Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Теорема 1(о вложенных шарах). Пусть дана в полном метрическом пространстве M последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга (то есть таких, что каждый последующий шар содержится внутри предыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует и притом единственная точка, принадлежащая всем этим шарам.

Доказательство. Обозначим рассматриваемые шары следующим образом:

.

По условию теоремы

.

Рассмотрим последовательность центров этих шаров:

.

Так как , то . Поэтому . Следовательно, при независимо от номера p, т.е. последовательность центров сфер является фундаментальной.

В силу того, что пространство M - полное, эта последовательность сходится в некоторому пределу . Возьмем любой шар . Тогда точки принадлежат этому шару. В силу замкнутости шара предельная точка а этой последовательности также принадлежит . Таким образом, принадлежит всем шарам.

Допустим, что существует еще одна точка b, принадлежащая всем шарам и отличная от точки a, так, что . Так как a и b , то

,

что невозможно, ибо при . Теорема доказана.

17. принцип сжатых отображений. Теорема Бэра о категориях.

Теорема 3 (принцип сжатых отображений). Пусть в полном метрическом пространстве M задан оператор A, переводящий элементы пространства M в элементы этого пространства. Пусть, кроме того,

,

где , а x и y - любые элементы M. Тогда существует и притом единственная точка и такая, что . Эта точка называется неподвижной точкой оператора A, который, в свою очередь, называется сжатым (сжимающим) отображением.

Определение 4. Множество X называется множеством 1-ой категории, если она может быть представлено в виде суммы конечного или счетного числа нигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством 1-ой категории, называется множеством второй категории.

Теорема 2(Бэра о категориях). Полное метрическое пространство есть множество 2-ой категории.

Доказательство. Предположим противное и допустим, что полное пространство , где множества нигде не плотны. Возьмем шар с центром в произвольной точке a и радиусом, равным единице. Так как нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества . Так как нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества и так далее.

Мы получили последовательность замкнутых шаров

,

каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар не содержит точек множеств . По теореме 1 существует точка , принадлежащая всем шарам. С другой стороны, эта точка не принадлежит ни одному из множеств , поэтому . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.

Если рассмотреть числовую прямую с обычной евклидовой нормой как метрическое пространство, то множество рациональных точек на представляет собой множество 1-ой категории, а множество иррациональных точек является множеством 2-ой категории.

18. Линейные нормарованные пространства. Теорема Рисса.

Определение 5. Пусть X - линейное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. X называется линейным нормированным пространством, если каждому его элементу x поставлено в соответствие вещественное число , называемое нормой этого элемента, причем выполнены следующие аксиомы:

1) ,

2) , - число из поля,

3) .

Сходимость последовательности из линейного нормированного пространства отождествляется со сходимостью в метрике , причем полное линейное нормированное пространство называется банаховым.

Примеры:

1) - n мерное евклидово пространство, банохово пространство с нормой , где ;

2) C[0,1] - пространство непрерывных на [0,1] функций с нормой , отвечающий равномерной сходимости, поэтому С[0,1] также банохово пространство.

Определение 6. Линейное многообразие L линейного нормированного пространства X называется подпространством, если множество L замкнуто относительно сходимости по норме.

Отметим, что из при следует , так как в частности, если последовательность - ограниченная числовая последовательность.

Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть L - подпространство линейного пространства X, . Тогда для любого существует элемент , и такой, что

||x-y||>1/e для .

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент и обозначим . Тогда d > 0, ибо если d = 0, то и (в силу замкнутости L), что невозможно. Для любого существует такой, что . Положим ; , так как в противном случае , что невозможно, . Далее, . Теорема доказана.

19. Линейные операторы и их свойства. Теорема о полноте пространства линейных ограниченных операторов.

Пусть X и Y – линейные нормированные пространства над полем действительных или полем комплексных чисел.

Определение 1. Отображение A:X Y (y = Ax), то есть оператор А, определяемый на X с областью значений в Y, называется линейным оператором, если для любых элементов , X и любого числа λ справедливы равенства:

а) A( + ) = A + A ,

б) А(λ )= λА

Определение 2. Оператор A:X Y непрерывен в точке X если для любой последовательности , сходящейся к соответствующая последовательность образов сходится к элементу А , то есть для любого существует и такое, что как только выполняется неравенство будет выполняться неравенство

Теорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Х тогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке X.

Доказательство. Действительно, пусть x X – любая точка и . Тогда

и в виду непрерывности А в точке : А = = , то есть .

Примеры:

1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы.

2) X=C[0,1], ,

Определение 3. Оператор А называется ограниченным, если существует постоянная М такая, что оценка выполняется для всех x X.

Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства X в ограниченное множество пространства Y.

Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы А был ограничен.

Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен. Тогда существует последовательность , для членов которой выполняется неравенство . Положим , ,так как . Но , то есть не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор А не является непрерывным.

Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть . Если , или при , то из неравенства следует , значит А – непрерывен.

Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию для линейного ограниченного оператора А называется нормой оператора А и обозначается . Другими словами .

Теорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банахово пространство (полное линейное нормированное пространство), то пространство также будет полным, то есть банаховым.

Доказательство. Пусть последовательность операторов фундаментальна в L(X Y), , n, , следовательно, , n, ,а, значит последовательность фундаментальная, то есть ограниченная: для всех номеров n. Отсюда и , что и означает ограниченность оператора А. Докажем формулу в смысле . Действительно, для любого существует такой, что при всех и любом натуральном p для всех х Х, , выполняется неравенство , переходя пределе при , получим для любого и любого х Х, . Но тогда , то есть в смысле сходимости по норме пространства L(X Y). Теорема доказана.

Следствие. Пространство , сопряженное к линейному нормированному пространству - банахово, так как - банахово пространство

20. Теорема Банаха-Штейнгауза и следствие из нее Пример из теории рядов Фурье на применение теоремы Б-Ш.

Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномерной ограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства. Если и последовательность ограничена для любого, то найдется постоянная С такая, что , то есть числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Предположим, что последовательность неограниченна, тогда множество неограниченно на любом замкнутом шаре , , . В самом деле, если бы неравенство выполнялось для всех номеров и всех , то, взяв, любой элемент , мы получим элемент . Для этого элемента , или , следовательно, и , что противоречит предложению.

Если теперь - любой замкнутый шар, то на нем множество неограниченно. Тогда существуют номер и элемент такие, что . В силу непрерывности оператора неравенство выполняется и в некотором шаре . На множество также неограниченно и существуют номер и элемент такие, что и по непрерывности оператора это неравенство выполнено в некотором замкнутом шаре и так далее. Можно считать, что и . Тогда по теореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка для всех номеров . В этой точке , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)