Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Можно также показать, что Ч>о (х> (1), ..., х~ (>), и (Г), (), Ч>> (и (>), Г)... грм (и ((), () ен яЕ,[0, Т) для любых х'(Г) яЕ,[0, Т1 1=1, т, и,(() ен ~ Е," [О, Т>, д~ (х"'"' (з),..., х" (з), и, (з), з), д~" (и, (з), з), ... ..., д" (и,(з), з) ен),[0, 1) для любых х'(з) яЕ>[0, 11, (=«>+1, «, и,(з) ~Ц'[О, ([. Аналогичные утверждения справедливы для производных ),', 1'„, ~р,', ч>'„, д„', д,' . Проводя рассуждения по той же схеме, которая использовалась при доказательстве теоремы 6.1.1 из [4), можно показать, что при выполнении перечисленных условий решение задачи (2) — (5) при каждом и ~ Н существует, единственно,151) и, следовательно, функция (1) определена на Н.

Покажем, что при некоторых дополнительных предполо>кениях, которые будут сформулированы ниже, функция (1) дифференцируема на Н. Возьмем произвольные и=(и„«,, «,,), и+5==(иои йм и,+Ьо и>+йз) а=Н и соответствующие пм решения х(з, 1, и), х(з, Г, и+)>) 14У задачи (2) — (5). Обозначим Ьх(з, 1)=х(з, 1, и+И) — х(з, 1, и), Ь|с=сс(х(з, 1, и+И), ио(з 1)+Ио(з 1) в 1)— -сс(х(з, 1, и), иа(з, 1), в, 1), 1=0, и, Ьсро=сро(х'(1, 1, и+И), ..., х'"(1, 1, и+И), и,(1)+ +И, (1), 1)-ср'(хс(1, 1, и), ..., х"'(1, 1, и), и,(1), 1), Ьсрс=срс(и,(1)+Ис(1), 1) — ср'(и,(1), 1), с=1, т, Ьуо=до(х'"+с(з, Т, и+И), ..., х" (з, Т, и+И), и,(з)+ +И,(з), з) — ео(х'"+с(з, Т, и), ..., х" (в, Т, и), и,(з), в), Ьо(с=ис(иа(з)+Иа(в), з) — дс(иа(з), з), 1=т+1, и.

Тогда из (2) — (5) имеем Ьх,с=Ь)", 1=1, т; Ьхс=Ь1', 1=т+1, п; (з, 1)ен(1, (7) Ьх'), о=Ьср', 0(1(Т; 1=1, т; Ьхс!с-а=Ь8с, 0(з(1, 1=т+1, и. (8) Приращение функции (1) запишется в виде Ь,( (и) = 1 (и+ И) — У (и) = т ~ ~ Ьса~(зс(1+~ Ь,ра (1+ ~ Ь о 1 'е о о г и ~~Ь)ос(вс(1+~ 'У, 'ср',с(х'(1, 1), ..., х"'(1, 1), ис(1), 1)Х е ос с т Х Ьхс (1, 1) й+ ~ (ср„', (хс(1, 1), ..., х (1, 1), и (1), 1), И (1)) с(1+ о с а + ~ ~ч~, 'Ис„'с (х~+с (в, Т),..., х" (в, Т), и, (в), з) Ьхс(з, Т) йз+ ос- +с с +$ (Иа,(х'"+с(з, Т), ..., х'"(з, Т), и,(з), ), Ио(з),'с(в-)- о + йс+ йо (9) где т Яс ~ ~' (ср„'с(хс(1, 1)+ОЛхс(1, 1), ..., ис(1)+Ой>(1), 1)— ос ! — ср„';(х'(1, 1), ..., и,(1), 1))сзх'(1, 1)с(1+ т +~ (К,(хс(1, 1)+Обух!(1, 1), ..., и,(1)+Ой!(1), 1)— о — ср,'„(х'(1, 1), ..., и,(1), 1), >сс(1)) с(1, с л (й",с(х'!с+с(в, Т)+ Ойх "'(в, Т), ..., и (я)+ о с=т+! +Ой,(я), я) — у,'с(х "(я, Т), ..., и,(я), я)!сзхс(я, Т) й+ +~(ий,(х эс(в, Т)+ 8 бахо!"~(я, Т), ..., ио(я)+8>> (я), я)— о — д"„,(х™(я, Т), ..., и,(в), в), Ьо(в)) с!в, 0<8<1.

Для преобразования правой части формулы прираще. ния (9) введем функцию Гамильтона — Понтрягина Н(х, и„в, 1, ф) =>о(х, и„я> 1)+,Я 1>(х, и„я, 1) фс, с-! а также выпишем сопряженную задачу для ф=ф(я, 1)= = (ф' (в, 1), ..., ср" (я, 1)) ф — Н„.~ ~„ , сь ~ „>, с 1, ис, (10) фс = — Н„с!, , сь с, „>, с = нс + 1, а, (я, 1) ен (1, сс и~>с, с> >(1с(1, 1) =ср,'с(х1(1, 1), ..., хт(1, 1), ис(1), 1), (! 1) 0(1 =Т, 1=1, т, ))>с(в, Т)-й„'с(хт~'(я, Т), ..., хл(в, Т), и,(я), я), ('1 2) 0 ( я ~ 1, 1= ис+ 1, и.

Задача (10) — (!2) линейна относительно ф=ф(я, 1, и) и является задачей того же типа, как и исходная задача (2) — (5), поэтому определение решения задачи (10) — (12), а также условия существования и единственности решения ь(огут быть сформулированы так же, как для задачи (2) — (б) ИО С учетом условий (7), (8) и (1О) — (12) имеем ~ ~', ор',/(х1(1, 1), ..., х'"(1, 1), и,(1), 1) Лх'(1, 1)/11+ О 1= ~ л +~,Я а,'/(х "(Я, Т),..., хл(з, Т), и,(з), Я)Лх/(Я, Т)т(злл ОК- +1 л1 т л С = 'У, '$ ф'(1, 1) Лх'(1, 1)/(1+ 'Я $Ор/(я,Т) Ьх/(я, Т) с(я/-ьо / па+1 О е т!/ л срт = 1'(ДтМл'~л)о~4. /„' )((л~Фл/~а)о*-'; / /о й /=т+ьо о / т л + ~ , '~ ф/ (О, 1) Л/р/ Й+ ~ ', ~ ор/ (я, О) Лд//(я =* /=!о с о+~о =$ $(Ф Л))/(ЯЙ вЂ” $ $(Н,(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1, 'ф(Я, 1)), е т Лх(я, 1)) /(зо(1+~ ~', ор/(О, 1) Л1р//11+ о с-~ +~ 'У, 'оР/(я, 0) Лйоо(я. О/= +1 Пользуясь этим равенством, формулу приращения (9) можно переписать в виде Л,((и)=~)т[Н(х(я, 1)+Лх(я, 1), ио(я, 1)+ е +)оо(я, 1), я, 1, ф(з, 1)) — Н (х.(я, 1), ио(я, 1), я, 1, ф(я, 1))— — (Н„(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1, ф(я, 1)), Ьх(я, 1))]/(яо(1+ т +1 ((/р',,(х'(1, 1), ..., х" (1, 1), и1(1), 1), (11(1))+ о ш + Х Ф (О.

1) Д/р') о(1+ 1 1 + ~ ((д„",(х"' '(я, Т), ..., хл(я, Т), и,(я), я), йо(я))-)- о л + К Ф'(я, 0)ЛЬ')д 1)р1+Яо. 1 /л+1 16() Отсюда следует, что И(и)=~~(Н,(х(з, 1), ио(а, 1), а, 1, ор(о, 1)), )!о(а, 1))й!11+ е т + ~ ( ! р ( х ! ( 1 1 ) х о ( 1 1 ) ( 1 ) о + У', ф (О, 1) ц,„(и,(1), 1), Д,(1)'ж+ 1= ! ! + $ (ои, (х (3, Т), ..., х" (3, Т), ио (а), а)+ + У', !(т' (а, О) й!~ (ио (з) а) )!о (а)( й+ Я, (13) 1=-!о-!- ! где Й= т' ,К, величины Й„т(о определены выше, 1 ! Ко = ~ ~ (Н„(х+ 6 Лх, и, + ол„а, 1, ф)— е — Н,(х, ио, а, 1, ор), Лх) й!11, )то=~(Но(х+оЛх, ио+0)!о а 1 ор)— е — Но(х, ио а 1, ф), )!о) й!11, о! Р =~ ~Х, '!Р!(О, 1) (<Р'„(и,+бйи 1) — !Р'„(и,, 1), )!,) !(1, о г=! ! о Ро=~ У, !р! (а, 0) (д', (но+8)о„а) — д„' (и„а), )!о) !Ь.

ос=о+! При сделанных выше предположениях относительно исходных функций !р!, д', )! можно показать, что для остаточного члена формулы (13) справедлива оценка 1Р~ ~Со!)о7н=Со Мой.,+ ~1!А„+()!ой,), (14) С, = сопз1 ) О, которая вытекает из оценки 11511 о! / т 'Я~ ацр ()Лх!(а, 1)~оШ+~~)Ьх!(а, 1)~ой!(1~-)- ю-! о~ ~!о е о ( + У ~ 5нр ~ ( Лх'(я, 1) ~ й+) ~ ~ с!х'($! 1) (ойй) +! о<!~то е а С1 1)! (й, С, = сопз1 ~ О. 151 Из формулы (13) и оценки (14) следует, что функция (1) дифференцируема иа Н и ее градиент равен ,('(и) =(Н„(х(з, 1, и), и,(з, 1), з, 1, ф(з, 1, и)); гр„',(х'(1, 1, и), ..., х'"(1, 1, и), ит(1), 1)+ т + ~ ([!!(О, 1, и) ср! (и, (1), 1); ! ! я„", (х "(з, Т, и), ..., х" (з, Т, и), из (з), з)+ л + ~ ![У'(и, О, и)д!. (из(з),з)). (15) ! т-ь! Заметим, что при въ!воде формулы приращения (13) и оценки (14) предполагалось, что все встретившиеся в преобразованиях интегралы имеют смысл и, в частности, подразумевалось, что Г (и) ен Н.

Предполагаем читателю самостоятельно выписать, пользуясь формулой ([5), необходимые условия оптимальности в задаче (1) — (6) для выпуклого множества [т', сформулировать условия существования оптимального решения, условия выпуклости илн сильной выпуклости функции ([), условия принадлежности функции (1) классу С" ([т), дать описание градиентного метода, методов проекции градиента и условного градиента. У п р а ж н е н и я. 1. Получить формулу градиента в задаче (1)-(й), считая, что иа(з, !) и (з) еиЕео[О, ![ илн п,(з, Г)=и,(О!и !вы'[О, Т[, или ие(з, Г) ывюе еи Е", или ит(!) же! ш Е", или и, (з) еи мз ш Е".

2. Пряменить метод штрафных функций к задаче (!) — (6) при ограничениях ~к(з, б[(1 или /х!(з, 1) !и,1, 1 1, п. Найти градиент штрафной функции. 3. Сформулировать и доказать принцип максимума для задачи (П вЂ” (О), считая, и=и,!си,хи,, и,=(п,(з, г) е„"(О)! па(з, 1) !н Уа почти всюдУ на ф (! =(и (Г) !и Е" [О, Т[: и (О еа У! почти всюду на [(м Т[), (! [из(з) еиЬ" [О, 11: и (з) ш 1' почти всюду на [О. 111, где и! на Е ', (=О, 1, 2,— заданные множества [511. $10.

Оптимальное управление процессами, описываемыми уравнением Гурса — Дарбу При исследовании процессов сорбции, сушки и др. возникает следующая задача оптимального управления [б2 123, 52, 92, 180, 185 †1, 2131:минимизировать функцию .) (и) =$~)'(х(я, 1), х,(я, 1), х~(я, 1), и(я, 1), я, 1) с(яй+ е +Ф(х(1, Т)) (1) при условиях х„(я, 1) =)(х(я, 1), х,(я, 1), х~(я, 1), и(я, 1), я, 1), (я, 1) вне, (2) х(0, 1) =а(1), 0~1:аТ; х(я,О) =()(я), О~я=1, (3) и=и(я, 1) ы 11ыЬ,'(Я), (4) где х=(хз хп) 1 (7 1л) и=(ия и') а= =(а', ..., а"), р=(~', ..., р ), с1=((я, 1): О~я~(, 0 ~1( Т); 1, Т вЂ” заданные положительные числа, Т(х, р, Е, и, я, 1), 1=0, и, Ф(х), а'(1), р'(я), 1=1, и,— заданные функции, У вЂ” заданное множество.

Эту задачу будем рассматривать при выполнении следующих условий: 1) функции 1'(х Р Е, и, Я, 1), 1=0, п, и их частные производные 1,', 1о, )', 7„' непрерывны по совокупности аРгУментов (х р Е, и я 1)енЕ"'хЕпуЕпуЕ.><10 1)> Х10, Т) и удовлетворяют условию Липшица по (х, р, Е, и); 2) функция Ф(х) обладает непрерывными частными производными Ф,(х) прн всех хек Е"; 3) а(1) енН„[0, Т), ()(я) енН„10, 1); а(0) =Р(0). Под решением задачи (2), (3), соответствующим управлению и= и(я, 1) ен1.; ф), будем понимать вектор-функцию х(я, 1) =х(я, 1, и) а=Е,"(Я), имеющую обобщенные производные х,(я, 1), х,(я, 1), хм(я, 1) ~ 1.,"Я) и удовлетворяющую уравнению (2) почти всюду в (), а условиям (3) — в смысле равенства соответствующих следов х(0, ), х(, 0). При сделанных выше предположениях задача (2), (3) при любом и= и (я, 1) ен Ц(Я) имеет, ипритом единственное, решение.

Важно заметить, что любая вектор-функция х(я, 1) ен Е,"(11), обладающая обобщенными производными х,(я, 1), х,(я, 1), х„(я, 1) ~Е,"(Я), непрерывна в замкнутом прямоугольнике Я (точнее, х(я, 1) эквивалентна непрерывной на Я функции). Это значит, что решение х(я, 1, и) задачи (2), (3) можем считать непрерывной функцией на Я, и тогда имеет смысл говорить о значении х(1, Т, и), И3 и величине Ф(х(1, Т, и)). Таким образом, при сделанных выше предположениях функция (1) определена при всех и = и (я, г) ен Ц Я). Можно показать, что непрерывная на Я вектор-функция х(я, 1) является решением краевой задачи (2), (3) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет интегральному уравнению х(я, 1) =а(я)+р (1) — а(0)+ +~))(х($, т), х,($, т), х~($, т), и($, т), $,т)дво(т.

Характеристики

Список файлов книги