Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Определение 2. Линейный оператор , действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство , называется вполне непрерывным (компактным), если он всякое ограниченное множество переводит в компактное.

Любой ограниченный оператор переводит ограниченное множество в ограниченное и компактное в компактное. Вполне непрерывный оператор является ограниченным, а любой ограниченный оператор в конечномерном пространстве – компактным. В бесконечномерном пространстве единичный (тождественный) оператор – ограничен, но не компактен.

Теорема 1 (критерий компактности в ). Для того, чтобы множество было компактным в необходимо и достаточно выполнение условий:

1. множество - равномерно ограничено в , то есть существует постоянная такая, что для любой функции ;

2. множество - равностепенно непрерывно в , то есть для любого найдётся и такое, что как только , , будет выполняться неравенство для любой функции .

Теорема 2 (критерий компактности в ). Для того чтобы множество , , , было компактно в необходимо и достаточно, чтобы это множество было равномерно ограничено в и равностепенно непрерывно в .

34. Первая теорема Фредгольма.

Лемма 1. Многообразие ImL – замкнуто, где ImL={y H: y=Lx}.

Доказательство. Докажем, что , то есть, если y_n ImL и , то y ImL. По условию y_n=Lx_n=x_n-Ax_n y. Будем считать, что , ибо в противном случае перейдем к x_n-Px_n, где P – ортопроектор на KerL, причем L(Px_n)=0. Покажем, что . Если это не так, то существует подпоследовательность последовательности {X_n}: . По условию , значит , что приводит к соотношению . Так как А – вполне непрерывный оператор, а последовательность ограничена, то существует подпоследовательность последовательности такая, что последовательность сходится. Но когда сходится и последовательность {z_n}, где . Пусть и в силу имеет место . С другой стороны и из сходимости следует при , то есть Lz=0 и, значит, z KerL. Однако все , поэтому , или элемент z ортоганален самому себе. Это возможно только если z=0 и мы получили противоречие с равенством . Итак, , а поэтому существует сходящаяся подпоследовательность . Отсюда следует сходимость подпоследовательности , причем . В пределе получим Lx=y, то есть y ImL. Теорема доказана.

Лемма 2. , .

Непосредственным следствием леммы 2 является следующая

Теорема 1 (1-я теорема Фредгольма). Уравнение Lx=f разрешимо тогда и только тогда, когда , то есть элемент f ортоганален любому решению уравнения L*y=0.

Для любого натурального числа k положим H^k=ImL^k, в частности, H⁰=H=ImL⁰, где L⁰=I, H¹=ImL и так далее. По лемме 1 все H^k – замкнуты и очевидно , причем L(H^k)=H^k+1.

Лемма 3. Существует номер j такой, что H^k+1=H^k при всех .

Доказательство. Если это не так, то все подпространства H^k различны, поэтому по теореме Леви можно построить ортонормированную систему {x_k} так, что x_k H^k и . Пусть l>k: Ax_l-Ax_k=-x_k+(x_l+Lx_k-Lx_l). Выражение в скобках принадлежит H^k+1 и , поэтому , то есть из последовательности {Ax_k} нельзя выделить сильно сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А.

35. Вторая теорема Фредгольма.

Лемма 4. Если KerL=0, то ImL=H. Если KerL*=0, то ImL*=H.

Доказательство. Если KerL=0, то оператор L отображает H на Н взаимно однозначно, а при ImL≠H цепочка H^k состоит из различных подпространств. По лемме 3 их конечное число, то есть если x₀ H\H¹ и номер k такой, что H^k=^Hk+1, тогда L^kx₀ H^k и существует y H: L^kx₀=L^k+1y, или L(L^k-1x₀-L^ky)=0. Так как KerL=0, то L^k-1x₀=L^ky и так далее. В итоге получим x₀=Ly, что означает x₀ H¹. Полученное противоречие доказывает равенство ImL=H. Аналогично устанавливается соотношение ImL*=H, если KerL*=0. Лемма доказана.

Лемма 5. Если ImL=H, то KerL=0.

Так как ImL=H, то по лемме 2 KerL*=0, но тогда по лемме 4 ImL*=H. Снова применяя лемму 2, получим KerL=0.

Из лемм 4 и 5 непосредственно следует

Теорема 2 (2-я теорема Фредгольма или альтернатива Фредгольма). Либо уравнение Lx=f имеет единственное решение при любой правой части f H, либо уравнение Lx=0 имеет ненулевое решение.

36. Третья теорема Фредгольма.

Теорема 3 (3-я теорема Фредгольма). Однородные уравнения Lx=0 и L*y=0 имеют одно и то же и при том конечное число линейно независимых решений.

Доказательство. Пусть . Если , то в подпространстве KerL существует счетная ортонормированная система {x_k}. Из Lx_k=0 следует равенство Ax_k=x_k, причем при l≠k: , то есть из последовательности {Ax_k} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А. Таким образом .

Докажем равенство . Пусть и – ортонормированные базисы соответственно в KerL и KerL*. От противного, предположим . Получим .

Так как оператор S получается сложением оператора L и конечномерного оператора, то все результаты для оператора L справедливы и для S. Покажем, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение. Итак, . По лемме 2 , значит для всех . Поэтому Lx=0, то есть x KerL и одновременно , следовательно x=0.

Из утверждения о том, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение по 2-ой теореме Фредгольма следует существование элемента y, для каждого справедливо равенство .

Умножая это равенство скалярно на , получим слева 0, а справа 1, ибо Ly ImL, а . Противоречие означает, что . Заменив теперь в наших рассуждениях L на L*, докажем неравенство . Таким образом и теорема доказана.

37. Понятие о спектре линейного оператора в бесконечномерных пространствах. Теорема Гильберта-Шмидта.

Пусть X – банахово пространство над полем комплексных чисел. Оператор , то есть линейный ограниченный оператор, действующий из X в X.

Определение 1. Резольвентное множество оператора A есть множество комплексных чисел , для которых существует - ограниченный оператор, определенный на всем X. Спектром оператора A называется дополнение к множеству на комплексной плоскости, то есть .

Определение 2. Операторнозначная функция , определенная на множестве , называется резольвентой оператора A, а называется регулярным значением оператора A.

Таким образом, - регулярно, если:

1. ;

2. ;

3. .

Определение 3. Комплексное число называется собственным значением оператора A, если , а любой не равный нулю элемент называется собственным элементом, отвечающим собственному значению .

Теорема 1. Резольвентное множество - открыто.

Доказательство. Пусть - фиксированное число из , а - любое комплексное число такое, что . Покажем, что . Введем в рассмотрение оператор .

Так как по условию , то ряд сходится сильно (по норме в ). Далее, , то есть - ограниченный оператор и . Теорема доказана.

Следствие. Спектр - замкнут.

Теорема 2. Пусть X - банахово бесконечномерное пространство и A – вполне непрерывный оператор в нем. Тогда , то есть не является регулярным значением.

Если бы , то оператор A имел бы ограниченный обратный оператор и оператор являлся вполне непрерывным, что невозможно.

Теорема 3 (теорема Гильберта-Шмидта). Пусть - вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда любой элемент представим в виде ряда Фурье

по собственным элементам оператора A, образующим ортонормированную систему.

Замечание. Для всякого самосопряженного вполне непрерывного оператора A в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис пространства H, состоящий из собственных векторов этого оператора. Для этого достаточно систему из теоремы 3 дополнить произвольным ортонормированным базисом из .

44. Три теоремы Фредгольма

Теорема I. Неоднородное уравнение Lx = f разрешимо  правая часть f ортогональна любому решению неоднородного уравнения Lx = 0, т.е. f  Ker(L).

Теорема II (альтернавтива Фредгольма). Либо неоднородное уравнение имеет единственное решение при любой правой части, либо однородное уравнение имеет ненулевое решение.

Теорема III. Однородное уравнение Lx = 0 и сопряженное однородное уравнение L^*y = 0 имеют одинаковое и конечное число линейно независимых решений.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)