Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2. Пусть дан однородный упругий стержень, один конец которого жестко закреплен, другой конец свободен. Требуется, упоавляя внешней поперечной нагрузкой, привести стержень к заданному моменту времени как можно ближе к заданному состоянию. Эту задачу мате- 140 а величина ам О~аз--.!, может быть выбрана одним из указанных в з 4, п. 3 способов. В частности, нз равенства (7) следует, что функция ~, (а) = Х(из+а (йи — и„)) переменной я представляет собой квадратный трехчлен.
Поэтому, рассуждая так же, как прн выводе формулы (4.25), нз условия ~„(ия)= пнп (я(а) можно определить О<а(Ь я„=ш(п(1, аЦ, где матически можно сформулировать в виде следующей за- дачи минимизации: У(и) =~(~х(я, Т, и) — у,(з) ~о+ о +/хс(я, Т, и) — у,(я)!о)с(в-о (п(, (19) хсс+ах„„=и(я, 1), (я, 1)яЯ=(0<я<1, 0<1(Т), (20) х1, о — — х,1, о — — О, 0<1(Т, (21) хосе с=хссс/с с=О, 0<((Т, (22) х!с-о= сро(я), хс ~с-о= срс(я) 0(в (1, (23) и=и(з, 1) ~Е/= =(и(я, с) ен1.,Я): $$и'(я, !)с(яШ<яо), (24) где а', 1, Т, Я вЂ” заданные положительные числа, 'срс(в), ус ( ° ), с = 1, 2, — заданные функции', ср,(я) ен Н'(О, 1], сро(0) ='Ро(0) =01 срс(я) уо(з) ус (з) ен то(0 1.
Под решением краевой задачи (20) — (23), соответствующим управлению и=и(я, 1) енто Я), будем понимать функцию х(в, 1)=х(з, с, и)яНо с(Я), имеющую следы х(, (), хс(, 1) ~Ео(0, 1] при всех (ен(0, Т], х(з, ), х,(я, ) ~1,о(0, 1] при всех я ~10, 1] и удовлетворяющую условиям (21), (23) в смысле равенства соответствующих следов и интегральному тождеству ~ ~ ( — х,фс+ аох„ф„— иф) с(з с((в с ! — ~ср,(в)ф(я, О)с(з+)хс(з, Т)ф(я, Т)с(в=О при всех ф=ф(з, 1)~сНо ' (Я), ф), о=ф,), о — — О, О~з(Т. Можно показать, что при каждом и= и(я, т) решение задачи (20) — (23) существует и единственно. Покажем, что функция (19) дифференцируема на Ео(4г) и найдем ее градиент 1108]. Возьмем произвольные и, и+А ен1.о(Ц) и соответствующие им решения х(я, 1, и), х(я, Г, и+6) краевой задачи (20) — (23). Обозначим сох (з, с) = х (я, 1, и+ Ь) — х (в, (, и).
Из 120) — (23) следует, что сох (з, 1) является решением 141 краевой задачи Лхсс+аоЛх„„=й(з, 1), (э, 1) енС',с, (25) Лх! о=Лх,), о=О, Лх„(, с=Лх„,(, с=О, 0 =((Т, (26) Лх (с о = Лхс ~~с о — — О, О (27) Тогда приращение функции (19) запишется в виде с Ло (и) = У (и + )с) — 1 (и) = ) 12 (х (а, Т, и) — уо (з)) Лх (з, Т) + о +2(х,(а, Т, и) — у,(э))Лх,(з, Т)1сЬ+)г, (28) где ! )7= $(! Лх(а, Т) /о+сЛхс(з, Т) !о) сЬ. о Справедлива оценка (Я(~Сс)ссК,=С!~~))с(э, 1)(ос!ой, Сс=сопз1)0. (29) Наметим схему доказательства этой оценки. Умножим уравнение (25) на Лх,(э, 1), проинтегрируем по прямоугольнику !с!=((з, т): 0(э =.1, 0«т~() и получившееся равенство преобразуем с учетом условий (26), (27); будем иметь ~ ~ссЛхсс(э с(т= ~ ~ (Лхсс+а'Лх„„) Лхсс(зс(т= Фс с!с с = -2-~ (Лх!)о ~с, сЬ+ ~ а'Лх„,Лх, ~с,, с(т— ! Г о о ! — 11 'с „, о*„! ж=-,'- ~, ь, с, о ~ !.— сс! — ~ ао Лх„Лхсс ~! о Ж+ ~ ~ аоЛх„Лх„с!(о с((= с = -; ~ ~ Лх (з, ~) ~'с(а+ —,— ~ (Лх-)' ~', о (э = о о / =-,' ~,~;(', ~):Л 1-', ~ Л.„(., (), (.
о о при всех 1, 0<1~Т. Отсюда с помощью неравенства ( аЬ ~ =- (а'+ Ьо),'2 получим ~ ~ Лх,(з, () )ой~ о с(с тс (~Лхс(з, т) ~ос(з)с(т )-~ ~ Ь'(з, т)с(зс(т, 0(( =.Т. оо с' оо Тогда из леммы 2.2 при ср (1) = ~ ( Лхс(з, ()/ой, Ь = о ~) Ьо(з, 1) с(зс(1, а=1 следует, что с ~~Лхс(з, 1)~ос(э(етт))тЬо(з, 1)с(ее(1, 0<1 =.Т.
(30) о о В частности, при с=Т имеем ~ ~ Лх, (з, Т ) ~о с(з -=. ет ~ т) Ьо (з, 1) с(з сУ. о о Далее, из равенства т Лх(з, Т)=Лх(з, 0)+~ Лх,(з, 1)е(1 о с учетом первого условия (27) и оценки (30) получим (31) сст '~ о ~ ~ Лх (з, Т),я й = ~ ~ ~ Лх, (з, 1) с(1 ~ асз ( т;с «Т (З ( ') ~ Лх, (з, 1) ~о с(з~ с(( =-. Т ет ~ ~ Ьо (е, 1) й й. о Под решением задачи (32) здесь понимается функция 143 Сложив эту оценку с (3!), придем к оценке (29). Для преобразования правой части формулы приращения (28) введем сопряженную краевую задачу чссс+ аоЧс„„= О, (з, 1) еп ф "Р!х-о=ф.~ю-о=О, К~,-с=К,~, с=О, 0((==-Т, (32) ф~с-т = 2 (хс (з, Т) — ус (з)) фс (с-т = — 2 (х (е, Т) — уо (е)), О-.=е =1.
ф(я, 1, и)=ф(я, 1) ~Сои), удовлетворяющая интегральному тождеству с ~ ~ (Фи+ а'Ф„„) ф с(я с(1 = 2 ~ (х (я, Т) — у, (я)) Ф (я, Т) с(я+ о о с + 2 ~ (х, (я, Т) — у, (я)) Ф, (я, Т) с(я о для всех функций Ф=Ф(я, 1) е=Н4 оЯ), обладающих обобщенными производными Ф„, Ф,, ен 1.,(Д) н таких, что Ф~, о=Ф,~ о=Ф„~, с=Ф„,!, с=О при О(1(Т и Ф!с о=Фс)с о=О при О =я(1. С помощью решения ф(я, 1, и) краевой задачи (32) приращение функции (19) можно представить в виде Л1 (и) = $ $ ф (я, 1, и) )с (я, 1) с(я с(1 + )7. (ЗЗ) В самом деле, из (28) с учетом условий (25) — (27), (32) имеем Ы(и) )( — срс(я, Т)бх(я, Т)+ф(я, Т) Лхс(я, Т))с(я+)с= о с т — ( — ср Л. +сйсях) с(сс(я+я Г д о о = ~ ~ ( — 4Р,Ах+ фЛхсс) асз с(1+ Я ° = ~ ~ а' (ф„„бх — србх„„) с(я с(1+ ~ ~ ср(с с(я с(1+ йс т ао ~ (ф,„бх — 'сР„Ьх, + сР,Лх„— фбх„,) ~*,-' с(1+ о +~ ~ фас(яс(1+)я= ~ ~ф(я, 1, и))с(я, 1) с)яс(1+Рс.
а е Формула (ЗЗ) получена. Из (ЗЗ) и оценки (29) следует, что функция (19) дифференцируема на Ео (Я) и ее градиент равен .7'(и) ф(я, 1, и), (я, 1) вне. (34) Конечно, как и в задаче (1) — (5), приведенный выше вывод формулы (33) и оценки (29) нельзя признать стро- 144 гим; относительно строгого доказательства формулы (34) см. замечание, высказанное в 2 7 в аналогичном случае. Можно показать, что функция (19) принадлежит С' ' ((.э).
Далее, поскольку решение задачи (20) — (23) также удовлетворяет равенству (7), то функция (19) выпукла. Отсюда и из теоремы 3.6 следует, что задача (19) — (24) имеет хотя бы одно решение. Согласно теореме 2,5 для оптимальности управления иэ = и„(з, г) ен (7 необходимо и достаточно, чтобы ~) тр(з, 1, ив)(и(з, () — и (з, !)) г(зс(1)0 при всех и=и (з, () ен(7. Предлагаем читателю самостоятельно написать итерации методов проекции градиента и условного градиента и для (й+!)-го приближения получить формулы, аналогичные формулам (15) — (18). У яр а ж нен и я. 1. Показать, что функция э'г(и)=э'(и)+ т +()~ рэ (г) о(+ 5) $ )э (з, г) пэ ог, 5 сопз1) О, где э (и) взята иэ (1), е прн условиях (2) — (4) сильно выпукла на )т'=(э !О, 11Хьэ((1).
Описать метод скорейшего спуска для задачи минимизации эт (и) на всем пространстве Н. 2. Показать, что функция Хг(и) э'(и)+5)) иэ(з, 1)с(зо(, 5)0, о где э'(и) определяется формулой (19), при условиях (20) — (23) сильно выпукла на Еэ(0), Описать метод скорейшего спуска для мнннмнза.
ции у,(и) на ц(0). 3. Найти градиент функций (1) и (19) по начальным условиям ррэ чг). 4. Используя описанный в $ 7 эвристический прием, получить сопряженные краевые задачи (11) и (32). 5. Пусть в задаче (1) — (5) или (19) — (24) имеются дополнительные огРаничениЯ /х (э, б и) , '<тэ, /хс (з, Г, и) (~т„(з, Г) а Я. Учесть эти ограничения с помощью штрафных функигий, вывести формулу градиента для штрафной функции; описать метод штрафных функций в сочетании с методом проекции градиента или условного гра. диента.
г 6. Пусть требуется минимизировать функцию э'(и) ~ р'(1) Ф+ + ) ~)з(з, 1) пзЛ при условиях (2) — (5), (14) или функцию э'(и) = е ~) иэ(э, Г)пэп( при условиях (20) — (24) и дополнительных ограо иичениях х(в, Т, и) О, хг(э, Т, и) О, 0(ам=1, где Т)0-заданное время. Учесть дополнительные ограничения с помощью штрафных фуницнй; найти градиент штрафной функции. !45 5 9.
Оптимальное управление процессами, описываемыми системой первого порядка с частными производными При исследовании ряда химико-технологических процессов возникает следующая задача оптимального управления 1'149, 151, 179, 213]: минимизировать функцию от ,((и)=~~1'о(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1)т(зт(1+ оо т +~ тро(х'(1, 1), ..., х"'(1, 1), и,(1), 1) Й+ о ! + ~ до (х"" (з, Т), ..., х" (з, Т), ио (з), з) ~(з (1) о при условиях х', (з, 1) = То (х (з, 1), ио (з, 1), з, 1), (з, 1) ен Я, 1= 1, ти, (2) х~(з, 1) =('(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1), (з, 1) енЯ, 1=т+1, и, (3) х'(О, 1)=ор'(и,(1), 1), 0(1 я Т, 1=1, т, (4) х'(з, 0)=д'(ио(з), з), О~а~(, 1=ти+1, и, (5) и = (ио (з, 1), ит (1), ио (з)) ~ Еl ы Н = = Ьо" М) Х ) о' 10, Т) Х й (О, 11, (6) где Я=((з, 1): 0(з(1, 0~1(Т); 1, Т вЂ” заданные положительные числа, х= (х', ..., х") — фазовые переменные, 1 = (1',, 1"), ~р = (грт...,, ор'"), д = (д"" ',, д") — заданные функции, ио=1и~,..., и,') — управляющие параметры, 1=-0, 1, 2.
Под решением задачи (2) — (5), соответствующим управлению и = (и, (з, 1), и, (1), ио (з)) ~ Н, будем понимать вектор-функцию х (з, 1) = х (з, 1, и) ° (х" (з, 1),, х" (з, 1)) ~ енто" (Я), имеющую обобщенные производные х,'(з, 1) еа ~1.о(1е), 1=1, т; х',(з, 1) — -5о(С), 1-т+1, и, удовлетворяющую уравнениям (2), (3) почти всюду в (1, а усло- 146 виям (4), (5) — в смысле равенства соответствующих следов функций х' (з, ().
Будем предполагать, что выполнены следующие условия: 1) функции )'(х, и,, з, г), (=О, п вместе с частными производными Г"„', ~' непрерывны по совокупности переменных (х, и,, з, г) ен Е" хЕо к[0, 1[х[0, Т1 и удовлетворяют условию Липшица по переменным (х, и); 2) функции Ч>о (х>,, хт и> () гр> (и () 1 1 и о г вместе с частными производными гр„, гр„„(=0, >и, непре. рывны по совокупности переменных (х', ..., х"', им Г) = еиЕ кЕ' х[0, Т1 и удовлетворяют условию Липшица по переменным (х', ..., х'", и,); 3) функции д (х~~, ..., х", им 3), я' (им я), > = гл+ 1, «, вместе с частными производными д', д~, д'"-~', ..., д непрерывны по совокупности переменных (х"", ..., х", и„з) енЕ"-"хЕ" к[0, 1[ и удовлетворяют условию Липшица по переменным (х ", ..., х", и,). Тогда ~['(х, им з, ~) ~ (~Р>(х, и„з, () — ['(О, О, з, () ~+ +)('(О, О, з, Г)/~Е.(!х!+,'ио/)+зцр/)>(О, О, з, ()) при всех (х, и„з, () ен Е" х Е" х [О, ([ х [О, Т'), откуда следует, что р>(х(з, 1), и,(з, (), з, () я Е.,Я) при любых х(з, г) ен ~И(~>), ич(з, () ~Ц'(С)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
