Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Норма в пространстве Lp(E) вводится по формуле .

Если , то f(x) ~ 0, поэтому в этом пространстве элементы считаются равными, если они эквивалентны. Остается проверить аксиому треугольника для таким образом введенной нормы. В случаи = 1 это очевидно, в случаи p > 1 сначала докажем неравенство Гельдера, а затем неравенство Минковского.

Если p > 1, число q связано с числом p по формуле

, то функция f(x)g(x) суммируема на E и справедливо неравенство Гельдера. .

Для доказательства введем в рассмотрение на множестве x > 0 функцию . Производная функции больше нуля при и меньше нуля при x > 1. Следовательно, функция достигает максимума при x = 1. Запишем неравенство в виде и положим , где . Получим соотношение , справедливо для всех чисел . Если , то ; В результате выведем неравенство Юнга .

В случаях f(x) ~ 0 или g(x) ~ 0 неравенство Гельдера очевидно. Пусть f(x) 0, g(x) 0, положим . В результате неравенство Юнга примет вид .

Правая часть соотношения суммируема на множестве E, поэтому в силу мажорантного признака суммируема на E и левая часть, то есть функция f(x)g(x). Интеграл от функции, стоящий в скобках в правой части, равен единице. В итоге неравенство Гельдера доказано.

Если , то функция суммируема на множестве E и справедливо неравенство Минковского .

14. Полнота пространства Lp.

Последовательность { } элементов нормированного пространства называется фундаментальной, если числовая последовательность стремится к нулю при . Последовательность { } элементов нормированного пространства называется сходящейся, если в этом пространстве существует элемент f такой, что .

Определение 2. Нормированное пространство называется полным(банаховым), ели любая

фундаментальная последовательность в этом пространстве является сходящийся.

Теорема 1. Пространство Lp(E), , является полным(банаховым)

пространством.

Доказательство. Пусть - произвольная фундаментальная последовательность в Lp(E). Для любого натурального числа k существует номер такой, что для всех выполняется неравенство . Можно считать, что , тогда . В силу неравенства Гельдера:

.

Из этого соответствия следует оценка

, которая по теореме 8(Б.Леви) из §4 гарантирует сходимость почти всюду на E ряду и тем более ряда

. Но это означает, что какая то частичная сумма этого ряда, равна сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x). Далее, для любы существует номер N такой, что для всех номеров выполняется неравенство , а поскольку последовательность сходится почти всюду на E к функции при , то по теореме 9(Фату) из §4 и выполняется неравенство для всех . Отсюда в силу неравенства Минковского следует принадлежность функции f(x) пространству Lp(E) и сходимость последовательности { (x)} к функции f(x) в метрике Lp(E). Теорема доказана.

Измеримая функция F(x) на измеримом множестве E называется простой, если она принимает f(x) = , если , причем может быть равным . Характеристической функцией множества E называется функция .

Очевидно, что всякая простая функция f(x) имеет вид ,причем в этой сумме при каждом x отличном от нуля лишь одно слагаемое. Ясно, что функция измерима тогда и только тогда, когда множество E-измеримо.

Лемма 1. Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существует неубывающая последовательность простых неотрицательных функций таких, что в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная на множестве конечных значений функции f(x).

Доказательство. Введем в рассмотрение множество ,

n = 1,2,…, k =0,1,2,…, . Ясно, что при любом натуральном n множество E представимо в виде объединения попарно не пересекающихся множеств . Определим следующим образом: , если , если на . При переходе от n к (n+1) множество , так как . На множестве выполняется равенство , а на . Кроме этого справедливо соответствие для всех точек . Лемма доказана.

Следствие. Последовательность , в которой функции определяются по формуле обладает свойством: для любой точки , , по равномерной сходимости на может и не быть.

15. Плотность множества непрерывных функций в Lp. Непрерывность в метрике Lp.

Лемма 1. Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существует неубывающая последовательность простых неотрицательных функций таких, что в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная на множестве конечных значений функции f(x).

Теорема 2. Пусть E-ограниченное измеримое множество, . Тогда пространство непрерывных на E функций С(E) плотно в Lp(E).

Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции и для любого числа найдется непрерывная на E функция такая, что . Так как , то теорему достаточно доказать для случая . Принадлежность f(x) классу Lp(E) означает, что функция f(x) почти всюду конечна на E и множеством можно пренебречь. В силу следствия к лемме 1 существует неубывающая последовательность простых неотрицательных функций превращающих каждое число значение такое, что . Поэтому согласно теореме 8(Б. Леви) из §4 для любого найдется номер N такой, что для всех выполняется равенство . Таким образом достаточно установить существование функции удовлетворяющий для любого неравенству

, для -произвольная простая функция, принимающая конечное число значений.

Для каждого множества существует, содержащийся в нем замкнутое множества , и такое, что , где -любое положительное число. При этом выполняется соотношение . Обозначим через -функцию расстояния от точки до множества . Ясно, что функция является непрерывной на E. Характеристическую функцию множества можно представить в виде где . Последовательность не возрастает с номером n, причем справедливо соотношение , и в силу теоремы 8(Б. Леви) из §4 будет

выполнятся неравенство , если n - велико. Заметим, что все непрерывны на E и даже во всем .

Далее, определим функцию справедливо цепочка неравенств: , поэтому достаточно выбрать из неравенства . Теорема доказана.

Теорема 3. (Непрерывность в метрике Lp). Пусть E - ограниченное измеримое множеств, . Тогда любая функция непрерывна в метрике Lp, то есть для любого найдется число такое, что справедливо неравенство , ели , а функция f(x) считается продолженной нулем на все пространство .

Доказательство.Пусть множество E содержится в шаре радиуса R с центром в точке x = 0. обозначим и воспользуемся теоремой 2.Тогда для любого существует и даже по замечанию в тексте доказательства такая, что . Пусть ,тогда при тоже и справедлива цепочка неравенств: . Неравенство при достаточно малых значениях h имеет место в силу равномерной непрерывности непрерывной на функции . Теорема доказана.

16. Метрические пространства. Теорема о вложенных шарах.

Определение 1. Множество M называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлены в соответствия неотрицательное число , удовлетворяющее условиям:

1) = 0 тогда и только тогда, когда x = y(аксиома тождества);

2) = (аксиома симметрии);

3) (аксиома треугольника).

Число называется расстоянием между элементами x и y, а перечисленные три условия - аксиомами метрики. Любое множество можно сделать метрическим пространством, если ввести метрику по закону: = 0, если x = y, = 1, если .

Определение 2. последовательность элементов метрического множества M называется фундаментальной, если = 0. Последовательность элементов метрического множества M называется сходящейся, если существует и такой, что = 0. Если последовательность точек множества пространства M сходится к точке , то и любая подпоследовательность последовательности сходится к этой же точке. Фиксируем произвольное число . Ели для , то и для .

Последовательность точек метрического пространства M может сходиться не более, чем к одному пределу. Пусть ,xn->y. Тогда

при любом для достаточно больших номеров n, но это возможно лишь в случае = 0, то есть x = y.

Пусть дано множество X метрического пространства M. Точка называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точке а содержит хотя бы одну точку множества X \ {a}, то есть для любого r. Множество, полученное присоединением к X всех его придельных точек, называется замыканием множества X и обозначается . Множество X называется замкнутым, если X = . Множество Y называется открытым, если его дополнение M \ Y замкнуто. Множество X называется всюду плотным в пространстве M, если = M. Множество X называется нигде не плотным в пространстве M, если каждый шар этого пространства содержит в себе шар, свободный от точек множества X.

Определение 3. Если в метрическом пространстве M каждая фундаментальная последовательность является сходящейся, то пространство M называется полным.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)