Ответы на вопросы с доказательствами (1160007), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Следствие 1. Пусть X – линейное нормированное пространство, , . Тогда в X существует линейный функционал такой, что , .

Следствие 2. Пусть X – линейное нормированное пространство, . Тогда в X существует линейный функционал такой, что .

24. Общий вид линейного функционала в конкретных пространствах.

Обсудим вопрос об общем виде линейного функционала в различных нормировнных пространствах.

1) Если -конечномерное и - ортонормированный базис, то . Тогда любой линейный функционал однозначно определяется числами

2) Если -бесконечномерное пространство элементов таких, что . Пусть -ортонормированный базис , тогда , . Выясним свойства чисел . Рассмотрим последовательность элементов , где Справедливы соотношения , откуда в сиду произвольности числа n следует неравенство или . С другой стороны в сиду неравенства Гёльдера , или . Значит, , то есть . Заметим также, -рефлексивно.

3) Если . Можно показать, что -однозначно определяемая функция по функционалу , причём

4) Если . Справедлива теорема Рисса, в которой утверждается, что любой линейный функционал на имеет вид , где , - фиксированная функция с ограниченным изменением:

, где точная верхняя грань берётся по всевозможным разбиениям

.

25. Слабая сходимость. Связь между сильной и слабой сходимостью. Критерий сильной сходимости.

Теорема 2. Пусть -последовательность элементов из банахового пространства X такая, что последовательность ограничена для любого функционала . Тогда существует постоянная и такая, что , то есть последовательность ограничена в X.

Теорема 3. Пусть X – банахово пространство, , числовая последовательность ограничена в , то есть .

Определение 1. Последовательность элементов линейного нормированного пространства X называется слабо сходящейся к элементу , если для любого линейного функционала числовая последовательность сходится к .

В силу замечания к следствию 1 из теоремы 1 слабый предел единственен. Из теоремы 2 вытекает ограниченность слабо сходящейся последовательности.

Сильная сходимость влечёт за собой слабую сходимость, так как . Обратное неверно. Рассмотрим и последовательность элементов из , , единица стоит на месте с номером n, . Так как ряд сходится, то при и, значит, сходится к , или слабо. Однако, , и последоватеьность не фундаментальна.

Теорема 4. Последовательность линейного нормированного пространства X сходится сильно тогда и только тогда, когда последовательность сходится равномерно в единичном шаре .

Доказательство. Необходимость. Если сильно, то из неравенства следует равномерная сходимость в шаре .

Достаточность. Пусть последовательность сходится равномерно в шаре , то есть существует , что для всех и всех . Отсюда следует . Воспользуемся следствием 1 к теореме Хана-Банаха, обозначив . Мы имеем функционал или , причём выбор функционала зависит от разности . Итак, для всех , что и означает сильнуюсходимость к элементу x.

Теорема доказана.

.

26. Определение Гильбертова пространства и его основных свойств. Теорема об элементе с наименьшей нормой.

Определение 1. Гильбертовым пространством H называется множество элементов x, y, z, … со свойствами:

1) H – линейное пространство над полем действительных (комплексных) чисел;

2) каждой паре поставлено в соответствие действительное (комплексное) число , называемое скалярным произведением и удовлетворяющее условиям:

а). ,

б). ,

в). для любого ,

г). , причем тогда и только тогда, когда ,

- норма элемента x в H;

3). H – полное в метрике , то есть является банаховым пространством;

4). H – бесконечномерное, то есть для любого натурального числа существует линейно независимых элементов.

Комплексное пространство - гильбертово пространство, если скалярное произведение в нем ввести по формуле

,

где . Сходимость ряда следует из неравенства Коши-Буняковского. Аналогично, пространство - гильбертово пространство со скалярным произведением

.

Теорема 1. Замкнутое выпуклое множество W в гильбертовом пространстве H содержит элемент содержит элемент с наименьшей нормой, и причем только один.

Доказательство. Пусть и пусть - минимизирующая последовательность, то есть при . Так как W – выпукло, то , поэтому . Согласно равенству параллелограмма

при , ибо вычитаемая величина , а уменьшаемое стремится к . В силу того, что H – полное, а W – замкнуто, существует , причем , то есть - элемент с наименьшей нормой. Докажем единственность элемента : пусть - еще один элемент из W и такой, что . Тогда

.

Так как

,

то

, или .

Возвращаясь к равенству параллелограмма для и , имеем , то есть = . Теорема доказана.

27. Теорема Леви об ортогональной проекции. Разложение Гильбертова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

Определение 2. Два элемента называются ортогональными ( ), если (x, y) = 0; говорят, что элемент ортогонален множеству , если для любого .

Теорема 2 (теорема Б. Леви). Пусть L – подпространство H. Каждый вектор допускает единственное представление , причем элемент y осуществляет наилучшее приближение вектора x в подпространстве L, то есть .

Доказательство. Обозначим множество , которое замкнуто в силу замкнутости L и, очевидно, выпуклое. По теореме 1 существует единственный элемент с минимальной нормой, , или . Покажем, что . Пусть - любой вектор из L, а - произвольное комплексное число. Так как , то , поэтому

.

Полагая

,

получим

, или (z, v) = 0,

а так как v – любой элемент из L, то . Докажем теперь единственность разложения. Пусть , где , тогда , то есть , другими словами, ортогонален самому себе. Следовательно и . Второе утверждение теоремы следует из определения W и теоремы 1.

Предел последовательности элементов, ортогональных подпространству L, ортогонален L. Поэтому элементы, ортогональные к L, образуют подпространство, которое называется ортогональным дополнением к L и обозначается . Так как любой элемент равен , то говорят, что пространство H разлагается в прямую сумму подпространств L и . Записывают этот факт в виде . Элемент y называется ортогональной проекцией элемента x на подпространство L, а оператор P, действующий по закону y = Px, то есть каждому элементу ставящий в соответствие его проекцию y, называется оператором ортогонального проецирования или ортопроектором. Нетрудно проверить справедливость равенства .

Рассмотрим линейный ограниченный оператор, действующий из гильбертова пространства H на комплексную плоскость C. Этот оператор мы также будем называть линейным функционалом. Обозначим через ker f = - множество, называемое ядром функционала f(x). Очевидно, что ker f – подпространство H.

.

28. Теорема Рисса - Фреше об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема 3 (теорема Рисса - Фреше). Любой линейный функционал f(x) в гильбертовом пространстве H представим в виде скалярного произведения f(x) = (x, y), где элемент y однозначно определяется по функционалу f(x), причем .

Доказательство. Если , то y = 0. Если , то обозначим через e – единичный вектор, ортогональный ядру f(x). Согласно лемме 1 и теореме 2 любой элемент представим в виде x = Px + (x, e)e, где P – ортопроектор на ядро ker f. Отсюда

,

так как . Полагая , получаем f(x) = (x, y) для любого .

Докажем единственность элемента y. Пусть существует вектор такой, что для любого , или . Для получим

,

то есть . По поводу нормы заметим

,

но

,

следовательно . Теорема доказана.

29.Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Неравенство Беселя.

Полнота и замкнутость ортонормаированной системы. Слабая сходимость ее к нулю.

Лемма 2. Для того, чтобы линейное многообразие M было всюду плотно в H, необходимо и достаточно, чтобы в H не существовало элемента, отличного от нуля и ортогонального M.

Необходимость. Пусть . Ясно, что из условия следует , но и . В частности , следовательно x = 0.

Достаточность. Пусть M не всюду плотно в H, то есть . Поэтому существует , . Так как также подпространство, то по теореме 2 , где , причем и . Это противоречит условию.

Определение 3. Система элементов гильбертова пространства H называется ортонормированной, если , где .

Определение 4. Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно независима.

Лемма 3. Любую систему линейно независимых элементов можно сделать ортонормированной с помощью процесса ортогонализации Шмидта.

Доказательство. Полагаем

;

пусть , подберем так, чтобы , то есть . Получаем

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)