Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определение 3. Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду на множестве E, если оно не выполняется на подмножестве множества E меры нуль.

Если функция f(x) непрерывна почти всюду на измеримом множестве E, то f(x) измерима на E. Если f(x) непрерывна на замкнутом множестве F, то f(x) измерима на F, ибо множество замкнуто при любом действительном числе a, и значит, измеримо.

Теорема 1. Если функция f(x) измерима на , то |f(x)| также измерима на нём. Если , то и измеримы на . Если и измеримы на , то и множество – измеримо.

Доказательство. Пусть , тогда и по теореме 2 из §2 это множество измеримо. Если , то Для любого a имеем соотношение и

При произведение на . Наконец, пусть - последовательность всех рациональных чисел. Тогда

.

Теорема 2. Если функции и измеримы на измеримом множестве , то и функции и измеримы на .

Доказательство. - измеримо по теореме 1;

, а квадрат измеримой функции измерим – доказательство как и для модуля ;

так как

то функция - измерима, а значит и - измерима.

Теорема 3. Если – последовательность измеримых на функций, то нижний и верхний пределы этой последовательности – измеримы на (ограниченность функций не предполагается).

Доказательство. Заметим, что и измеримы на . В самом деле, , и в силу теоремы 2 из §2 и – измеримы. Пусть и – верхний и нижний пределы последовательности . Поскольку , , то, по доказанному выше, они измеримы.

Теорема 4. Если - последовательность измеримых на функций, сходится почти всюду на к функции , то измерима на .

Доказательство. Если сходится к всюду на , то теорема 4 есть следствие теоремы 3. Если сходится к всюду на кроме множества ₀ меры нуль, то измерима на по теореме 3 и измерима на как на множестве меры нуль. Следовательно, измерима и на .

5. Измеримость предела сходящейся почти всюду последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Связь между сходимостью по мере и сходимостью почти всюду.

Определение 4. Пусть функции , , и измеримы на и принимают почти всюду на конечные значения. Говорят, что последовательность сходится к по мере на , если для любого выполняется , т.е. для любого и любого существует номер такой, что для всех номеров справедливо равенство .

Теорема 4. Если - последовательность измеримых на функций, сходится почти всюду на к функции , то измерима на .

Доказательство. Если сходится к всюду на , то теорема 4 есть следствие теоремы 3. Если сходится к всюду на кроме множества ₀ меры нуль, то измерима на по теореме 3 и измерима на как на множестве меры нуль. Следовательно, измерима и на .

Теорема 5 (теорема Лебега). Пусть - измеримое множество конечной меры и пусть функции и измеримы на и почти всюду конечно. Тогда из сходимости последовательности к почти всюду на следует сходимость к по мере.

Доказательство. Положим , , , . Тогда по условию теоремы и всюду вне C последовательность при и все функции и принимают конечные значения. Для любого положим , . Так как , то и для доказательства теоремы достаточно доказать, что при . Обозначим и покажем, что при . По построению для любого номера n и поэтому , причём множества под знаком объединения не пересекаются. Тогда по теореме 7 из §2: и в силу сходимости ряда его остаток стремится к нулю при , т.е. и из равенства следует . Для доказательств а теоремы достаточно показать , а для этого достаточно доказать, что .

Пусть -любая точка и . Тогда для любого существует такой, что при , т.е. при точка , а, значит, и . Вложение установлено, а поэтому и доказана теорема.

6. теорема Рисса.Эквивалентность функций являющихся пределами по мере одной последовательности измеримых функций.

Теорема 6 (теорема Рисса). Пусть - измеримое множество конечной меры и пусть функции и - измеримы и почти всюду конечны на , то из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к почти всюду на .

Доказательство. Не ограничивая общности считаем, что и принимают конечные значения всюду на (в противном случае, как и в теореме 5 рассмотрим множество ). Так как по мере на , то для любого номера найдётся номер такой, что

для меры множества выполняется неравенство . Положим как и в теореме 5 , . Тогда в силу свойств внешней меры: при . Далее, как и в теореме 5 докажем, что при , т.е. . Остаётся доказать сходимость при всюду вне множества . Пусть - любая точка множества , тогда при некотором . Но это значит, что при , т.е. при . Следовательно, последовательность и теорема доказана.

Теорема 7. Пусть - множество конечной меры и пусть функции , и почти всюду конечны. Тогда, если и по мере одновременно, то .

Доказательство. Очевидно, что при любом выполняется включение , отсюда при мера правой части, а, значит, и левой стремится к нулю, т.е. для любого . В итоге на , ибо , а мера правой части равна нулю.

Теорема 8 (теорема Егорова). Пусть E – измеримое множество конечной меры и пусть f_n(x) и f(x) измеримы, почти всюду конечны на E, а последовательность {f_n(x)} сходится почти всюду к f(x) на E. Тогда для любого существует измеримое множество такое, что , на последовательность {f_n(x)} сходится к f(x) равномерно.

Теорема 9 (теорема Лузина). Пусть f(x) – измерима и почти всюду конечна на измеримом множестве E. Тогда для любого существует непрерывная функция (x) такая, что . Если, в частности, , то и .

Теорема. Предел f(x) сходящейся при каждом xX последовательности f_n(x) измеримых функций измерим.

8. Свойства интеграла Лебега от ограниченной функции.

Пусть – измеримое множество и . Назовём разбиением Е любое семейство конечного числа измеримых, попарно не пересекающихся множеств и таких, что .

Пусть - произвольная ограниченная на множестве функция. Для любого разбиения обозначим и рассмотрим суммы , которые называются верхней и нижней суммами Лебега разбиения . Ясно, что и эти суммы ограничены. Поэтому существуют и , называемые верхним и нижним интегралами Лебега функции соответственно.

Определение 1. Ограниченная на множестве конечной меры функция называется интегрируемой (по Лебегу) на , если , т.е. её верхний и нижний интеграл Лебега совпадают. Общее значение называется интегралом Лебега от по множеству и обозначается .

Теорема 1. Всякая интегрируемая по Риману функция является интегрируемой по Лебегу, причём её интегралы Римана и Лебега совпадают.

Доказательство: Пусть интегрируема по Риману на , а, значит, является ограниченной. Тогда, поскольку любое разбиение отрезка на частичные сегменты (по Риману) включается в класс разбиений множества (по Лебегу), имеют место неравенства: . Так как интегрируема по Риману, то , откуда следует равенство , то есть интегрируема по Лебегу и интегралы Римана и Лебега совпадают.

Теорема 2. Всякая ограниченная и измеримая на измеримом множестве конечной меры функция интегрируема на нём по Лебегу.

Доказательство: Построим специальное лебеговское разбиение множества . Пусть . Разобьём отрезок точками и положим .

Лебеговским разбиением множества назовём разбиение .

Все множества измеримы, так как функция измерима. Пусть – нижняя и верхние суммы, отвечающие разбиению . Для любого номера k имеют место неравенства , где . Умножая это тройное неравенство на и суммируя по k, получим . Отсюда , а так как для любого разбиения : , то . Из последней оценки в силу возможности выбора произвольного положительного числа получаем равенство . Теорема доказана.

I. Если на , то .

II. Если ограничена, интегрируема на , , и любое действительное число, то функция также интегрируема на и .

III. Если функции и ограничены и интегрируемы на , , то их сумма интегрируема на множестве и . Из свойств II и III вытекает линейное свойство интеграла Лебега: .

IV. Если ограничена и интегрируема на каждом из непересекающихся множеств конечной меры и , то интегрируема и на и . Это утверждение следует из того, что любое разбиение T множества E распадается на разбиение и для множеств и , а объединение любых двух разбиений множеств и является разбиение множества .

V. Если функции и ограничены и интегрируемы на , , и всюду (почти всюду) на , то . Так как все нижние суммы функции неотрицательные, то .

9. Свойства интеграла Лебега от неограниченной и неотрицательной функции. Полная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Мажорантный признак суммируемости.

Пусть всюду на E, , - измерима и, возможно, неограничена. Для любого числа положим - срезка функции . Функция также измерима на :

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)