Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(5) оо Опираясь на это интегральное уравнение, существование и единственность решения задачи (2), (3) могут быть до- казаны с помощью рассуждений, аналогичных рассужде- ниям нз доказательства теоремы 6.1.1 в 141. Полезно заметить, что если ввести переменные г=х„ д'=х, уо=х„то задачу (2), (3) можно переписать в виде задачи (9.2) †(9.5): г,=г(у', уо, г, и, я, 1), у)=г, у)=1(у', уо, г, и, я, 1), (я, 1) енЯ, г (О, 1) = а' (1), 0 (1( Т, у' (я, О) = р (я), уо (я, О) = р' (я), 0 ( я ( 1.
С другой стороны, если в задаче (9.2) — (9.5) положить г' (я, 1) = ) х' (я, т) о(т, 1 = 1, ио', о г'(я, 1)=~х'($, 1)о$, (=ля+1, п, о то для г=(г', ..., г"), как нетрудно проверить, получим задачу вида (2), (3). Указанная связь между задачами (2), (3) и (9.2) — (9.5) позволяет свести задачу оптимального управления (1) — (4) к задаче (9.!) — (9.6). Однако, желая получше оттенить специфику задачи (1) — (4), а также желая продемонстрировать несколько отличный от вышеизложенного подход к получению сопряженной задачи и к выводу формулы градиента в задачах оптимального управления, мы здесь проведем самостоятельное исследо- 154- Приращение функции (1) равно М (и) = ) (и + й) ) (и) = ~ ~ Л)ос(я Й+ сзФ е (9) где ЛФ = Ф (х (1, Т, и +й)) — Ф (х (1, Т, и)).
Умножим уравнение (б) на некоторую функцию ф = = ор(г, 1) он 7! (Я) и проинтегрируем полученное равенство по прямоугольнику Я. Будем иметь 0 = ~ ~ ((ф, — сох„) + (ф сз7)) с(я с(1. Сложим это равенство почлеино с (9) и получим Л,) (и) = ~ ~ (Л!'о+(Ц, ф) — (с)с, Ахи)) с(я!(с+ с1Ф. Если ввести функцисо Гамильтона — Понтрягина Н(х, р, сй и„я, 1, ф) = =)о(х, Р, с)с и, з, ()+Ц(х, Р, с), и, з, ()> сР7о (10) 155 ванне задачи (1) — (4), не опирающееся на результаты предыдущего параграфа.
Покажем, что при некоторых дополнительных пред- положениях функция (1) дифференцируема на 7.о'Щ). Возь- мем произвольные и, и+й ~ Ьо'(Д) и соответствующие им решения х(з, с, и), х(з, с, и+й) задачи (2), (3). Обо- значим сях(з, 1) =х(я, 1, и+й) — х(я, 1, и), сз)с=)с(х(з, с, и+й), х,(з, 1, и+й), хс(з, 1, и+й), и(з, 1)+й(я, 1), з, ()— — (с(х(з, 1), х,(я, (), х,(я, (), и(з, (), я, (), !'=О, и. Из (2), (3) следует, что Лх„=Л). (и, () ~а (6) ссх(0, 1)=0, 0(1(Т, Лх(я, 0)=0, 0(я(й (7) Можно доказать, что ! гпах ~ ссх (з, 1) ~ + езя яир ~ ~ сох, (я, 1) с,' с(з+ о<с~то т -('еяяяцр $ ~ Лхс(я, () ~'с(1(Со~) й'(я, () с(яс(т, о(сок! о С, = сопз1 ) О.
(8) то прирасцение Л/(сс) можно переписать в виде Л,) (и) = ~ с)(ЛН вЂ” (ф Лх„)) с(зс(1+ ЛФ, (11) где ЛН = ЛН (з, 1) = Н (х+ Лх, х, + Лх„х, + Лхь и+ й, з, С, ф) — Н(х, х„х„сс, з, 1, Ф); аргументы (з, 1) функций х, Лх и их производных, и, й, ф для краткости здесь опущены. Учитывая ограничения, наложенные выше на функции )с, с=О, п, Ф(х), а(1), () (1), с помощью формулы конечных приращений Лагранжа и оценки (8) из (1!) имеем Л,/(и) = ~ ~((Н„, Лх)+(Н, Лх,)+(Н„Лхс)+ е +(Н„, й) — (ср, Лх,с)) сЬс11+ +(Ф„(х(й 7')), Лх(1, Т))+)т, (12) где остаточный член Й удовлетворяет условию (Рый Я вЂ” с.О при 1й'ы — с-0; (13) частные производные Н„Нр, Не, Н„в (12) вычислены в точке (х(ь, 1), х,(з, 1), х,(з, 1), и (з, 1), з, 1, ф(з, 1)).
Преобразуем первые три слагаемых в (12) интегрированием по частям с учетом условий (7). С помощью теоремы Фубини 111, 157) получим ) ) (Н„Лх) с(з с(1 = е с с с --((((„;('сс ссс с*см, ~с)~.)~,- 1о =$~($Н„Д, 1)с(в, Л,(з, 1~)~)с( с(1= е гс =~~(~ ~Н„Я, т)($ (т, Лх„(з, 1)) (з (1: т (Н Лх ) с(з Й с( с( ~~ Нр (з т) с(т Лх с (з 1)) ~Ь с(1 е $ $(Н„Л,) ( и=$$($Н,Д, 1) (Ь, Лх„(з, 1)) Ь (1. 166 Кроме того, в силу условий (7) имеем ! гг Лх(1, Т) =~ Лх,(а, Т) д$=~ ~ ЛхмД, т) <ЦНт= о оо =~~Ах„бзй, поэтому (Ф„(х(1, Т)), Лх(1, Т)) =~(Ф„(х(1, Т)), Лх„(з, 1)) йй.
Подставим полученные равенства в формулу (12). Будем иметь т Л,7(и) = ~ ~( — ф(з, 1)+Ф,(х(1, Т)) +~ Нр(з, т) дт+ е т~ + ~ Нз($, 1) ~15+~ ) Н ($, т) й$дт, Лх„(з, 1)) сЬс(1+ +~)(Н,(з, 1), й(з, 1))дзй+й. (14) е До сих пор ф=ф(з, 1) была произвольной функцией нэ (.,"Я). Теперь выберем эту функцию так, чтобы т 3 ф(з, 1) =Ф„(х (1, Т))+ ~ Нз(з, т) дт+ ~ Нз(3, 1) д" + Ф т~ +~ ) Н„($, т)икот, (з, 1) вы~. (15) Так как в (15) Н,(з, 1), Н,(з, 1), Н (з, 1) представляют собой частные производные Нр, Н„Й„функции (10), вычисленные в точке (х (з, 1), х, (з, 1), хз (з, 1), и (з, 1), з, 1, ф(з, 1)), причем Н(х, р, д, и, з, 1, ф) линейно зависит от переменной ф, то (15) является линейным интегральным уравнением относительно ф (з, 1).
Уравнение (15) аналогично уравнению (5), н сушествование и единственность его решения ф(з, 1) =ф(з, 1, и) прн сделанных выше предположениях доказывается аналогично тому, как доказывалась теорема 6.(.1 в [4). С учетом условия (15) из ((4) имеем Ы (и) = ~ ~ (Н, (з, 1), й (з, 1)) з(з й+ Р. (16) о 157 Отсюда и из условия (13) следует, что функция (1) дифференцируема и ее градиент равен Г (и) = На (з, !) = Н„(х (з, (, и), х, (з, 1, и), х, (з, (, и), и (з, !), и, (, тр (з, (, и)). (17) Подчеркнем, что при выводе формулы (16) исходные функции !о, ( предполагались такими, что Н„(з, () е-:(,'(О). Предлагаем читателю самостоятельно выписать, пользуясь формулой (17), необходимые условия оптимальности в задаче (1) — (4) для выпуклого множества (У, сформулировать условия существования оптимального решения, условия выпуклости и сильной выпуклости функции (1), дать описание градиентного метода, методов проекции градиента и условного градиента.
У п р а ж н е н и я. 1. Получить формулу (17) для градиента, сведя задачу (1) — (4) к задаче вида (9.1) — (9.6) и пользуясь результатами й 9. 2, ! олучить формулу градиента в задаче (1) — (3), считая, что и (з, () ни (з) ш 1„' 10, 11 или и (з, Г]сии (() я Ез [О, Т), или и(з, ()си яш е Е 3. Применить метод штра~нмх функций к задаче (1) — (4) при ограничениях х(з, () ~ (1 или 'хг (з, 1) !(1, г=!, л, или ) ~ , 'х(з, (),з г(з г(г(1 найти градиент штра(ной 4ункции. е 4 Гформулировать и доказать прннцип максимума для задачи (1) — (4), считаи, что ьГ=(и(з, () шьз'(()): и(з, () Я У почти всюдУ на ф где У вЂ” заданное множество из Ег 1921. ГЛАВА 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ При численном решении прикладных задач важное значение имеет тот факт, будет ли решение рассматриваемой задачи непрерывно зависеть от исходных данных или, иначе говоря, будет ли искомое решение устойчивым по отношению к возмущениям входных данных.
Если решение устойчиво по входным данным, то можно быть уверенным в том, что достаточно малые погрешности в задании входных данных приведут к малым погрешностям в определении решения. Иное дело решать неустойчивую или, как говорят, некорректную задачу, решение которой не является непрерывно зависящим от входных данных: в этом случае приближенное решение задачи, отвечающее неточным входным данным, может как угодно сильно отличаться от искомого точного решения. Между тем некорректные задачи возникают в самых различных областях физики, техники, экономики и т.
д. !17~, и возникает важная проблема: как численно решать такие задачи? Основы теории и методов решения некорректных задач заложены в работах А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева и др. К настоящему времени создана достаточно полная общая теория некорректных задач, созданы приближенные методы решения таких задач, с помощью которых успешно решены и решаются многие прикладные задачи. По поводу общей теории некорректных задач и ее приложений, а также библиографии по этим вопросам отсылаем читателя к !17, 105).
Здесь мы рассмотрим методы решения некорректных экстремальных задач; по этим вопросам см. обзорную статью !212~ н библиографию к ней, а также !1О, 21, 43, 44, 55, 57, 58, 61, 64 — 68, 80, 90, 105, 109, 117, 118, 143, 160, 161, 163— 165, 206, 211, 218]. 169. й 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу ,1(и)-+ 1п1; и ~ У, (1) где У вЂ” заданное множество, функция у(и) определена на У. Следуя [!7), будем различать два типа задач минимизации. К задачам первого типа отнесем те задачи (1), в которых ищут величину /, !п12(и), не интересуясь тем, достигается ли нижняя грань функции у(и) на множестве У в каких-либо точках или не достигается. В задачах второго типа наряду с (, ищется также точка и„ в которой у (и) достигает своей нижней грани на множестве У, т.
е. и,„еиУ„(и: иенУ,,!(и)=1„,). Для краткости задачу йервого типа ниже будем именовать задачей 1, а задачу второго типа — зайтчей 1!. В задаче 1 естественно предполагать, что )".э сс, а в задаче 1!, кроме того, У,*~ ф, Получить точное решение этих задач возможно лишь в редких случаях. Учитывая это обстоятельство, полезно дать другую более удобную в приложениях формулировку задач !, П. Задача !.
По заданной точности а~О найти число ,(, ~акое, что (,(,—.(„(~е. (2) На практике в качестве ), часто берут значение функции 1(и) в каких-либо подходящим образом выбранной точке и, ен У, т. е. у(и,) (,. Приближенное решение задачи 1! предполагает, что вместо точки и, можно ограничиться нахождением точки и енУ, которая близка ко множеству У„и для которой !.Г (и,) — У, ~ ~ е. Здесь, однако, возникает вопрос, в каком смысла следует понимать близость точки и, ко множеству У,? Мы будем предполагать, что на множестве У введена некоторая метрика р, и близость точки ко множеству У, будем оценивать в этой метрике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
