А.А. Самарский - Теория разностных схем (1989) (1160092), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Там же можно найти авпроксимацвю краевых задач второго и третьего рода для уравнений с переменнымв коэффвциентами на неравномерных сетках, а также схемы повышенного порядка точности. В [13], гл. 1Ч построены разноствые схемы для алливтических уравнений четвертого порядка с краевыми условиями и условиями сопряжения различного вида, а в качестве приложений рассматриваются задачи теории упругости (о равновесии стержней и пластин). К гл. 1Ч, $2. Иаложевие принцина максимума см. в [9], [10], [М], а таюне в [13]. К гл.
Ч, Ц 1; 2. Теория устойчивости двухслойвых схем общего вида, э том числе схем с весами, дава з гл. Ч1. Об асимптотвческой устойчивости см. (91]. К гл. Ч, 66 4, 5. См. [11]. К гл. Ч, 6 б,п. 3. Условие устойчивости т ( Ъ|а было впервые получено з работе Р. Куравта, К. Фридрвхса и Г. Леви (ом. УМН, вып. 8 (1940)). $ 6, п. 4. Этот пункт содержит результаты, полученные М.
Н. Моокалькозым (ЖВМ и МФ, 1974, 14, 78 2; 1975, 15, Уй 1). Используемое повятэс обобщенного решения дано з [54]. 610 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ К гл. Ч1. Более полвая общая теория устойчвзостк разпоствых схем дана з [11], где содержится болыпое число примеров, а также обзор Работ по теории устойчивости разкосткых схем.
Изложевие гл. Ч1 осповаво ва работах А. А. Самарского и А. В. Гулива. Асимметричные схемы (4 2) были предложевы В. К. Саульевым в 1960 г. К гл. ЧП. Изложевие основано па работах А. А. Самарского, перечень которых даи в [10]. К гл. Ч1П, 9 1, п. 5. См. А. А. Самарсквй (ЖВМ и МФ, 1962, 2, № Ц.
$1, и. 6. Схемы скво»ваго счета для температурных волн см. в статье А. А. Самарского и И. М. Соболя (ЖВМ и МФ, 1963, 3, № 4). . Алгоритм 9 1, п. 7 излагается по работе А. А. Самарского, Б. Д. Моисеенко (ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 5), ом. также: Б. М. Будак, Е. Н. Соловьева, А. Б. Уопекокий (ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 5).
К гл. Ч1П, 9 2. Изложевие ревностных методов решевия одномерных кестациопарвых аадач газодивамики и магнитной гидродипамики можво вайти в [12]. Доказательство сходвмости метода Ньютона для развостных уравнений газодивамикп, приведенное з книге, дакр в статье И). П.
Попова и Е. А. Самарской (ЖВМ я МФ, 1977, 17, № 1). К гл. 1Х, 69 1, 2. Эковомичвым методам решевия многомерных задач посвящево большое число работ, ссылки ва которые мошко иайти в [10], 6], [65]. Первые зкопомичпме схемы — схемы переменных направлений ыли предложевы Ппсмевом и Ракфордом, Дугласом (1955) и В. К.
Саульезым (1956). Н. Н. Яненко (1959) впервые предложил аппроксимировать мвогомервую раакостпую схему для уравнения теплопроводвости системой одпоыериых схем с весами, введи для етого алгоритма термины «метод расщеплеиия», »метод дробных шагов». Для выяснения вопроса об устойчивости и сходямости был предложен переход от пепочки одпомервых охам путем воключевия промежуточпмх значений. у)+ )р к схеме «в целых шагах», связывающей у) и у)+', зто — факториаоваппзя схема, ова устойчива при попарпой пересталовочпости одвомерпых разпостпых оператороз (об атой схеме ом.
[15], [10]). В дальнейшем предлагались различные способы получения зкопомичных факторизовапкых схем: 1) метод расщепляющегося оператора (Е. Г. Дьякоиов, 1962), 2) метод приближевпой факторизации (Г. И. Марчук и Н. Н. Япевко, 1966), 3) метод факториаации (оператора па верхвем слое) (А. А. Самарский, 1963 — 1966, см.
$2, гл. 1Х); оп основав ва методе регуляризапии развостпых схем. пзложепвом в 1 3 )л. ЧБ Отметим также работу К. А. Багрквовского и С. К. Годунова (ДАН, 1957, 115, № 3). К гл. 1Х, 9 3. Понятие суммарной аппроксимации, а также одвомервые модели Йо(а) +.4а»(,») — га(г), 8 ш [г)»(а ю(р, (1„/р], (1) Р '(о(а) + а"(а) = уа(г), г»п [(Р »э+)!' а =1,2,..., Рг (2) многомерной задачи — „;+[А,+Л,+.„+А,)а=В 7=7,+7,+...+1„, (3) впервые предложены А.
А. Самарским (1962, вторая модель з 1965 г.) и использовались в дальнейшем многими авторамв. Для первой модели Н. Н. Яненко (1064) оценил погрепшость р (р) — в = 0(т), воспользовавшись понятием суммарной аппроксимации (ззедя для пее. терпил »слабая аппроксимация»). Изучению первой модели посзящева также работа Д. Г. Гордезиаки (1965).
Метод суммарвой аппроксимации как способ редулцвп мвогомервой аадачи к цепочке задач (1) или (2) и последующей вх развоствой аппроксимации'широко применялся з аадачах гидродипамики, метеорологви, теории перевоса излучения и др. рядом авторов и превще всего Г. И. Марчуком, Н. Н. Яненко и др.
ЕИЬПИОГРАФИЧЕОКИЕ КОММЕНТАРИИ Большое число работ по развитию и применению метода суммарной аппроксимации выполнено И. Ф. Фряаиновым, который построил и исследовал адднтнвные схемы высокого порядка точности, схемы на графах и адднтивные векторные схемы для параболических уравнений общего вида с переменными коэффициентами в области произвольной формы с краевыми условнями первых трех типов (ссылка см. в статье А.
А. Самарского и И. В. Фрязинова.— УМН, 31, № 6 (1976)). К гл. Х. При изложении использованы работы А. А. Самарского и Е. С. Николаева (см. [10), А. А. Самарский (ДАН СССР, 1969, 186, № 3; 1969, 186, № 1), Е. С. Йиколаев и А. А. Самарский (ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 6)), а также работы Племена, Дугласа и Рзкфорда Я 4); к 1 5 относятся также работы М. А. Красносельского и С. Г. Крейна (метод минимальных невязок, п. 2), Е.
Г. Дьяконова и Гана (двухступенчатый метод, п. 5) и др., ссылки на которые см. в [10). К гл. Х, $2. Способ упорядочения итерационных параметров дан по работе Е. С. Николаева и А. А. Самарского (ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 5), несколько другой способ ' упорядочения предложен В. И. Лебедевым и С. А. Финогеновым (ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 1).
К гл. Х, 3 3. Попеременно-треугольный метод предложен А. А. Самарским в 1964 г. (ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 3) в усовершенствован в [10); модифицированный вариант ПТМ предложен в статье А. Б. Кучерова и Е. С, Николаева (ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 5). К Дополнению, 6 1. Более подробное изложение используемых нами фактов пз функционального анализа можно найти в [4), а также в книгах: Лю стер пик Л. А., Соболев В. И.
Элементы функционального аналиаа.— Мл Наука, 1970; Вул их Б. Э. Введение в функкиональный анализ.— Мл Наука, 1967. К 6 2. Метод потоковой прогонки предложен Л. М. Дегтяревым и А. П. Фаворским (ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 3; 1969, 9, № 1). К 3 3. Метод циклической прогонки принадлежит А. А.
Абрамову и В. Б. Андрееву (ЖВМ и МФ, 1963, 3, № 2); вывод формул см. также в [10]. Обзор работ советских авторов по теории разностных схем дан в статье А. А. Самарского в ккл История отечественной математики.— Киев: Наукова думка, 1970, т. 4; литературные ссылки см. также в [10), [6), [16). ЛИТЕРАТУРА 1. Ваэ о в В., Форсайт Дж. Раэноствые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.— Мэ ИЛ, 1963.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— Мэ Наука, 1976, 1981. 3. Годунов С. К., Ряб енький В. С. Раэиостные схемы (введение в теорию).— Мл Наука, 1977. 4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.— Мс Науке, 1977.
. 5. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической фиаики.— Мл Наука, 1973. 6. Марчук Г. И. Методы вычвслвтельной метематвки.— Мл Наука, И80. 7. Рихт майер Р., Мор.т,он К. Раэноствые методы решения краевых эадач.— Мл Мир, 1972. 8. Рябе нький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости ревностных ураввеввй.— Мэ 1'остехиадат, 1956. 9. С а м а р с к и й А. 'А. Лекции по теории рааностных схем.— Мл ВЦ АН ССОР, 1969. 10.
С а и а р с ни й А. А. Введение в теорию раэностных схем.— Мл Наука, 1974. 11. Самарский А. А., Гул ин А. В. Устойчивость раэностных схем.— Мс Наука, 1973. 12. Сам а рс к ий А. А., П оно в Ю. П. Раэноствые схемы.гаэовой динамики.— Мс Наука, 1973, 1980. 13. Самарский А. А., Андреев В. Б. Ревностные методы для эллвптических уравнений.— Мс Наука, 1976. 14. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравненвя математической физики.— Мс Наука, 1972.
15. Я н е н к о Н. Й Метод дробных шагов решения многомерных аадач математической фиаики.— Новосибирск: Наука, 1967. 1Гь Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решенвя сеточных уравнений.— Мэ Наука, 1978. 17. Самарский А, А., Кара манн Ю. Н. Раэиостныс уравнения.— М:: Звэнве, 1978. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ <сл = (х« = Ь, Ь ) О, » = 1, 2, ..., д< — 1, Ьй< 1] — равномерная сетка ва интервале (О, 1) с<л = (х« = Ь, Ь ) О, » = О, 1, ..., Ь<< ЬЬ< = »] — равномерная сетка ва отрезке: (О, 1] Ь вЂ” шаг сетки е<л х = х< — узел сетки мл у = у< = у(х<) — функция, аадавмак аа <вл у„= (у<+ — у<)/Ь вЂ” правая разиоствая производваа в точке х< У„= (У< — у«)/Ь вЂ” левая развостная производная в точке х< Ухх = (У<+< — 2У<+ У«-)/Ь' — вторая ревностная производная в точке х< елл = (х< ш (О, »), » = 1, 2, ..., /У- 1) — неравномерная'сетка на интервале (О:, 1) в<л = (х«в (О, 1], < = 0 1, ..., Ь<, ха=0, хп = 1) — неравномерная сетка лс отрезке (О, »] Ь< х< — х« — шаг сетки <ел 2» = 0<0 (Ь<+ Ь»+») Ул = (У<+ — У<)/Ь<+ ь У-, = (у< — У«-)/Ь< у2= (у»+,— у )/2» 1 (у»+,-У» У,— У», У;,2~й+, Ь» Скалярные проявведевви н кормы ыа сетке: М-1 (у, и) = ч<', у»з»й< ] у ] = )2(у, у) »-а и (у з] = Х у»з»й ] у]] = у'(у, у] !У]0= *]У(*»)1 х»мел ~» «~МРЬ а<< = (»< = /т, т ) О, / = О, 1, ...] — временнйя сетка ч — швг сечки Оэ< у = у< у(»») — фузпщия, заданная на е<< у<+' = у(<,+,), у у< у(»» <) у, = (р — У)/т, у (у — у)/т, ус (у — у)/(2<) < » 6т4 ОснОВные ОБОзнАчения, принятые В книГе у- = (у — 2у+ у)утз .й *= х; = (хл( л), ..., х(,а), .
° ° хв('г)) — узел р-мерное прямоугольной свтпк юл ~~~ =»Ф » — шаг сетки вл по направлению а (ила) ( (лл) (ла) +» ('в)) у = у (*;). у(~ а) = (*( "".)) у = Ь( 'а) — у)/» у- =(у — ( ' «)/» "а ( (+ла) 2„( у( ла))/»е "аха о л) — множество функций, заданных на некоторой сетке юл и обрюцающпхся в нуль иа ее границе Н вЂ” гильбертово пространство (у, и) — окалярвое произведение элементов у, иш Н, (у) = ~(у, у) Ж(А) — область определенна оператора А Я(А) — множество значений оператора А Л вЂ” единичный оператор А: Н вЂ” Н вЂ” оператор А с Ж(А) = Н н У2(А) ш Н А* — оператор, оопряжоппый оператору А А-' — оовратор, обратный оператору А Š— оператор перехода со слоя на слой Т вЂ” разрешающий оператор А ) Π— полояштельпый оператор А > Π— леотрлщательный оператор А Ъ 6Е; б > О, — полол<игольно определенный оператор 6у4=У(Ау,у), уевН л — У (А ~(Р,Р), РевН ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЪ Абсолютная устойчвзость 285, 325 Абстрактиая задача Коши 321, 499 Аддвтмзвая схема 476, 496 Аппроксимация ввтегральвого закоиа сохрзиевия ! 46 — Раавоствзя 84 — сУммарная 478 Асвмптотвчесяая устойчивОсть 280 Беэуслоавая устойчивость 28Ь Бубвоза — Галеркива метод 200 Быстрое преобразование Фурье 521 Бвугревшей увел сетки 82, 2!9, 488 Бходвые даввые 88 Гармовика 264 Гравичвое услозие второго рода 34 — — первого рода 34 — — третьего рода 34 Гравичвый узел 62.
2М, 484 Дзухслойиая итерацвоввэя схема 524 — схема 2Ь9, 323 — — с весами 297 зергеятвая развоствая схема 144 зергевтвый оператор 132 углаеа — Рэкфорда схема 505 форта и Фравкела схема 278. Э75 Задача Коши для Раэвостяого уразвевия 33 — ва собстэеввые. эвачешея 10! Зейделя метод 540 Иптегро-ввтерполяцяовиый метод 144, 194 Итерадвоияые параметры по Жордаву 570 Итерациавиый метод Ньютона М4, 421 — — перемеввых вапраалевий 568 — — релаисадии 542 — — Решевия свстем ливейвых алгебравчесмвх уразвевлй 29 — — Рячардсова 532 — — с.факторизозаввым оператором 575 Лаконическая форма схемы двухслой- ной 322 — — — — мтерацвоввой 524 — — трехслойвой 323 Кзадратвая сетка 217 Ковсерзатизвая схема 143, 431 Корректность'рааяосткой схемы 98, 12! Коши — Бувякозского веразеиство 100 Ко-экзиэалевтиость раэвоствых схем 207 Коаффипиектвея устойчивость операторного урезвевпя 207 — — схемы 205 Краевая задача для реэкоствого уравнения 33 Лагравжа перемеввые 428 Лама коэффяциевты 475 — система ураавевий 28 Лапласе Уравнение 18 Левая раэвостяая прояззодвая 65 ливейвы» веотрицательяый фуикциоиэл 148 Локальво.одяомервая схема 483 Мажоревта МГ 228 Максвелла уразвевяя 20 Метод белепса 144 — верхней релаксации 542 — зстречпых лроговок Э9 — декомпоаиции 5!7 — конечных алемевтоз 197 — миаимальвых веэяэок 58Э вЂ” — пОпразом 534 — модвфпцкрозаивый воперемеввс-треугольный 5М вЂ” пробвых функций 148 — проговки Э5 — — левой 38 — — матричиой 522 — — циклической 169 — простой ктерацяи 530 — раэделеввя перемевиых 263, 838, 520 — скорейшего спуска 585 — эиергетичесмцх неравенств 110 Мовотояиая схема !69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
