А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 100
Текст из файла (страница 100)
еслп а!+!~1 ! г! г+! ~!~~ (у; + У~) + +и ° г+ !+! !! !) 6ОО допоогнвнпв 3 а м е ч а н н е 1. Выше приведены формулы для определения пе только функции у», яо и потока |о». При больших коеффпциентах а< вычисление потока по формуле |о» = а<(у» | — у<) приводит к существенной потере точмоств. Это и послужило одной не причин ю<адвния потока |о» в начес»эе дополннтелыюй искомой фулнции и вычисления его по рекуррентвому еоотвошэввю (10).
Замечание 2. Устойчивость црпведевных вьипе .рову<рревтных формул очевидна. 2. Цвилическая прогонка. Циклическая прогонка испольеуется для наховщвния периодического Решения .развеселого уравнения (или системы ревностных уравненлй). Псуу<бные задачи возникают при приближенном решении уравнений е часпвыми пропаводныыи в цввнэдрнческвх и сферических координатах. Рассмотрвм систему уравнений а|у<| — с|у| + Ь!Уг — — †/ь а<У< | — с<у< + Ь<У<+| = †/<, ! = 2, 3, ..., <У вЂ” 1, (16) а„у», — с у» + Ь»Ю = — / .
Такая алгебраическая еадача воавикает прн отыскании периодического, у<+» — — у», решения системы трехчленных уравнений а<у», — е»у»+ + Ь<уоо! — — — / при условии а|+» = аь Ь»+» = Ь<, с<+» = с», /»+г| =/<. Опвосвтельпо ксвффицнонтоа системы (1) бу(дом предполагать, что а<>0, Ь<>0, с >а,+Ь». (17) Приведем получающиеся формулы решвння задачи (16) — 1Уормуам </и- каическов прогонки: Ь» / + а<()» а,.у! |+1 С вЂ” ачж ' <+1 С.
— аав ' у<+! С. — а и «» ! | | | ! | ! = 2, 3, ..., 3/, аг = Ь</с|, ()г = /|/е|, уг = а,/сь р* = о<о|Р»+| + рсоь д = и»о<д»+! + 7»+! (19) <=3< — 2,...,1, р»-|=ф», д»-|=и»+7», ()Я+1 + ом+1Р1 у„=,, у<=р»+у„д<, 1=1,2,...,3< — 1. (20) 1 — оя <д — ум|1 Метод цнклвчесиой прогонвп является устойчивым, так вак рыпения еадач (19) Йщутся методом прогонви, который устойчив при выповвеюш условий (17), а енаменатель 1 — и»+<д» вЂ” 7»+< в выражении для у» не обращается в нуль. Действительно, на (17), (18) видно, что а» ( 1, 7< > О, ио+уг (1.
Предполагая щ»+ "1» (1, геолучаеы Ь» + а<у! Ь» + а! — а»а< ~»+! + 7»+1 е. — а.се. ( с. — а.ап < | < ! |1 Учитывая (19) н (21), находим д»-| ( 1,. У» (1. Ие всего скаеанво|о следует, что 1 — и»+|д< — '7»+< > О. 3. Метод факторвеацэи раавостиого уравнен<(я..Фо)в(улы'прогонки для решения равнсстлой' краевой аадачн Вуг = Агу<-! — С<у<+Ваго+| = — Рю Ь = 1, 2, °, 3/ 1, (22) уо = к»у»+о<, у» = к<у»-|+те могут быть пслучввы путом фюг<эрвоацнв ревностного уравнения.
Вводя сааратор еде!пи Т теи, что Туг = уо+|, представим левую йасть у<равнения Ь з. алдлчи ОП( (22) в виде произведения (Ь»Т вЂ” А»)(п»Т — Е)ул-с = (Ь»Т вЂ” А»)(аауа — у»-с) ~ Ь»а»+су»+с — (Алп» + Ьа)у» + Л»уа..а где Š— единичный оператор, Еу» = уа. Сравнивая зто выражение с (22), получим а»+сЬ» = В», А»а» + Ь» С». Песне исключения отсюда Ь» = С» — А»а» зайдем Ва па+а= С Л а 5=1а2а ° 'ЬС 1 — ап (23) Решение факторизованвого уравнения (Ь»Т вЂ” А») (п»у» — уа-с) = — Ра находится так: сначала из уравнения (Ь»Т вЂ” А»)()» = Ь»5»ес — А»()» Р», иви А»()а+ Р„ 0»та= С Л ю 5=1,2а ° ° ' ДС вЂ” 1. — ааа определяетса функция (1», затем находим у» по формуле а»у» — у»-с = = — ()~ иви ул а»+су»+с+()а+ь Ь = О, 1, 2, ..., М вЂ” 1. (25) В результате колучаем формулы обычной прогонки (см.
гл. 1, $2, п. 5). К формулам (23) — (25) сведует добзнвть начальные условия кз(), + т 1 — кп (26) "з~я Если ввести операторы правой и левой разностей бг» = о»+, — га, Чг» = га — г» „ то факторизацию оператора Еу. = А,у,, — С.у»+ В»у»„ можно осуществить, полагая 5 = ьсьь где Тс — — Ь»Д+ уа, 5» 7+ (сса — 1). Равенство ЕсЦуа = Ьу» будет вьнюлнено, если полакить у» 'Ь» — А», п»+сЬ» = Вы Алсса + В»1п»+с = Сы $3.
Задачи 1. Задачи к гаазе У1. Для иллюстрации общей теории устойчивости мы приведем ряд простейших ревностных схем двя уравнений ди, дзи дз = — Г, 0<Си;.С, 0<я<1; и(Х,О)=ие(з) (1) ди ди ди дс = — з+ — а, 0<за<1, а= 1,2; и(иа,из,О) = ие(зд, Яз) (2) 1 3 с пулевыми црнаичвыми условиями.
39 л. л. 0»исус зк что'снова прнзодвт нас носке исключенвя у» и Ьа к тем же формуяам цро- гожся (23) — (26). донопниннв 602 Предварительно напомним цравила, матерыми следует руиоеодсюэовать сн при мсследававви ковиретлых разноовных схем. 4) Вводится простравсвэо Нэ сеточных функций веденных на сетке юл и удовлетворяющих однорадвым гранпчлым условиям (в случае пцрвой краевой аадачи — обращающихся в нуль на границе 7л сетки), определяеэся.скалярное проиаведевне (, ).
2) Ревностная схема приводится к каноническому виду. Двухслойная схема лмеет канонический ввд 1+1 1 В " у -(-Ау)= ~р). (3) Трехслойная схема имеет канонический вид — + оэН У' — 2У'+У' + Ау) р) 2т е (4) (5) (устойчивость в На), либо В=Не)0, А=Ае>0, В>05тА (устойчивость в На и На); б) для трехслойных схем В)~0, В=В*>0, А=Ае>0, (7) 1 В) — А 4 1+с нли В )~ 4 А, где е ) 0 — любое число. 5) Если достаточные условия устойчивости для данной схемы выполнены, то оиа устойчива и для вес можно польэоваться априорными оценками,.полученными в гл.
Ч). Сделаем некоторые эамечания.. Следует обратить внимание ва воэможность исполвзсвавия другой фЕрмы эагисн двуислойных схем: Врыв = Су1+ зр1, где С В вЂ” тА, А ( — С)/т, (9) (8) и врехслойных схем: В,у~+ +В,у~+В,у~- =йтрд (10) Сравнивая (4) п (10), находим Вэ = В+ 2тд, В| = 2т(А — 2В), Вэ — — 2т — В, (И) 1 1 1 В= 4 (Во+В), А= 2 (Ве+Вг+Вэ), В= 2 (В,— В) (12) Достаточные условия устойюэвостн (5) эквивалентны условиям ( — С) = ( — С) е > О, В+ С > О. (13) При этом определяются операторы В, В и А схемы. Каноническая форма ааписи схем удобна не только' для проверки устойчвэюоьн,но л для оценки порядка авпропсимации. 3) После того, как операторы схемы найдены, исследуются их свойства как линейных операторов в просвравстве Нл (пслоигительиость, самосопряжевность и т.
д.). 4) Проверяется выполнение. достаточных условий устойчивостк для данной схемы. Эти условия имеют вид: а) дли двухслойных схем В>0, А=Ае)0, В>05тА 60?> 1 3. ЗАДАЧИ где А ) 0 — яесамосопряскеиный оаоратор. Тогда схема о ) 0,5. Если, кроме того, дано, что НА4)1( ь(Аг, л), то схема устойчива в В при устойчива прв (13) 1 1 о~ )2 — —, (17) Наконец, есля А = А о ) 0 и А — постоянный оператор, то Ь = !)АД н схема (15) устойчива в В иуХл при 1 1 о > — —.— 2 'СДАН' )Нля трехслойной схемы с весами 1+1 1-1 + А (о у1+ + (1 — о — о ) у1+ О уг 1) = Ср1, (рй) (18) гце А ) 0 — яесамосопрявсенный оператор, НА4)1( ь(Аг, е), достаточные успевая устойчивости имеют вид 1+с о )о — —, о +о > 2 пли о +о )~ —, е>0.
(20) Обратимся теперь к схемам для ураввеннй (1) и (2). На отрезке 0 < ( в < 1 вводится .равномерная сетка оэл = (хо = СЬ, 1 = О, 1, ..., Ьс) с шагом Ь = 1/ЬС. Пусть Но — вространстко сеточных функций, определен- ных на мо в равных нулю на гривнце (при х = О, г = 1), Ю-1 (у. о)= Х УСРСь Д у Н = у (у у) . 1=1 — скалярное проиаведение и норма в Во.
В случае садаки (2) в квадрате вводим согну ел = (тс = (Ссв, ССЬ); 1Е Са О, 1, ..., Ьс, Ь = 11)т) и пространство Во функций, задаинмх ва юо и равных нулю при Ь О, Сс = У, 11 = О, Со — — ЬС СО СКаЛЯРНЫМ ЛРОВВИЕДЕВИВМ М-1 (у, о) = ~ч~" у1 1 ыг с ь, Н у'Д = )/(у, у). 39о Для трехслойной схемы (4) или (10) условна (7), (8) аививалентвы усло- виям В +В =(В +В)о, В ='В,  — В )О, (14)  — В+В >О, В+В+В >О.
В ряде случаев удобно польеоваться еапясью схем (3) и (4) в виде (9) я (10), после чего проверять достаточные условия устойчивости (13) л (14) соответоввенмо. Напомним достаточные условия (вытекаювгне из условий (5) нли, (8)) устойчивости схем с весами. Пусть дана двухслойная схема с весами + А (оу1+1+ (1 — о) у1) = ~р), 1+1 1 (15) 604 допопнинни В следующвх задачах требуется прввести к каноничесиому.виду и указать условия устойчивости развоствых схем в попрешмость апнроноимшрш: 1 Уь«Ь« — У«.Ь« 5 У; — У 1 У У.
— — Иу«+д 2У«+д + У«+д) + (У«2У/+ У«И О т в е т. У« — отЛуг — — Лу, или (Е + атА) у«+ А у = О, цде а = —— Ьз — Лу = у, Ау = — Лу. Схема устойчива в Н при любых Ь н т в 12т имеет погрешность аппроксимации 0(Ь«+ т«). Указание. Следует преобразовать левую часть уравнение, двя чего воспользоваться соотлошениими з«+ +10с«+з« =(и;+ — 2г«+с«д)+12и«=Ьздв +12и«, «+д = в«+ тг/ «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
