Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства, , существует последовательность такая, что и . Тогда существует , и .

Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурье расходиться.

Пусть , , , , .

Преобразуем частичную сумму ряда Фурье

.

Положим х=0 и ; непрерывная на функция, если ее доопределить нулем в точке.

Таким образом, , при . Рассмотрим оператор - линейный оператор из пространства , в пространстве , ставящий с точностью до в соответствие ее частичную сумму ряда Фурье в точке . Пусть , ,

так как интеграл сходится по признаку Дирихле-Абеля. Итак, при и согласно следствию к теореме 4 существует , для которой ряд Фурье расходится в точке .

21. Обратный оператор. Достаточные условия существования обратного оператора.

Пусть оператор А действует из множества Х на множество Y, - область значений оператора А. Если для любого элемента y R(A) уравнение Ax = y имеет единственное решение, то говорят, что оператор А имеет обратный оператор А , то есть х = А y. Очевидно, что х = А Ах и y = АА y, или операторы I = А А, I = АА - тождественные операторы в Х и Y. Если А – линейный оператор, то и А - линейный оператор.

Теорема 1. Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, причем существует постоянная m>0 такая, что ||Ах|| m||x|| для всех х из Х.

Тогда существует А - линейный ограниченный оператор.

Доказательство. Прежде всего докажем, что уравнение Ах = y, y R(A), имеет единственное решение. Предположим, их два: х и х : Ах = y, Ах = y, тогда А(х - х ) = 0 и m||х - х || ||A(х - х )|| = 0. Значит, х = х и существует А - линейный оператор. Этот оператор ограничен, ибо

||А y|| ||AА y|| = ||y|| для всех y Y.

Теорема 2 (Теорема Неймана). Пусть А – линейный ограниченный оператор, отображающий банахово пространство Х на себя и ||A|| q < 1. Тогда оператор I-A имеет обратный линейный ограниченный оператор (I-А) .

Доказательство. Определим степени оператора А:

А = А(А ), k = 1,2,3,…, А = I – тождественный оператор. Ясно, что

||А || ||A|| q . Далее = , пространство L(X X) – банахово, значит сумма представляет собой линейный ограниченный оператор. Для любого натурального числа n имеют место соотношения

(I-A) = = = I - A , причем I - A I при n , ибо

||A || ||A|| 0. Следовательно, (I-A) = I, то есть (I-A) = , причем

||(I-A) || .

Замечание. Пусть А, В L(X X). Тогда определен оператор АВ L(X X) по формуле АВх = А(Вх), причем ||AB|| ||A|| ||B||. Действительно,

||ABx|| ||A|| ||Bx|| ||A|| ||B|| ||x|| для любого х Х.

Теорема 3. Пусть оператор А L(X X), где Х – банахово пространство, имеет обратный оператор А и существует линейный ограниченный оператор А такой, что || А||< . Тогда оператор В = А + А, то есть возмущение оператора А, имеет обратный оператор В , причем ||B - А || .

22. Теорема Банаха об обратном операторе.

Доказательство. По условию линейный оператор А устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами Х и Y. По доказанному выше обратный оператор А , отображающий Y на Х, также является линейным. Остается доказать ограниченность оператора А .

Обозначим через Y множество элементов y Y таких, что ||A y|| n||y||. Каждое из множеств Y не пусто, так как, например, нулевой элемент пространства Y принадлежит всем Y . Кроме того, всякий элемент y Y, y 0, попадает в множество Y , если в качестве n взять любое целое число, превосходящее . Поэтому можно записать Y = .

Ввиду того, что полное пространство Y не может быть объединением счетного числа нигде не плотных множеств (теорема Бэра категориях из §6), по крайней мере, одно из множеств Y не является нигде не плотным. Следовательно, существует шар В(y,r), в котором множество В(y,r) Y всюду плотно. Рассмотрим шар , лежащий целиком внутри В(y,r) и такой, что y Y . Возьмем любой элемент y с нормой ||y|| = r . Элемент y+y , ибо ||(y + y ) - y || = r . Так как , то найдется последовательность элементов {z } из Y и такая, что z y+y при k , Эта последовательность может быть стационарной, если y+y Y .

Обозначим y = z -y y; при этом можем считать, что ||y ||, и, кроме того, ||y || r .

Так как z и y Y , то

||A y || = ||A z - A y || ||A z || + ||A y || n (|| z || + ||y ||).

Далее, ||z || = ||y + y || ||y || + ||y || r + ||y ||.

Поэтому имеем оценку ||A y || n (r + 2||y ||) .

Обозначим через N наименьшее целое число, превосходящее .

Для элементов последовательности {y } справедливо неравенство

||A y || N||y ||, откуда следует, что все y Y .

Итак, любой элемент y с нормой, равной r , можно аппроксимировать элементами из Y . Пусть теперь y – любой элемент из Y. Рассмотрим элемент y’ = y,

||y’|| = r . По доказанному найдется последовательность {y’ } элементов из Y , сходящаяся к y’. Тогда y = y’ y и справедливы соотношения

||A y || = ||A y’ || N||y’ || = N||y ||.

Отсюда следует, что y Y , то есть множество Y всюду плотно в Y.

Рассмотрим снова произвольный элемент y Y. Пусть ||y|| = . Выберем y Y такой, что ||y - y || , ||y || .

Это можно сделать, так как (0, ) Y всюду плотно в В(0, ) и y (0, ). Найдем далее элемент y Y такой, что ||(y - y ) - y || , ||y || ; возможность выбора обеспечена тем, что (0, ) Y всюду плотно в (0, ) и y - y (0, ). Продолжая этот процесс, построим элементы y Y такие, что ||y – (y + … + y )|| , ||y || .

В итоге получим представление . Обозначим х = А y , тогда ||x || N||y || . Последовательность {S }, где S = , при n сходится к некоторому пределу x E, так как

||S - S || = || || <

и Х – полное пространство. Следовательно,

.

Далее .

Отсюда .

Так как y – любой элемент из Y, то ограниченность оператора A доказана.

23. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала в линейном нормированном пространстве.

Теорема 1(теорема Хана-Банаха). Любой линейный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства X, можно продолжить на всё пространство X с сохранением нормы, то есть существует линейный функционал , определённый на всём X и такой, что для любой точки ,

Доказательство. Пусть и - множество элементов вида , где , а t – любое действительное число. Множество - линейное многобразие и каждый его элемент однозначно представим в таком виде. Пусть ; если , то ; если , то и , что невозможно.

Выберем любые два элемента и из L. Справедливы соотношения , из которых вытекает неравенство , а в силу произвольности элементов и имеет место оценка

.

Пусть u – любой элемент из L. Введём функционал на по правилу . На L имеет место равенство , так как . Очевидно, что -линеен; покажем ограниченность функционала и равенство .

Если , то из принадлежности элемента многообразию L и неравенства для постоянной с справедливы соотношения

, итогом которых является неравенство

. При имеем , а, значит,

, то есть . Заменяя в этих рассуждениях элемент u на (-u), получим , в совокупности . Мы доказали неравенство , но так как есть продолжение , то его норма не может быть уменьшена; следовательно, .

Закончим доказательство теоремы в случае сепарабельного пространства X, то есть такого пространства, в котором существует счётное всюду плотное множество элементов , , … . Пусть эти элементы линейно независимы и не попали в . Продолжая функционал с многообразия на многообразия , , …, мы построим линейный функционал , определённый на всюду плотном в X линейном многообразии , причём . Доопределим на всё пространство X по непрерывности. Если , то существует последовательность элементов из и при , причём . Следовательно, последовательность имеет предел , однозначно определяющая функционал на X. Этот функционал линеен в силу линейности и линейности операции предельного перехода. Ограниченность вытекает из того, что следствием неравенства является неравенство . Итак, , а так как -продолжение функционала , то его норма не может быть уменьшена. Мы доказали формулу , завершив тем самым доказательство теоремы.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)