Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Составим функцию Н;(х;, уо орп, оро;) =ори(х;+2и;)+ +оги( — х;+у;+и]). Система (7) здесь имеет внд фь '-о=фи 2фо~хь оРо, — = огоь 1= 1, О, ф„=ор„=О, ф„= р„= Подставив сюда оптимальные (х;„, у;о), получим орцо =О, о)чоо = — 2, ор„= — 1, фо„=- — 1. Тогда Но(х„, у,„„, ф„,„ огооо, и) = — (и+2)'+7.
Как видим., на оптимальном уп 113 равлении и=иьь= — 2 функция Н. (х,„, у„, ф1ь„, фьь„и) достигает своего абсолютного максимума, в то время как ее минимальное значение при ~ и ~ ~ 5 достигается в точке и=5. Таким образом, для управляемых систем с дискретным временем принцип минимума, вообше говоря, не имеет места. 4. Рассмотрим задачу оптимального управления линейными дискретными системами: минимизировать функцию (1) при условиях (2), (3), если Е,(хи и;) = А;х; + В,и; + [и ! = О, Ж вЂ” 1, (24) где Аи Вь [; — заданные матрицы порядков пхп, пхт и и х 1 соответственно.
Теорема 4. Пусть функции Е,', Ф удовлетворяют условиям теоремы !. Тогда функция (1) при условиях (2), (3), (24) дифференцируема в И [О, М! и ее градиент Т ([и;)) в точке [и;1 вычисляется по формуле 7 ([и;!)=(Еш(хь ир)+Вс'фи (=О, й1 — 1), (25) где [х1=(х„..., хн) — решение задачи (2), соответствую- и(ее выбранному управленшо [иД, а [ф)=(ф „..., фн,) определяется из условий т о )!ц-1=А ф — Еы(хи и;), =О, 51 — 1, фн,=Ф„(х,), (26) матрицы А~, В; получены транспонированием матриц т т А,, Во Если, кроме того, Ф„р,'„Е';„удовлетворяют условию Липшии,а по совокупности (х, и) ~ Е" эсЕ', то градиент Т ([и1!) удовлетворяет условию Липшица на всем пространстве (.,[О, Ж1. Формулы (25), (26) вытекают из теоремы 1; условие Липшица для градиента доказывается аналогично тому, как это делалось в теореме 5.3.
Укажем достаточные условия выпуклости и сильной выпуклости функции (1) при условиях (2), (3), (24). Теорема 5. Пусть выполнены условия (24), функция Ф(х) выпукла по х на Е", а г","(х, и) выпукла по совокупности переменных (х, и), т. е. Е,'(ах+(! — а)у, аи+(1 — а) о) ( ( аГ"; (х, и) + (1 — а) г "; (у, о) (27) 114 при любых х, уенЕ", и, оенЕ',ая[0, !1и !=0, с]! — 1. Тогда функция (1) вьтукла на Е;[О, М). Если при этом функции Ф, Е," удовлетворяют условиям теоремы 1, множество [сс, 1=0, Лс — 1, ьыпуклы, то для оптимальности управления [и; ! необходимо и достаточно, чтобы (с';„(хса, иса) -1- В[ с[!с„ис — иса) =» О, (28) ис вн 1!о с'=О, !1! — 1.
Лок аз атель ство. Решение задачи (2), (24), очевидно, обладает свойством х, (а [ис!+ (1 — а) [ос!) =ах!([ис!)+(1 — а)хс ([ос]), !=О, М, при любых а и любых [ис], [ос) ~ Е„'[О, М1. Тогда выпуклость функции (!) на Аз[0, Ж) является простым следствием выпуклости Ф(х) и условия (27). Условие оптимальности (28) вытекает из теоремы 2.5 и формулы (25). С помощью теоремы 3.8 аналогично доказывается Теорем а 6. Пусть выполнены условия (24), функция Ф(х) выпукла по хан Е" и, кроме тога, Е," (ах+ (! — сс) у, оси + (1 — а) о) ( ( аГ] (х, и) + (1 — а) Е] (у, о) — сс (1 — а) и ] и — о,", м=сопз]) О, при лсобых х, у ~ Е", и, о а= Е', аен [О, !! и !=О, с[С вЂ” 1.
Тогда функция (1) сильно выпукла на Ь;[О, сЧ1 и задача (1) — (3), (24) имеет, и притолс единственное, реисение на любом замкнутом выпуклом множестве (с: — Е,[0, М). и-с Упражнения. 1. Доказать, что !([ис]]та ~ ]и,] + с=о и-с ] хс ]а+тай, сс, р, у= сопз1, при условиях 12), (24) =о дважды дифференннруема в !.гз [О, !т'!. Доказать, что если при этом а, р, т)0, то 1([сн)) выпукла, а если сс)0, О, уссо, то сильно выпукла на Ь" 10, сч]. 2. Пусть выполнены все условия теоремы 5. Доказать, что тогда условие (23) является необходимым и достаточным условием оптимальности в задаче (1) — (3), (24).
1!В 9 7. Оптимальное управление процессом нагрева стержня Рассмотренные в гл. 6, 7 из !4! и Я 1.2 — !.5 задачи оптимального управления относились к управляемым системам, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями. В приложениях также возникает большое количество задач оптимального управления процессами, описываемыми длффереициальными (или интегро-дифференциальными) уравнениями с частными производными.
Таким задачам посвящена обширная литература, для широких классов таких задач исследованы вопросы сущесзвования и единственности оптимального управления, получены необходимые и достаточны. условия оптимальности, разоаботаны методы их решения 122, 23, 28, 46 — 48, 50, 52, 54, 55, 59, 62, 63, 92 — 96, 103, !08, !14, 120, !23, 124, 129, !31 — 133, 142, 146, 147, 149 — 152, 155, 166, 170 — 180, 200, 201, 208, 214, 227, 23!) и др.
Ниже будут рассмотрены некоторые из таких задач. В этом параграфе мы займемся задачами оптимального управления процессами, описываемыми параболическими уравнениями. Такие задачи возникают при изучении управляемых процессов теплопроводности, диффузии, фильтрации и т. д. 146 — 48, 59, 93, 95, 213!. 1. Будем рассматривать задачу, которая в теплофизических терминах может быть сформулирована следующим образом. Имеется однородный стержень 0 (з( 1, левый конец з=О которого теплоизолирован, на правом конце з==! происходит теплообмен с внешней средой и, кроме того, в стержне имеются источники (или стоки) тепла. Через хг х(э, 1) обозначим температуру стержня в точке з в момент 1. Пусть к(з, 0) ср(з), О~з(! — распределение температуры в стержне в начальный момент времени 1=0.
Требуется, управляя температурой внешней среды и плотностью источников тепла в стержне, к заданному моменту Т ) 0 распределение температуры в стержне сделать как можно ближе к заданному распределению у(з), 0(з( 6 Математическая формулировка этой задачи: требуется минимизировать функцию ' прк условии, что х=х(в> 7, и) является решением крае- вой задачи х,=а'х„+~(в, г), (в, 1) ~9=[0(в х,(, в=О, 0((~Т, х, ), с = т [р (1) — х (1, 1)), х!с,=ср(в), 0(в=.(, (Е, 0(1(Т), (2) (з) 0(Ф~Т, (4) (5) где а', 1, т, Т вЂ” заданные положительные величины; р (1)— температура внешней среды, 7(в, 1) — плотность источников тепла; предполагается, что и=(р (1), ) (в, 1)) — управление — принадлежит множеству У, состоящему из пар (р(Г), 7" (в, 1)) таких, что р = р (1) е= (,, [О, Т1 р ьв„( р (1) ( (р,„почти всюду на [О, Т1 1=Ив 1) -=7- (Я) 11 У(в, 1)Гг(вд( — й о (6) (7) Где Рны (Ртах Р ) 0 — заданные числа1 ф (в), Д (в) и е= 5,[0, 11.
Лля краткости обозначим Н = Е, [О, Т1 х Ь, [Я вЂ” гильбертово пространство пар и=(р((), 7(в, 1)) со скалярным произведением т (и, и )н=~ р (1) ре(1)г(1+Г))7" (', 1)[ (в, ()двй( о е и с нормой [и[ =((и, и)н)и'=([р~' +ц[' )ие. При каждом фиксированном управлении и=(р, [) ен Н из краевой задачи (2) — (5) однозначно определяется соответствующее решение х(в, () =х(в, 1, и). Так как управление и=(р(1), 1(в, 1)) ~Н может иметь бесконечно много разрывов, то классического решения задачи (2)— (5) может не существовать.
Поэтому решение этой краевой задачи будем понимать в обоб|ценном смысле. Обобщенным решением краевой задачи (2) — (5), соответствующим управлению и=(р((), 7(в, 1)) еи Н, называется функция х (в, 1) =х (в, 1, и) ен Н" (Я), имеющая следы х(в, ) ~Е,[0, Т) непрерывные в метрике Ее[0, Т) при всех в ен [О, $ следы х(, 1) ен Е,[0, $ непрерывные в метрике Е, [О, 1] при всех 1ен [О, Т~, и удовлетворяющая 117 интегральному тождеству о о (х(я, Т)ф(я, Т)!Ь вЂ” (!о(я)!р(я, 0)!Ь— о о — ~ ~ (х!~, — похе~,) гЬ Ж вЂ” ~ ') )!р г(я Д1- е е т — аз о ~ (р (1) — х (1, 1)) !Р (1, 1) !11 = 0 о при всех ф=ф(я, 1) ен Н'(! !), и, кроме того, след х(, 1) при 1=0 совпадает с функцией ср(я) почти всюду на [О, 1). Можно доказать, что при каждом и ~ Н краевая задача (2) — (5) имеет, и притом единственное, решение— по этим вопросам отсылаем читателя к работам [139, !57, 213). Можно также доказать, что если последовательность (ио) енН слабо в Н сходится к и, то я (и,)- У(и), т.
е. функция (1) слабо непрерывна на Н. Отсюда и из теоремы 3.2 следует, что в задаче (1) — (7) множество О, оптимальных управлений непусто. Покажем, что функпия (1) дифференцируема в Н. 1(ля этого возьмем произвольные управления и =(р, 1), и+й= =(р+Лр, 1+Л1) енН. Пусть х(я, 1, и), х(я, 1, и+й)— соответствующие этим управлениям решения краевой задачи (2) — (5). Обозначим Лх(я, 1) =х(я, 1, и+й) — х(я, 1). Из (2) — (5) следует, что Лх(я, 1) является обобщенным решением краевой задачи Лх,=аоЛх„+Л[, (я, 1) ~1;1, (8) Лх;1, о — — О, Лх,(, я=ч[Лр(1) — Лх(1, 1)), 0~1(Т, (9) Лх!,,=О, 0(я~1. (10) Тогда приращение функции (1) можно записать в виде Л.( (и) = 1 (и + й) — 1 (и) = =~(!х(я, Т, и)+Лх(я, Т) — у(я)(о— о -)х(я, Т, и) — у(я)(о)о(я=) 2(х(я, Т, и)— о -У(я))Лх(Я, Т)!1Я+$~Лх(я Т)!огЬ.
(11) о !!8 Покажем, что с ~ 2(х(з, Т, и) — у(з)) Лх(з, Т) с(з= о т =~ а'ота(1, 1, и) Лр(1) й+ о +$$ф(з, !, и)Л)(з, ()сЬй, (!2) где 1)~(з, 1, и) =19(з, с) — обобщенное решение следующей вспомогательной краевой задачи: оь,= — аот)~„, (з, с') ~1~ Ф„', о=о, ~):,~~= — оз9(1, 1), 0~1<Т, т(т) т — — 2(х(я, Т, и) — у(я)), О=я(1. С учетом условий (8) — (1О) и (13) — (15) имеем ~ 2 (х (з, Т, и) — у (з) ) Лх (з, Т) сЬ = о т — ) Фо, т~ь о, ~~~.
1(1 ~солом)о= о о 1о = ~ ~ (т)ос Лх+ ~й Лхс) сЬ й = = ~ о) ( — атой„бх+ '$а' Лх„+ та Л1) сЬ й = = а' ~ ') —, ( — т)~, Лх+ 1)> Лх,) сЬ й + ~ ~ ~й Лс сЬ й = т = а' ~ ( — ф Лх+ т9 Лх,) ~,' й+ ~ ~ т)о Л1 сЬ й о о = аоо~ ов(1, 1, и) Лр(1) й+~ ~~(з, (, и) Л1(я, 1) осзй. о Равенство (12) получено. Подставляя (12) в (11), будем иметь т Л( (и) =- ( азота (1, 1, и) Лр (1) сИ + о с + 5 ~ та (з, 1, и) Л/' (з, 1) с(з й+ $ ~ Лх (з, Т) 1о сЬ. ()б) ч о 119 Покажем, что ~)Лх(о, Т) "о(э~ о т ( С, l~ ) Лр (1)," о(1-(- ( ~ ( Л) (з, 1) ~о о(з о(11 = С~ 18 )ц, ((7) ,о где С,)0 — постоянная, не зависящая от выбора й= =(Лр, Л1) енН и и=(р, 1) он И.
Для получения этой оценки умножим уравнение (8) на Лх(з, 1) и проинтегрируем его по прямоугольнику Я. С учетом условий (9), (10) будем иметь 0 = ~ ~ (Лх,— а'Лх„— Л() Лхйзо(1= е о т = ~ — (Лх(з, 1))'~, о(з — ~ а'Лх Лх, о(1+ о о +а'~ ~ ~ Лх, ~то(зт(1 — ~ ~ Л1 Лхо(от(1 = ! т = 2 ~ ~ Лх (е, Т) р (е+ а' ~ ~ Лх (1, 1) ~' о(1— о о — ато~ Лх(1, 1) Лр(1) о(1+аз~ ~ , 'Лх, ~ооЬЖ— о е — ) ) Л) Лх о(з о(1, нли -- ~ ~ Лх(з, 1) ~ооЬ+аоо ~ ~Лх(1, 1) ~оо(1+аз ~ ~ ~Лх,)оо(зо(1= о о т = аоо ~ Лх (1, 1) Лр (1) Й + ~ ~ Л1 Лх оЬ о(1 е-.
о т т ( 2 атое1 ') ~ Лх (1, 1) ~' о(1+ ~ ~ Лр (1) ~' 01+ о 2е, „1 о + — е, ~ ~ 1Лх (е, 1),' оЬ Й+ — ~ ~! Л) (з 1) ' ~(з о(1 е о ет) О, ео) 0; (18) 320 здесь мы воспользовались неравенством аЬ ( еа'/2 + 1-Ьо/(2е), справедливым при любых действительных а, Ь е) О. Так как ~2 1Лх(з, /),о=(~ Ьх,($, /)о($ — Лх(1, 1)~ ~ ~5 ! о (2() Лх,($, 1) й$) +2~ Ах(1, 1) 1о( м ( 21 ~ ) Лх, (а, 1) )о оЬ+ 2 ) бх (1, 1) (о, о то ) ) 1бх (з, 1) 1о ~Ь Й < е т -= 2/о ~ ') 1бх, (о дз о(1+ 2/ ~ 1Лх (1, 1) ~1о о(/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
