Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Причём срезка - ограничена. В силу теоремы 1 из п.1 этого параграфа существует интеграл .

Определение 2. Если при существует , то называется суммируемой на множестве E, а этот предел называется интегралом от на и обозначается .

Теорема 3 (полная аддитивность интервала Лебега). Пусть , , , , все множества - измеримы. Тогда 1) если и суммируема на , то суммируема на , причем

; (*)

2) если , суммируема на всех множествах и ряд в формуле (*) сходится, то суммируема на и справедливо равенство (*).

Доказательство: Сначала докажем утверждения (1) и (2) для неотрицательной ограниченной функции . Пусть . Положим ; при и , т.е. случай ограниченной функции рассмотрен.

Пусть - любая суммируемая и неограниченная функция на множестве Е. В силу неравенства следует суммируемость на . Остается доказать равенство (*). Из неравенства вытекает оценка (в силу справедливости теоремы для случая ограниченной функции)

. (**)

Переходя здесь к пределу при , получим . С другой стороны, для любого натурального числа m . Устремив , а затем , получим , что и доказывает справедливость равенства (*). Для доказательства утверждения 2) достаточно обосновать суммируемости на , ибо формула (*) уже доказана. Но суммируемость функции на сразу следует из неравенства (**) и из сходимости ряда в правой части.

Теорема 4 (абсолютная непрерывность интервала Лебега). Если и суммируема на , , то для любого существует такое, что каково бы ни было измеримое подмножество с мерой справедливо неравенство .

Доказательство: Так как - суммируема на , то для любого существует число N, при котором выполняется неравенство . Поэтому, в силу справедливы соотношения при .

Теорема 6 ( мажорантный признак). Если - измерима на , , - суммируема на и, если всюду на выполняется неравенство , то - суммируема на и справедлива оценка . Не а, а x

Доказательство: Справедливость теоремы следует из соотношения

Не а, а x .

10. Интеграл Лебега от неограниченной функции любого знака. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Пусть , - измеримая функция на . Введём в рассмотрение две функции и , которые также измеримы на . Справедливы равенства , .

Определение 3. Измеримая функция называется суммируемой на , , если на суммируемы обе неотрицательные функции и . При этом интегралом Лебега от называется разность .

Таким образом для интеграла Лебега (в отличие от несобственного интеграла Римана второго рода) суммируемость эквивалентна суммируемости функции .

Замечание. Теорема 3 о полной аддитивности интеграла Лебега справедлива и в случае произвольных суммируемых функций с изменением: во втором

утверждении надо требовать сходимость ряда . Теорема 4 об абсолютной непрерывности интеграла верна, причём здесь утверждается выполнение неравенства .

Определение 4. Совокупность всех суммируемых на измеримом множестве функций обозначается . Говорят, что последовательность сходится в (сходится в среднем) к , если .

Имеет место равенство так как . Если сходится в к , то эта последовательность сходится к и по мере на . Для любого обозначим . Тогда и, значит, при . Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Пусть . Тогда по мере, но . Однако, при дополнительном условии из сходимости по мере следует и сходимость в среднем.

Теорема(Лебега пр перех). Если последовательность {fn} на А сходится к f

и при всех n |fn(x)|≤φ(x), где φ интегрируема на А, то предельная функция f интегрируема на А и ∫(A) fn(x) d→∫(A) f(x) d.

11. Свойства интеграла Лебега. Теорема Леви и следствие ее для рядов.Интегрируемость по Лебегу измеримой и
ограниченной функции

Пусть , - измеримая функция на . Введём в рассмотрение две функции и , которые также измеримы на . Справедливы равенства , .

Определение 3. Измеримая функция называется суммируемой на , , если на суммируемы обе неотрицательные функции и . При этом интегралом Лебега от называется разность .

Теорема 3 (полная аддитивность интервала Лебега). Пусть , , , , все множества - измеримы. Тогда 1) если и суммируема на , то суммируема на , причем

; (*)

2) если , суммируема на всех множествах и ряд в формуле (*) сходится, то суммируема на и справедливо равенство (*).

Теорема 4 (абсолютная непрерывность интервала Лебега). Если и суммируема на , , то для любого существует такое, что каково бы ни было измеримое подмножество с мерой справедливо неравенство .

Теорема 8 (теорема Леви). Пусть - суммируемые на множестве функции, , и пусть для любого натурального числа n выполняется неравенство для почти всех . Если существует постоянная M такая, что для любого натурального числа n выполняется неравенство , то последовательность сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x), причем и .

Доказательство: Не ограничивая общности, считаем: почти всюду на E ( ). Так как не убывает почти всюду на E, то для почти всех определена предельная функция , которая в этих точках принимает конечные или бесконечные значения. Если мы докажем, что суммируема на E, то из этого будет следовать, что - почти всюду конечна на E и по мере на E и в силу теорему 5 из §3. Отсюда в силу неравенства почти всюду на E и теоремы 7 получим равенство . Таким образом, достаточно доказать суммируемость функции f(x) на множестве E.

Для любого N>0 последовательность сходится к почти всюду на E, причем ограниченная функция суммируема на E и для почти всех выполняется неравенство . Применяя

теорему 7, получим . Отсюда и из неравенства следует, что , а так как для всех , то и . Из последнего неравенства и из неубывания интеграла в нём по вытекает существование предела , что и означает суммируемость на .

Следствие (для функциональных рядов). Если все функции почти всюду на , суммируемы на и если сходится ряд , то почти всюду на сходит ряд , причем сумма ряда суммируема на и , т.е. ряд можно интегрировать почленно. Здесь в качестве берем частичную сумму .

Теорема 9 (Теорема Фату). Если последовательность измеримых и суммируемых на , , сходится почти всюду на к функции и если существует постоянная А такая, что для всех номеров n выполняется неравенство . То функция суммируема на и справедливо неравенство .

Доказательство. Положим функции измеримы на по теореме 3 из §3, последовательность не убывает и сходится к почти всюду на . Кроме того , поэтому в силу мажорантного признака каждая функция - суммируема на . Применяя к последовательности теорему , получим, что - суммируема на . Из последнего соотношения получается и неравенство . Теорема доказана.

Теорема 10 (теорема Лебега). Для того, чтобы ограниченная на , функция являлась интегрируемой по Лебегу на необходимо и достаточно, чтобы была измерима на .

Доказательство: Достаточность доказана в теореме 2, докажем необходимость. Пусть ограничена и интегрируема на , то есть , следовательно, существует последовательность разбиений множества такая, что соответствующие подпоследовательности верхних и нижних сумм и удовлетворяют условию , причём каждое разбиение является измельчением разбиения . По определению , где и – точные грани на функции . Введём в рассмотрение фундаментальные последовательности и положив на , на .

Ясно, что функции и – измеримы на , причём последовательность не убывает, а – не возрастает. Также выполняется двустороннее неравенство .

Положим и .

По теореме 8: .

Из определений и вытекает равенство

. Из последних двух соотношений получаем и, так как по теореме 5, почти всюду на , а, значит, и почти всюду на . В силу измеримости функций и , измерима и функция . Теорема доказана.

12. Теорема Фубини. Интеграл Лебега для множества бесконечной меры.

Определение. Множество Z упорядоченных конечных последовательностей (x1,...,xn)

xk принадлежит Xk называется прямым произведением множеств X1,...,Xn

Теорема Фубини. Пусть меры x и y, определены на σ-флгебрах,σ-аддитивны и полны;пусть далее, =х X у и функция f(x,y) интегрируема по мере  на множестве

А С X x Y.

Тогда ∫(A)f(x,y)d=∫(X) (∫(Ax)f(x,y)dy) dx=∫(Y) (∫(Ay)f(x,y)dx) dy

Определение.(Интеграл Лебега на мн-ве бескон меры) Исчерпывающая последовательность- монотонно возрастающая последовательность {Xn}измримых подмножеств X такая что X=U Xn, (Xn)<∞.

Измеримая ф-я f, определенная на мн-ве X с σ-конечной мерой , называется суммируемой на X, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве ACX

Конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности {Xn} предел

lim(n->∞) ∫(Xn) f(x) d существует и не зависит от выбора этой последовательности.

13. Классы Lp,p>1. Неравенства Гёльдера и Минковского.

Пусть E - измеримое множество, число p 1

Определение 1. Множество всех измеримых на E функций f(x), для которых функции

суммируемы на E, называется пространством Lp(E).

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)