Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

,

ибо в противном случае и элементы и - линейно зависимы, что невозможно. Пусть уже построены, вводим элемент

и подберем числа так, чтобы . Для этого надо взять ; полагаем

и так далее.

Если совокупность степеней ортогонализировать в пространстве с весом , то есть в пространстве со скалярным произведением

,

мы придем к системе полиномов. При получим полиномы Лежандра; при получим полиномы Чебышева – Эрмита, при получим полиномы Чебышева – Лагерра

Пусть L – подпространство, порожденное ортонормированной системой и . где - коэффициенты Фурье элемента x

В силу равенства имеем (неравенство Бесселя).

Определение 5. Ортонормированная в H система называется полной, если в H не существует никакого элемента кроме нуля, ортогонального каждому члену системы . Система называется замкнутой, если подпространство L, порожденное этой системой, совпадает с H.

Определение 6. Замкнутая ортонормированная система называется ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве H.

Легко проверяется справедливость следующих двух утверждений. В гильбертовом пространстве H полнота и замкнутость ортонормированной системы совпадают. Любая ортонормированная система в гильбертовом пространстве слабо сходится к нулю.

Лемма 1. Пусть Х – банахово пространство. Если последовательность элементов x_n X сходится слабо к элементу x₀ X, то x_n x₀ сильно.

Доказательство. Пусть это не так: тогда существует и последовательность номеров nk такие, что . Так как компактна, то она содержит последовательность элементов , которая сходится сильно к некоторому элементу y₀ X. Тем более последовательность сходится слабо к x₀ и поэтому x₀=y₀. Итак имеем и при , что невозможно. Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть X и Y – баноховы пространства. Любой вполне непрерывный оператор А, действующий из X в Y, переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в X в сильно сходящуюся в Y.

Доказательство. Пусть слабо, тогда и, значит, {Ax_n}-компактна. Кроме того, слабо в Y, так как, взяв произвольный функционал φ Y*, получим φ(Ax_n)=f(x_n), где f X*, φ(Ax₀)=f(x₀). Из слабой сходимости {x_n} к x₀ следует , или . Таким образом, последовательность {Ax_n} сходится слабо к Ax₀. По лемме 1 эта последовательность сходится сильно к Ax₀. Теорема доказана.

Если оператор А – вполне непрерывен, а В – ограничен, то операторы АВ и ВА – вполне непрерывные.

Теорема 4. Если А – вполне непрерывный оператор, действующий из гильбертова пространства Н в Н, то оператор А* также вполне непрерывен.

Доказательство. Пусть слабо. Докажем, что сильно. Действительно, =(A*(x_n-x₀),A*(x_n-x₀))=(x_n-x₀,AA*(x_n-x₀)) , так как , АА* - вполне непрерывен и по теореме 4 сильно. Поскольку любое в Н ограниченное множество – слабо компактно, то оператор А* переводит ограниченное множество в компактное, то есть является вполне непрерывным.

30. Теорема о существовании ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Теорема об изоморфизме и изометрии всех гильбертовых пространств.

Теорема 4. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, то есть полная ортонормированная система.

Доказательство. Пусть G = { …} – счетное и всюду плотное в гильбертовом пространстве H множество =H ( ). Положим и обозначим через - подпространство, порожденное . Выберем - первый по счёту элемент, не принадлежащий и рассмотрим - его проекцию на Ө . Так как , то , а через обозначим подпространство, порождённое и . Пусть - первый по счёту за и его проекция на Ө . Так как , то и так далее. Получим ортонормированную систему { } и в силу того, что любой элемент по построению, то замыкание линейной оболочки системы { } совпадает с H, то есть эта система образует базис. Теорема доказана.

Теорема 5. Любое комплексное (вещественное) сепарабельное гильбертово пространство изоморфно и изометрично комплексному (вещественному) пространству , то есть все комплексные (вещественные) сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны и изометричны между собой.

Доказательство. Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и { } – ортонормированный базис в нём. Если x – любой элемент из H, то , и так как , то . Пусть , и - числа из поля. Ясно, что , , , следовательно отображение сохраняет линейную операцию и расстояние. Обратно, пусть . Рассмотрим в H последовательность . Так как при n,m , то последовательность { } – фундаментальная. В силу полноты H имеет место , а имея в виду , получаем для любого элемент , где - коэффициенты Фурье. Таким образом отображение взаимно однозначно, а из рассуждений выше следует, что оно изометрично и изоморфно. Теорема доказана.

31. Теорема Рисса- Фишера. Теорема о слабой компактности сепарабельного гильбертова пространства.

Теорема 6 (теорема Рисса-Фишера). Пространства и изоморфны и изометричны, причём , где .

Теорема 7. В сепарабельном гильбертовом пространстве H ограниченная последовательность { } содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть и так как Н – сепарабельно, то в нём существует ортонормированный базис { }. В силу по теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность { } для которой сходится. Так как то существует подпоследовательность { } для которой сходится и так далее. Возьмём диагональную последовательность { }, то есть последовательность, где элемент равен n-му члену подпоследовательности для базисного элемента . Для неё сходится при и также сходится , где - любая линейная комбинация из элементов ортонормированного базиса.

Докажем сходимость последовательности для любого элемента . Пусть - любое наперёд заданное число. Тогда существует линейная комбинация такая, что выполняется неравенство . Выберем номер N=N( ), для которого при всех n,m N выполняется неравенство . Тогда , тем самым сходимость последовательности доказана для любого .

Покажем, что существует слабый предел последовательности . Обозначим - линейный функционал на H. По теореме Рисса-Фреше , то есть , а, значит, - слабый предел для . Теорема доказана.

.

32. Сопряженный оператор. Теорема о сопряженном операторе. Теорема о прямой сумме замыкания образа линейного ограниченного оператора и ядра сопряженного.

Введём понятие сопряжённого оператора . Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, или y=Ax. Если - любой линейный функционал, определённый на Х: . Таким образом любому линейному функционалу ставится в соответствие линейный функционал , то есть построен оператор, определённый на со значениями в . Этот оператор обозначим и назовём сопряжённым: . Если записать значение функционала , то можно написать . Легко проверяется свойство сопряжённого оператора: если А и В – линейные ограниченные операторы, то .

Теорема 1. Пусть . Тогда существует , то есть - линейный ограниченный оператор, причём .

Доказательство. Из определения оператора следует цепочка соотношений , откуда сначала следует неравенство , а затем оценка . Далее, пусть - любой элемент пространства Х. По первому следствию из теоремы Хана-Банаха существует линейный функционал такой, что и . Тогда . Отсюда в силу произвольности элемента получаем оценку , а, затем, и равенство . Теорема доказана.

Оператор сопряжён к линейному непрерывному оператору , действующему в гильбертовом пространстве Н, если для любых элементов выполняется равенство .

Теорема 2. Если , - гильбертово пространство, то .

Доказательство. Так как - подпространство, то . По теореме 1 существует линейный ограниченный оператор . Покажем, что . Если , то и для любого справедливо равенство , то есть , при . Отсюда следует, что , а потому . Обратно , следовательно, , или даже . Значит для всех и из . Но , или полагая , получим , , то есть Теорема доказана.

33. Вполне непрерывный оператор.Пример интегрального вполне непрерывного оператора. Свойства вполне непрерывного оператора.

Определение 1. Множество линейного нормированного пространства называется компактным, если любая последовательность его элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)