А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Для нас в дальнейшем вагкную роль будут играть достаточные условия существования опранпчевного обратного оператора А — ', определенного во всем нространстве Н, Ж(А-') = Н. Заметим, что лемма 1 и теорема 1 гарантврует существование обратного оператора, определенного ггвшь иа Я(А ) — множестве значений оператора А,,которое может пе совпадать с Н. Если известно, что множество значений оператора А совпадает со всем пространством Й, Я(А) = Н, то выполнепне условий леммы 1 или теоремы 1 обеспечивает существование оператора А-' с Ы(А †') = Н. В частности, положительный оператор А с Я(А) = Н имеет обратный А — ' с Н)(А ') = Н, так как из условия (Ах, х) ) 0 для всех х ~ 0 следует, что Ах Чь 0 при х чь 0 и потому крименвма лемма 1. Т е о р е м а 4.
Пусть А — линейный оераиичеиный оператор, действуюгций в гильбертовом пространстве Н, Н)(А) = Н. Для того чтобы операторА имел обратный А 1 с областью определения Ю(А 1) = Н, необходимо и достаточно существование постоянной 6 ) 0 такодч что при всех х 1= Н выполняются неравенства ()Ах!! ) 6)Щ ))А ьх)) > 6)! х)) При этом справедлива оценка ~)А Ч) ( 1/6. С л еде т в н е. Пусть А — положительно определенный линейный огра- ниченный оператор с областью определения Ю(А) = Н. Тогда существует ограниченный обратный оператор А ~ с Ж(А ') = Н. В самом деле, из А > 6Е, 6 ) 0 следует !(Ах)) )(х)) > (Ах, х) > 6))хР, ))Аг~~( ))~)) > ) (Авх, х) ) = ) (х, Ах) ) = (Ах, х) > 6))х)(1, т. е.
))Ах(( > Ы)х~), ))А*х)) >~ 6((х)) и выполнены условия тепремы 4. Для нор- мы обратного оператора имеем оценку )(А ')) ( 1/6. 3 а м е ч а н и е. В конечномерном глльбертовом ирострввстве для сугце- стеовапия обратного оператора А-' достаточно требовать положительности оператора А, так как из условия А ) 0 следует существование постоянной 6 > 0 такои, что (Ах, х) ) 6()хР для всех х.
Действительно, (Ах, х) = = (Агх, х), где Аг= (А+Аг)/2 — самосопряженный оператор. Поэтому (Ах, х) > 6))хР, где б — наименьшее собственное аиачелие оператора Аь Число 6 не может равняться нулю л силу положительности оператора А. Для простоты изложение в книге проведено в предположении конечло- мерности пространства Н. Напомним, что норма оператора А определяется так: )) А))= твр)Ахр. РЦ 1 Если А — самссопряжеиный оператор, то имеет место формула ) (Ах, х) ) )(А)) = зир ) (Ах, х) (= зир (11) Нг(=1 1ЯФО .
1х1 Л е м м а 3. Если Н = Ю в — линейный ограниченный оператор, п ) 0— целое число, то Ыбь)) = 3)бг" (12) ДОНОЛНЕНИП Д окав а тельство. Пусть к = 2. Тогда ЦЮ (!= зир )(Як,к))= зир ЦЯяЦ =ЦЯЦ, Цк)=» Ця|=» г. е. ЦЮ»Ц = ЦЕЦ». Пусть формула (12) верна для л = й — 1 и л = й. Пока- жем, что ова верка для л = й + 1, /с ) 1. В самом деле, ~ я~ ~ = еир ) (о~~я, я) ! = аир ) (о~+»к, яя»я) ) ( !т»»=я Цк(=» !!Еь+г )!цба-» ~~ цбя+»!!~ Еь-»~ !у»)=я т.
е. ЦУ'"»Ц ЦЕ»-»Ц ) ЦЯ»»Ц = ЦЯ'!Р = ЦЯЦ»». Так как !)Ея-»Ц = ЦЕЦя ', то отсюда следует ЦЯ"+'Ц ) ЦЩЯ+». О другой стороны, ЦЯ'+'Ц < ЦЕЦЯ+». Таким образом, Цбя+Ч! = ЦЯР+». Так как формула (12) верна при л = 1 и л = 2, то ока верна для любого л. Лем~ма 4. Если А — оамооолряженный иояожитояъний и ограниченный оператор, то скрааодяиаа оценка ЦАуЦЯ < ЦАЦ(Ау, у). (13) Так как А" = А ) О, то существует оператор А". Полагая о = А'»у, получек (Ау, Ау) = (Ао, о) < ЦАЦ ЦоЦЯ = ЦАЦ(Ау, у). 3. Лииеикые операторы в простраксгве ковечвого числа взмереиий.
Рассмотрим л-первое линейное присвраяство В со скаляркым проиаведе- кисм (, ) и пармой Цяй = )'(к, к). По определению коисчвомерно»ю просвраиства любой вектор к»НВ можно едипствеввым обраюм прсцстввкть в виде линейной комбинации я = о»Ц»+... + о„й„ливейио веаависимых векторов $„.. н Ц„, образующих базис просвранства В .
Числа оя.,каеыиаются иоордпкатами вектора к. В качестэе базиса всевда можно выбрать ортововальпую и иормирсиаввую систему векторов Ць ..,, Ц„, т. е, такую, что (Ц»,Ць)= б»а=» ' ' Отсю(О, »~й, '(1, »=й. да следует, гто оя = (к, Ця). Пусть А — лввейвый опиратор, задаввый ла В„. Каждому оператору А в базисе Ц„..., $„соответствует мачрица 6 = (аы) размером лХ л, »це аы — »-я комвсвевча вектора АЦн Обратно, всякая маврица Ж.= (аы), »,»»»= =б, ..., л, определяет ливейвый оператор. Матрица семосопряжсивого оператора в любом ортовормироваввом ба- зисе сеть свыметрищая паприка. Остановимся иа свойствах собственных звачевпй и векторов линей- ного симссопряжеиввго оператора А.
Собственным оначонием оператора А каеывается талое число Х, что существует вектор Ц ч»*0, облацавицвй свой- сввом Ай = )»Ц. Этот вектор иазььвается соботоонным вектором, прикадле- жащим (соотеетствующим) давиому собственному звачекию )». 1. Самссспряжевиый оператор А з В„- имеет л вааимво ортогспалввых собствеввых векторов Ци ..., Ц . Будем считать, по все Ця иормировввы к единице.
Толка (Ць Ця) =бы Осстветствую~цие собспеевлые значения раопсложвм в порядке возрастания их абсолютных величии: !)»»! < )Хя! < <...«)ь !. О. Если линейный оператор А, эадввиый иа В, имеет л веаимво орта. гокальпых собсгвеивых векторов, то А — саипсоиряжеявый опиратор, А=Аа. 8. Если А а = А ) О, то все собствеивые аквчсвии оператора А веотрв- цательвы. 9 3. НЕКОТОРЫИ ВАРИАНТЫ МБ)ОДА П!'Ороипх )д)7 $2. Некоторые варианты метода прогонна 1. Потоковый вариант метода прогонки дли ревностных задач с силыю мевшещвмисв коэффвциевтами. рассмотрим вариант метода прогонки, применяемый при решении задач с сильно меняющимися коэффициентами. Примерами таких задач являются задачи гндродмнамики с теплозцюзодностью м магнитной гндродинэмвкн, где коэффициенты теплопроводностл, элекэроырозодности сильно зависят ог тврмодинамнчесмих параметров среды.
В случае тепловых задач могут иметь место адиабатичяскве участки, где теплппроводность отсутствует, а также изотермические участки, где теплопроводность бесконечно велика. В маэюгэных задачах — соответственно, идеалвво проводящие и неелектропрпзодные участки. При решешш раваостных уреввввий второго парадис, понучакицихся цри аппрожлмации зтих задач, по обычяыж проголочвым фпрмулам часто наблюдается авачвтелввая потеря точности. Избавиться от етого недостатка удается путем перехода к так называемому потоковому варианту метода прогонки( Формулм для это)с варианта прогомки мамою получить в реаультате преобразования формул обычной прогонки. Итак, реосмотрим раавоствую краевую задачу аоуо, — оауо+ асмусы = — П, ( = 1, 2, ..., )У вЂ” 1, уо к~у~+то уа хзуя ~+то, где оо = асы + а~ + Ао А(, ) О, О < а~ < оо,' 1 ) хь хз ~ О, х~ + хз < 2.
' (3) формулы обычной прогонки (см. гл. 1, 1 2, и. 5) для задачи (1) †(2) с учетом (3) првнвмают зид у( = й(()у(о) + ()(+ы ( = О, 1,2, ..., )У вЂ” 1, а(+) ° м(+( 1 = 1, 2, ..., )У вЂ” 1. 4. Произвольный вектор а ои В можно разложить по собгтзшпхзи ю и торам опвратцра А = А о: о в 2 х= ~Ч~~ оьзз, о» = (а,$А), пРичем 1 аз = ~ оз. аеи Азз 5. Пусть А о = А ) О (А са)юсопряжев и лестридателен). Тогда Ы(а3о < (Аа, з) < Х 3а))з и )о))4 <))АхИ <Х„))а)) для всех *он В, где Л, ) О, д > Π— наименьшее и навболыпее собственные значения оператэра А.
Йорма самосоырвженвого неотрицательного операкара в Во равна ево наиболыпему собсаеенному значению, )А1) = )оо. 6. Если самосопрюманные операторы А и В и тановочвы, т. е. 4В =ЗА, то ови имеют общую сне)ему собственных «пункций. 7. Пусть А и  — порестлновочкые (АВ =ВА), самосопряжеиные операторы. Тогда оператор АВ имеет т1т же систему ссбсвэенлых фьтмиций, что и операторы А и В и )оли = ВА )ов, й = 1, 2, ..., в, где )оя, ' Хй~~ и й ав— РΠ— 00 () Ы), ) ) (а) собственные значе)шя номера й операторов А, В и АВ = ВА соответственно.
Имеют место также равенства )оА+в — — ХА + йв . ( ) (а) (ь) 598 ДОПОЛНЕНИЕ Введем нову»о неизвестную разностиую фумвцию (поток) по формуле ш» = а;(у»» вЂ” у;) (5) и перепишем уравиеиие (1) и краевые условия (2) в виде ш» — и»+» — 8»у» = — 1е» = 1, 2, ..., д» вЂ” 1, (6) а,(1 — к»)у, + и, = а»т», аа(1 — к»)уа — к»ша = аяте.
(7) В первую иа формул (4) подставим епачеиие у» из (5): у» = у»+» + + а»».,1а»+ь Тогда получим (8) а»е»(1 — и»+»)у»+» + ш»+» =' а»+»()»+». Вводя обозначения и» = а»(1 — и»), 7» = а»)1», перепишем (8) следуюшкч обр асом: с'»у + '"' = у». (9) После исключения у» пз (6) и (9) получаем а» с»»у» — а»1» (10) Напишем рекурренвные формулы для определения и» и 7». ". Ь" ( --')+4 "»»-» = "+» (1 тт "»+х) = а»+ + а»(1 — в») + 8» или а»+ а» в»+» 1 + (»с. +»».)1а + 7;+, = а»+,()»у» = а»+, (аА+ 1») = а»+,(у»+ 1») = а».ь» (у»+ 1») а;+ + а»(1 — »»1)+ Ы» (И) (12) у»+ 1» 1»' » 1+(а +»1.)1а.
(И') Из сравиеиия пе)мого краевого условия (7) с (9) при» = 1 лаходим и» = а»(1 — к»), 7, = а ть (13) Формулы (И), (12) удобны для счета при а» ~ 1. При а» ~ 1 формулами (И) и (12) нужно лольевваться в виде а»+ (а»+ 8») »+» а»„+ (а» + 8») ' '+ »»с«»д »« .„«»««».». (12') При эыповпеиии условий (8) из формул (И) и (И') следует, что и» ) О.
Тогда исеффициеит а»1(с»»+ 6») в формуле (10) всецда меиыпе едвиицы, что обеопечавает устой пввхть при вы пилении и». 4 а. некотОРые ВАРиАнты метОдА нРОРОнки 599 (13) 3) Определяем т + у,хе!а ! 1 — х +х п„,!а апт + уях ап(1 — х )+х ая ' ущ(1 — х ) — !г т 1 — х +ха~!а у»(1 — х )ап — а т ап ая > 1, если если ап( 1, если аль 1, ап(1.
если я а,(1 — х)+хая 4) Для ! = А! — 1, Д! — 2, ..., О вычисляем гг! ' !1ву! — свв)! г+! ') у;+, у=1 — — ~р +— если в, ~~ 1, аг+! Ув+ 7! у = + + у! + + +, еслв в!, (1. а +! ы! а!+а Для определения у, можно воспольэоваться следующими фориуламп: У! = а!+ар!+ + рг+д = 1 — г+г Уг+ + г+! (14) аг+, ' ' аг+, прн а! .ю 1! ав+, у!+ г! у!= „уц.,+ а!о!+а!+в!! ацг+пг+а! нрп а! ~ 1. Ие (14), (13) видно, что пропана устойчява.
Для очета по формулам (10), (14) и (13) нужно анать велпчнны ы» н у». Они определяются ив второго краевого усжепя (7) п соотношения (9), ввятого прп ! = А!: апт -)- уях упал (1 — 'к ) — ар!апт ул а (1 — х ) (-х ап ' ~п ап(1 — х„)+х ая Отметим, что иэ (3) следует, что анаменателн этих двух вырюкенпй всевда больше нуля. Првпедем окончательные формулы алворитма квтоковой крогокки! 1) Вычисляем п! — — а!(1 — х!), у, а!т!. 2) Для 1=И, 2, ..., !у — 1 последовательно находвм а;+ 4! г+! 1+(аг+!! ))аг+ ' " гтг~ а,.+ (а! + !!в) ~1+! + (с! +4 ), толп ~4+1( 1 у;+!! Уье! = ! ( гп. ( 4.!/а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
