Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 30
Текст из файла (страница 30)
$ 2. Стабилизатор В не~одах регулярнзацин некорректных экстремальных задач важную роль играет понятие стабилизирующей функции нли, короче, стабилизатора, О и р е де л е и н е !. Функция ь) (и), определенная на непустом множестве (Уо ы (/, называется стабилизатором задачи (!.!) в метрике р нлн, короче, р-стабилизатором, если: !) () (и) )0 пРн всех и ~(хп[ 2) множес!но ь)с=[и: ия(/ц, ьа(и](С] является ркомпактным прн любом С=сонь[)0, т. е. нз любой последовательности (и»] ен ь)с можно выбрать подпоследовательность [и» ~, р-сходящуюся к некоторой точке и ен ьзс] 3) множество (»о»=()о П(у, непусто, Ниже будет показано, что методы регуляризацни позволяют получить для задачи (!.!) минимизирующие последовательности [иа], принадлежащие множеству ь)с при некотором достаточно большом значении константы С.
1б5 Свойство 2) стабилизатора тогда будет гарантировать ркомпактность (и,), а из сво;"ства 3) и свойств непрерывности минимизируемой функции /(и) будет следовать рсходимость (ил) к У,. Заметим, что свойство 3) требует выбора такого стабилизатора, согласованного с задачей (1.1), чтобы область определения стабилизатора была достаточно широкой и содержала хотя бы одну точку минимума. Впрочем, втех случаях, когда У, Ф ф, Уо =†(/, свойство 3) есегда выполняется, так как тогда Уй —= У„. Наряду с понятием р-стабилизатора задачи (1.1) ниже нам понадобится понятие слабого стабилизатора. Определение 2. Функция 11(и), определенная иа непустом множестве Уо: — У, принадлежащем банахову пространству В, называется слабым стабилизатором задачи (1.1), если: 1) й(и) )0 при всех и ~ Ус', 2) множсство г)с = (сл и с= Уп, й (и) -- С) слабо компактно при любом С)0, т.
е. из любой последовательности (и„) ен 1)с можно выбрать подпоследовательность (и, ~, слабо в В сходящук:ся к некоторой точке о ~ 1)с; 3) множество Уй = 1/и () У„непусто. Приведем примеры функций 11 (и), которые могут служизь стабилизаторами в некорректных задачах минимизации (1.!) в основных часто встречающихся в приложениях пространствах. Пр и м е р 1. Начнем с евклидова пространства Е Пусть требуется минимизировать функцию /(и) на замкнутом множестве (/ ~ Е, пусть множество точек минимума (/„непусто. В качестве стабилизатора этой задачи можно взять функцию т и (и) = ~ и ' = ~ч ', ! и' " Эта функция определена и неотрицательна на Е"'. Положим Уп =У.
Множество ()с = (щ и ~ Уц, 1' (и) « С) замкнуто, ограничено и, следовательно, компактно в метрике Е при любом С)0. Наконец, У$=У () Уп = =и. р ф. Стабилизатором здесь могут служить также функции й(и) =',и ~, 11 (и) = ~ и — й ~' или, в более общем виде, П1 () (и) = (и — и, Р (и — и)) = ~ч~ р;, (и' — и') (иг — и/), ч /'=~ 1вб где й=(й'...,, й'") — заданная точка из Е", Р=(р„)— заданная положительно определенная матрица. П р и м е р 2. Пусть рассматривается задача минимизации функции l(и) на выпуклом замкнутом множестве У из гильбертова пространства Н; пусть У, ч~ ф.
В качестве слабого стабилизатора этой задачи можно взять функцию й(и)=)и — йР, где й — заданная точка из Н. В самом деле, й(и))0 при и я Уп = У. Далее, множество йс = (и: и й/, й (и) ( С) выпукло, замкнуто, ограничено, и следовательно, слабо компактно в Н (см.
теорему 1.3.4). Наконец, Уй =У„~ ф по предположению. Отсюда следует, что в пространстве Е,"(1„, Т) слабым стабилизатором могут служить функции й (и) = г т = ~ / и(1) 1'Ж или й(и) =~1и(() — и(1)~'й, где и(1)— ь заданная функция из Е '(1,, Т)'. П р н м е р 3. Рассмотрим примеры стабилизаторов в метрике пространства С,(а, Ь). Заметим, что банахово пространство С,(а, Ь] г-мерных непрерывных вектор- функций и(()=(и'(1), ...„и'(1)), а(1(Ь, с нормой ~ и )с = )пах ~ и (1) ~ не является рефлексивным. а<1<э Пусть У вЂ” множество из С,(а, Ь), замкнутое в метрике этого пространства, пусть множество У„точек минимума функпии э'(и) на У непусто.
Предположим, что Уэ содержит хотя бы одну точку и,(1) ~Н,'(а, Ь) (обозначения см, в э' 1.1). Рассмотрим функцию й ( и) = ,', и (,', = ~ (( и (1) ~'+ ! и (() ~') й О на множестве Уп = УП Н,'1а, Ь]. По Условию множество У„()Н)га, Ь) непусто. Следовательно, непусты множества Уп и Ур = У . ДУо. Кроме того, й (и) )0 на Уи.
Покажем, что множество йс=(и: ие-=Уп й(и) <С) компактно в метрике С,(а, Ь) при любом С)0. В самом деле, из неравенства й (и) = С следует существование хотя бы одной точки 1, ен(а, Ь) такой, что ~ и(11)1((С(Ь вЂ” а)-')'". 167 ! Тогда ~и(1) ~ = [и(т) ь(т+и(1!) ~(С(Ь вЂ” а)-')'"+(Ь вЂ” п)"гм !, х (~1и(т) гат)'!' ((С(Ь вЂ” а)-!)'!'+(С(Ь вЂ” а))' '=сопз1 для любой функции из 11. Далее, имеем [и (1) — и(т); = (ь ~ !!г ~ и (з1 г(э --- ( 1 — т,"г ', ~ ( и (а) 1г г(з) ( (С (1 — т !) ' 'г 1! ~а для всех и (1) я Рс. Таким образом, множество функций 1)с равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь1.
Из теоремы Арцела ([11), стр. 110) тогда следует, что из любой последовательности [иь(1)) ен Пс можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой непрерывной функции и(Г) равномерно на отрезке [а, Ь[. Убедимся в том, что и(1) ~ Пс. Прежде всего, так как иь(1) ~(/, й=!, 2, ..., а () замкнуто в метрике С,[а, Ь1, то и(1) ен (). Остается показать, что и(1) ен Н,'[а, Ь) и Р(и) (С.
С этой целью заметим, что из ьь (иь) ( С, й = 1, 2, ..., следует, что 11иьП,, ( С, т. е. !иь(1)) слабо компактно в С',[а, Ь[. Поэтому, выбирая при необходимости последовательность и произведя пере- нумерацию ее членов, можем считать, что сама последовательность '!иь(1)[ сходится к и(1) в метрике С,[а, Ь[, а ее производная [иь(1)) сходится к некоторой функции п(1) ~Ц[а, Ь) слабо в Ь„'[а, Ь1.
Нетрудно видеть, что п(1) =и(1). В самом деле, иь(1) удовлетворяют интегральь ь ному тождеству: ~',и„(1), 2(1))Ж= — ) (и„(1), г(1))г(1, а а й = 1, 2, ..., для любой бесконечно дифференцируемой функции а(1), обращающейся в нуль на концах отрезка [а, Ь[ вместе со всеми своими производными. При й-~со ь ь отсюда имеем тождества ~ (и (1), а (1)) г(1 = — $ (и (1), ь а а(1)) !11, которое о-пачает, что и(1) существует и и(1) = =о(1) ~-Е,„'[а, Ь). Тогда !иь(1)!-ь-и(1), и(1) ен Н)[а, Ь[, и в метрике С,[а, Ь1, (йь(Г)) -ьй(1) слабо в 1!г[а, Ь]. Это значит, что (и„— и, Дн — — ~ ((и„— ц, ))+(ия — и, г)) Ж вЂ” « а -«О при й- со для любой функции 1'(1) е- =Н)(а, Ь), т. е. (и„(1)) сходится к и(г) слабо в Н,'(а, Ь).
Но в гильбертовом пространстве Н,'(а, Ь) шар (11(и)=ЦиЦ,', «=С) слабо замкнут, поэтому из 1) (ие) =аС, й=!, 2, ..., следует, что 11(и) ( С. Этим завершается доказательство компактности множества 1)с в метрике С,(п, Ь) при любом С- О. Таким образом, функция 11 (и) = ~1иЦц~ удовлетворяет всем требованиям определения 1 и может служить стабилизатором задачи минимизации в метрике С,(а, Ь). Заметим также, что нз приведенных рассуждений следует, что из слабой сходимости некоторой последовательности (и,(Г)) к и(1) в Н,'(а, Ь] следует ее сходимость к и(1) в норме С,(а, Ь|.
В самом деле, если последовательность (иь(Г)) с= Н)(а, Ь) и слабо в Н,'(а, Ь) сходится к некоторой функции и(1)., то она ограничена по норме Н,'Га, Ь), т. е. зцр()(и~)-=.С при некотором С)0. Это А>! значит, что (ия(1)) ен Ос. Остается повторить рассуждения, аналогичные вышеприведенным, и убедиться, что (и„(1)) сходится к и(1) в метрике С,(а, Ь). Примерами более обших стабилизаторов в метрике С,(а, Ь) являются функции ь Ц) (и) = Ц и — й 11';, = ~ (,' и (1) — и (1) ~'+ ~ и (1) — Й (1),") й, а а 11 (и) = $ (А (1) ' и (1) — й (1),"+ д (1),~ и Д) — й (1) ) г(1, а где и (1) — заданная функция из Н,'(а, Ь); й (1), ) (1)— положительные непрерывные функции на (а, Ь).
Пример 4. Рассмотрим другой класс стабилизаторов в метрике С,(а, Ь). Обозначим через С~(а, Ь) банахово пространство непрерывных вектор-функций и И) (и'(1),... ..., и'(1)) с конечной нормой циЦ = гпах 1и(1) + знр с~ а 1(ь с тм(а,м где у= сопз1, 0(у( 1, Пусть У -множество из С,(а, Ь), замкнутое в метрике этого просгранства; пусть множество У точек минимума 169 функции й(и) на У непусто и содержит хотя бы одну точку и„(() ен С) [а, Ь]. Рассмотрим функцию й (и) = 1(и(1 на множестве Уи=У()Ст[а, Ь]. По условию множество У, () Ст [а, Ь] непусто. Следовательно, непусты множества Уа и Уп = У„ПУп. Кроме того, й(и) )О на Уя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
