мы отмечали, оеначает, что для промежуточных аначелий у/+«/р юраеные условия ла ул, «должны быть виданы специальным образом. Следует иметь в виду, что цри изучении устойчивости мы мредполвгеем, что у] = О. 'Гольул ко при этом условия можно рассматривать у(г) квк влемент пространства Нл. Если дап какой-либо экономичный метод, то надо: а) исключить промежуточные аначевня и пописать фанториесваювую схемУ, б) сформулмре вать юраевые условия для у'+ /р, при которых имеет место аквмвалентность этой схемы, соответствующей факториаоваиной схеме, в) оценить порядок аапрлисимации, г) последовать устойчивость фвкториаованной схемы (пользуясь общей теорией).
В каждой эадаче требуется выполнить все четыре пулкта. При изучении устойчивости факториаоваиной схемы Ву~+Ау=<р, где В = В1...Вр, В« = Е+ тЕ««рекомендуется испольэовать следующий р юритерий. Если схема сВ = Е+ т ~ Е устойчива в операторы Е поло« жительвые, самосопряженные и попарно перестамоэючные, то фекторквовавная схема с В = В, ...
В„также устойчива. Ни/«1 3 1+1 1+ 1/3 1.У " =Л у)+/'+Л уг У '" =Л ( 1+1 1)' (схема 1 т ' . а у у Дугласа — Рекфорда) . Ответ. а) (Š— тЛ1) (Š— тЛ«)у~ = Лу, й = Л, + Лт. б) у/+Н = р'+' — тй«(п/+' — р1) нри щ = О, 11, у/+'= р/+' пря х«=0, 1ь н) Схема имеет аппроксимацию 0(]й]'+ т). Схема устойчива.
й 1, ЗЛДЛЧП 1И!7 У к а в а в и е. Приведем схему к виду 1+'/, 1 (Š— тЛ)У У =Луг, Л=Л +Л, (Š— тЛ ) У 1+1 / 11 /, / 'т 1 Отсюда оразу исключаем уг+" — у/ и получаем факторввсваввую схему. Краевое условие для у/+" следует пз второго уривиеввя. 1+'/а 2. У У вЂ” а Л уа+'/а+ (1 — о ) Л у/+ Л у/ У о Л (у ~ у ) 1+1 1+ /а т Ответ. а) (Š— о,тЛа)(Š— огтлг)уа = ЛУ. б) у/+в = р/+а — тогЛ«(р/+' — р/) при ла = О, 1а.
в~ Схема имеет аппроксимацию 0(тт+ )Л(г) + 0((оа — 05(т) + 0((ог— 05 т), г. е. 0 ((Л (г + тг) при оа = аа = 05. 1 1 г) Схема устойчива при о о ~0 и аа)~2 — 2т~А „, а =1,2, Схема а1 абсолюгле устойчива при о«) 0,5. Ужаеапие. г) Пусть У( =О. Тогда А« = — Л«, А = А~+ Аь Аа в тл Аг — положительно опредлвенвые, аамссапряжеывые и пересгаыовочвые операторы, так что АаАг ) О. В дамкам случае В = (Ь'+ оатА а) (Е+ огтАг) = Е+ оатА1+ огтАг+ ааогтг А1Аг,  — 05тА = Е+ (а, — 05)тАа (- (ог — 05)тАг+ оаогтгАаАг ) ) Е + (о, — 0,5)тА1+ (аг — 0,5) 1А1, так как оаог (О.
Учитывая аатем, что Е ) А«/1А !!, и требуя 0,5Е+ (оа — 0,5) тАа» ( ~ А + (оа — 0,5) т) А ) О, '1 1 а( 1. получаем о )0,5 —— 2т)Аа$ ' 1+а/а 3. " " =о Л уг+/'+(1 — о)Л уг+(Л +Л )уг, уг+а/а уг+'/ = атлг (и'+«Л — у/) 1+1 1+а/, = о Л (уг+1 — уг) т з з (прв аг = ог = аг = 0,5 — схема Дугласа).
з О тее т. а) (Е агтЛ1) (Š— огтЛ ) (Š— оатЛг) у = Лу, Л = 2', Л а 1 б) у/+ / = р/ + т (Š— аттЛД (Š— огтЛг) р', при лг = О, 1, у/+ /' = 1+1 т 1 = Р ' — т оаЛарг пув аг = О, 11. в) Схема имеет аппроксвмацию 0()лг(+т') при а~ —— ог = аг = 05, О( ( Лг) + т) при о«Ф 0,5, а = 1, 2, 2.. г) Схема устойчива при а ) 0,5, а = 1, 2, 3. 608 допопннпин Указание. а) Обозначим иъ=у(/+ /' — у/)/т. Тогда уравнения за пвогузся з виде (Š— огсйь) ы1 =з ЛУЛ (Š— озтлз) ыз = ыь (Š— азтЛз) юз = ыз.
Последователыю исключая отсюда ыз к ы, и заменяя юз (у/ы — у/)/т, получвчг искомую факторизовзииую схему. 4. = о,Л у)+ /'+ (1 — о ) Л у', г+Ч, 1 1+1 3+'/а У вЂ” У = а Л у/+з + (1 — од)й у/+'/*. 1 Ье Показать, что при о = — — —, а = 1, 2, эта схема имеет аппронова 2 12т' мигаю 0()Ь('+ та). Ответ. а) (Š— аютй1) (Š— озтЛз)ув = Лу+ (1 — ав — оз)тл~йзу, б) у)+ /г = а )з)+з — аза тй )зу+з + (1 — о ) )зг+ (1 — о ) (1 — о ) тЛ )з лри з, = О, )ь Если о, = аз = 05, то у)+ /' = 0,5 ()а/+ )з)+ ) — — Лз)зг при з~ — — О, /и в) Схума прн о~ — — аз = 0,5 имеет точность О(!Ь!з+ т'), а при Ьа а = — — — — точность 0()Ь)'+тз). е 2 12г г) Схема устойчива врн о ) 0',5 и о„= 2— ' У к э з а ни е.
а) Перепишем уравнения э мзде (Š— о~тл1)у/+ь = (Е+ (1 — оз)тлз) ул (Е+ (1 — оДтл~)у/ыь = (Š— азтЛз)у/+'. Умножая второе уравнение ва оь первое — на (1 — а~) и,складыиан их, получим у/+н = оДŠ— озтлз)у/ы+ (4 — о~) (Е+ (1 — аз)тйз)УЬ Подставим это выражение в первое урелнейие и после очевидных преобразований получим (Š— а~тл~) (Š— а тЛз) уг ы = (Е+ (1 — о~)тли (Е+ (1 — оз)тЛз) у/ (лри этом перестановочлость й, и Лз ие используется).
6) Краевое усло- вие при *1 = О, з~ = 1~ следует из полученной выше формулы для у/+в. в) Погрелзность аппроксимацви схемы прн о„= 2 — 12 исследована И. В. Фрлзнновым (ЖВМ и МФ, т. 9, гй 6 (1969) ). Замечамве. Эта схема имеет точность 0()Ь!'+тз) в случае, котла область С ступенчатая, т. е. составлена иа прямоугольников ео сторонами, параллельныыи координатным осям, прачек не только для первой праеюй задачи, во в для третьей краевой аадачи. 1+Ч 5.
" ' У = ' (Л,у)+'/+(Л,+Л,)у/~, У ' — У ' 1 (й у/+Ча ( й у)бл/а ) Л у)+Чв). 3 зу зу у — у ' 1 ((Л +Л)у/+'/ ( й у)+з1 Ответ: Схема не является безусловно уотойчивой (см. (15)). Фак- ториэоаанная схема вмеет вид В~ВзВзу/ы = С|СзСзу/, где Вз = Š— тйз/3, с„= в„+л/з, =1. 2, з, л = л, + л, + л,.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ К гл. 1, 5 1. Изложение саедУет ввиде [14]; понятие обобщенного решевыя см. [8], [5]. К гл. 1, 8 2. Йесбходимые сведения из линейной алгебры можно найти в книгах: Ильин В. А., По э как Э. Г. Введение з линейную аатебру.— Мд Наука, ~1974; Воеводин В. В. Лкневная алгебра.— Мл Наука, 1975. й 2, п.
5. Метод прогонка предложен з начале 50-х годов независимо большим числом авторов, литературные ссылки см., напрвмер, в [10] (гл. 1, 1 2, п. 9), [6], [7], а также з книге: Фаддее з а В. Н., Фаддеев Д. К, Вычислительные методы линейной алгебры.— Мл Физматгиэ, 1963; где покааано, что метод нроговни явлнется реализацией метода исключения Гаусса для трехдиаговальвой матрицы.
К гл. П, 8 2. Понятие устойчивости разностной схемы в современном виде впервые введено А. Ф. Филипповым (ДАН СССР, 1955, 100, 78 6); см. также [8], [10], [~11]. К гл. 11, $3. Более подробные сведения о математическом аппарате теории раэвостных схем можно найти в гл. Ч и Ч1 книги [13]. В гл. П и 1Ч этой книги даны другие примеры ревностных аппроксимацвй простейших дифференциальных операторов второго и четвертого порядка. К гл.
П1. Подробное изложение теории однородных разностных схем дава в работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (ЖВМ и МФ, 1961, 1, гй 1), в которой (см. также [13)) показана необходвыость свойства консервативности для сходимости однородной схемы з классе разрывных козффвциентоз. Соответствующая литература указана з [10]. Йвтегро-интерполяционный метод предложен А. Н. Тихоновым и А. А.
Самарским в начале 50-х годов и развивался в их работах, обзор которых даи в статье в ЖВМ и МФ 1, 78 1 (1961) и в [10], а также э работах Г. И. Марчука (см., например, книгу: Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов.— Мд Атомиздат, 1961), И. В. Фрязивова и 1Ф. К гл. 111, 6 8. Методы постпоенвя рааностных схем ом. также в [88]. Там же црвзедены примеры получения с помощью метода конечных элементов (вариационно-сеточного метода) разностных схем для ураввеввя четвертого порядка. К гл. 1Ч 88 1, 4. Аппроксимапия уравнения Пуассона в полярной, цилиндрической и сфернческов системах координат рассматривается з [13].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
