Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Строгое обоснование метода Тихонова с указанием условий согласования параметров а„е» дается в следующей теореме. Теорема 1. Пусть функцигг л'(и), »г(и) и множество (г уьовлетеорягот условиям 1), 2) леммы 4.1 или 185 леммы 4.2, а последовательности (а,), (еь) положительны и 1пп а„= 1!гп е„=О, апр е,а~'(со. ь сс ь со г>1 Тогда последовательность (иь), определяемая усло- виями (2), минимизирует функцию,/ (и) на (/, р-регулярна и р-сходится ко множеству (/а = (/а () (/„. Если, кроме того, 11гп еь/аь=О, (г (и) р-полунепрерывна снизу на (/а, то справедливы соотношения 1!гп Й (иь) = !) =!п1 Й (и), оа (3) 1'пп о (и„(/, „) = О, где (/ьь — множество Р-нормальных решений задачи минимизации /(и) на (/.
Доказательство. Достаточно показать, что последовательность (и„) из (2) удовлетворяет условиям (4.1), (4.2) из основных лемм о регуляризации. С этой целью возьмем произвольную точку и, ~ (/а н напишем следующую цепочку неравенств, вытекающую из определения,/„, Т;, неотрицательности (1(и), (аь) и условия (2): /,=,/(и„)(,/(иь)---,/(иь)+ага(иь)=Ть(иь) ..Т,'+е„=. ( Т, (и,)+ е„= /(и,)+ага (и„)+ е, ==. (/(иь)+ага(и,)+ею й=1, 2, ... Отсюда имеем: а,С/(и,)(аЯ(и„)+ е, или (г(и,) ( (1 (ив) + + е,а„', й = 1, 2, ... Последнее неравенство верно для любого и„~ (/а, поэтому, переходя в нем к нижней грани по и, ен(/а, получим: !г(и,) (Йч+у,, где у„=е а,', й= 1, 2, ..., Неравенство (4.2) доказано.
Вторично обращаясь к выведенной выше цепочке неравенств, будем иметь /„---,/(и„)-.= / +аьР(и )+еь прн любом выборе и„ен(/а. Поэтому /, (./(иь) (/, +()ю где ()я=а,()„, -1- +ел-з-О при й-э-оэ. Неравенство (4.1) также доказано. Имея неравенства (4.1), /4.2), с помощью леммы 4.! или леммы 4.2 получаем все утверждения теоремы !. 2. При описании и исследовании метода Тихонова выше предполагалось, что значения функций /(и), !1(и) в каждой точке и ен (/и нам известны точно. Однако в практических задачах вместо функций /(и), Й(и), как правило, приходится иметь дело с их приближениями /„(и), (1„(и), /! =-1, 2....
Будем предполагать, что погрешности в задании функции /(и) согласованы со стабилизатором !Вб й (и) в следующем смысле: ! 2 (и) — 2» (и), '< 6» (1 + й (и)), и ен У , й = 1, 2,..., (4) где (6») — некоторая неотрицательная последовательность, стремящаяся к нулю. Пусть, кроме того, вместо точного значения стабилизатора й(и) нам известны его приближения йд(и) «О, й= 1, 2, ..., причем ! й (гг) — йд (и) ! < тд (1+ й (и)), и ~ ()и, й = 1, 2, ..., (5) где (тд) — некоторая последовательность, такая, что 0 < ~ тд < 1, гг = 1, 2, ... Условие (5) при больших значениях й (и) характеризует собой относительную погрешность в задании этой функции, так как тогда ! йд (и)(й (и) — 1 ! ( эд (1+!/й (и)) гд, гг = 1, 2, ...
Наличие в правой части неравенств (4), (5) слагаемого ! огравдаио тем, что возможны малые значения й(и) нли даже й (и) = О, и замена ! + й (и) на й (и) в (4), (5) тогда привела бы к чрезмерно жестким требованиям на точность задания функций l (и), й(и). Тихоновская функция в рассматриваемом случае имеет вид Тд (и) = 2» (и) + адйд (и), и ~ (/а. (6) Метод стабилизации будет заключаться в нахождении последовательности (ид) из прежнего же условия (2), где под Тд(и) вместо функции (1) теперь будет подразуме- ваться функция (6). Для того чтобы получаемая при это»! последовательность (ид) минимизировала l (и) на (l, была р-регуляр~ой, здесь уже нужно обеспечить согласованное изменение четырех величин аы е„ 6,, эд.
Условия согла- сования этих величин и о'юснование метода стабилизации дается в следующей теореме. Теорема 2. Пуслгь множество У и функцли 2(и), й (и) удовлетворяют условиял! 1), 2) леммы 4.1 или лемлгы 4,2, приближенные значения /д(и), йд(и) этих функций удовлетворяют неравенспигам (4), (5), а последовательности (ед), (6»), (ед), (ад) из (2), (4) — (6) таковы, чгго ед)0, бд«0, тд«0, ад>0, 6=1, 2, ..., 1(гп ед = 1!гп 6» = !ггп ад = О, д о» д»» д»» зпр ед(ад < оо, ьцр (»д -1- 6»)ад) <!.
д>! д>! 187 Тогда последовательность (и»), определяемая условиями (2) для функции (6), минимизирует 3 (и) на (/, р-регулярно и р-сходится ко множеству (/б = (/а () (/,. Если, кроме того, 1'ип (т»+(е»+б»)/с»») =О, Й(и) р-полу- непрерывна на (/а, то справедливы соотношения (3). Л о к а з а т е л ь с т в о.
Из неравенств (4), (5) и определения (6) функции Т,(и) имеем ~ /(и)+а»й (и) — Т»(и) ! =а„р»(1+й(и)), и »= 1/а, (7) где р»=т»+б»а»', /;=1, 2, ... Тогда Т,(и).=-/(и)+ + а»(1 — р») й(и) — а»р» при всех иен(/а, /г= 1, 2, ... В силу условий теоремы О ~ р, ( 1, й (и) ) О и / (и) ~ /„ при и ен(/а, поэтому Т (и)» /„— знра»р»> — ое, и ен(/о, т. е. величина Т»=)п!Т,(и) конечна для всех/г=1, 2, ... иа Из конечности Т, "и определения нижней грани следует существование последовательности (и»), удовлетворяющей условиям (2).
Покажем, что для последовательности (и») имеют место неравенстга (4.1), (4.2) из основных лемм о регуляризации. Во ьмем произвольную точку и„е:-. (/б и напишем следующую цепочку неравенств, вытекающую пз определения /, Т», неотрицательности й (и), (а»), (е»), (б»), (е») и соотношений (2), (7): /л = / (ил) ( / (и») ~ / (и») + а»й (и») ( ( Т» (и») + а»о» (1 + й (и»)) ( Т»+ е»+ а„р» (1 + й (и»)) ( ( Т» (и„) + е»+ а»р» (1+ й (и»)) ( / (ил) + а»й (и„) + + а»р» (1 + й (и„)) + е»+ а»р» (1 + й (и»)) к=- "/(и„) + а„(1+р») й (и„) +а»р»й (и») + е»+ 2а»р», (8) я=1, 2, ... Отсюда имеем: а»й (и„) (а» (1+ р,) й (и„)+ а»р,й (и») + -1- е»+-2а„р» нли й (и») ( !(1+ р») й (ил) + 2 (р»+ е»а»')) (1 — р»)-', )»=1, 2, ... В силу произвольности и„е= (/а" нз этого нсравенства получим оценку й (и,)-= й,-(-у», где у»=2(р»(й„+1)+е»а»')х х(! — р»)-', /г=1, 2, ...
Неравенство (4.2) доказано. Вторично обращаясь к цепочке неравенств (8), с учетом произвольности и„ец(/а и уже доказанной оценки 188 (4.2) имеем ' У„» У(и„)» У, + р„, й) 1, где =аь[(1+рь)11 +р„(!1„+у„+2Д+еьс-юО прн й — ~-оо. Неравенство (4.1) также доказано. Имея неравенства (4.1), (4.2), с помощью леммы 4.1 или леммы 4.2 получаем все утверждения теоремы 2. 3.
Из проведенного исследования метода стабилизации видно, что условия зпр еь/и„ »'со в теореме 1 и ю>! зцр(ч,+бь/а~)»1, зцр еь1аю»со в теореме 2, обесй>1 ь >! печивающие согласованное изменение параметров (аю), (е„), (бь), (чю), играют важную роль в получении р-регулярной минимизирующей последовательности, а условия ! пп еь/а, = 0 в теореме 1 и 11ш (ть+ (ба+ е„)/а,) = 0 в тео- Ю сю Ф сю реме 2 существенно используются при доказательстве р-сходимости построенной последовательности ко множеству (з-нормальных решений.
Возникает вопрос, ье слишком ли ограничительны принятые условия согласованного изменения параметров метода и нельзя ли их ослабить? Покажем, что эти условия близки к необходимым и существенно ослаблены быть не могут. С этой целью обратимся к задаче из примера !.!. В качестве стабилизатора возьмем функцию 1!(и) = (и+ 1)'. Тогда Й-нормальное решение задачи единственно и равно и, = — 1. Очевидно, функции У(и), 1!(и) удовлетворяют всем условиям теоремы 1 в метрике Е'. Возьмем а,=-й-ю, е„ = 2й-', иь = й, й = 1, 2, ...
Тогда 0 = Т~(=-с Т„(и„)- .-=аз(1+й1)-'+Ф-'» 2й-'=егю то есть условие (2) выполнено. Однако ,'и,) не сходится к (/, в метрике Е'. Заметим, что здесь ею/аь= 2лю, так что условие зир е,(х,»оо ю>1 нс выполнено. Далее, возьмем мь=/г-', е,=51 ', и„=/г-', /г=1, 2,... Тогда 0 < Та(ию)» !сю(1+14! '+4)с'~ < 5й з=- =-е,, то есть условие (2) выполнено. Кроме того, 1!гп ию= =0 ен (/„, так что (и,) сходится к (/, в метрике Е'.
Однако (иь) не сходится к нормальному решению и„= — !. Здесь хотя и ею/а,=б, то есть зир е„~а,=5(оо, но ь>! нарушено условие !пп е~!а„=О. Ф сю Обратимся еще к примеру 3.1, в котором для задачи минимизации /(и) =(О и — О)' на (/=Е' ищется 1)-нор мальное решение при Р (и) и'. Пусть вместо точного значения /(и) известны его приближения lа (и) =(аьи — Ь|)', 189 где [а»[«о„[Ь»[«о», А=1, 2, ..., !ип п»=О. Тогда [2(и) — з»(и) [«о»э(~ и[+1)з«20»з([+и'), так что оценка (4) выполняется прн б» = 20». Значения стабилизатора ьз (и) = и' для простоты будем предполагать нзвестнымн точно.
Нетрудно подсчитать, что нижняя грань тихоновской функции Т, (и) = (а,и — Ь»)э+а»из на Е' равна Т„' =а»Ь» (а»+ а»э)-з, а последовательность и,=а»Ь» (а»+а»)-'+ +(е»(а»+а»)-т)')з, й=!, 2, ..., удовлетворяет условию Т,(и,)=Т*„+е„й 1, 2, ... Если, в частности, и„=Ь»:= =о», то и»=ор(а»+о»)-'+(е»(а»+а»ч)-т)!гз, й=[, 2, ... Эта последовательность удовлетворяет условиям (2) н вполне может быть результатом применения метода стабилизации к рассматриваемой задаче. С учетом связи 6„-20» перепишем выражение для и„в виде и„=б»а»'х Х(2+б,а»')-'+(2е»а»'(2+б„а»')-')их, й=1, 2,...
Отсюда следует, что для компактности (и») нужна ограниченность последовательностей (б»а»'), (е»а»'), а для сходнмости (и») к нормальному решению и„=О необходимо, чтобы 1ип (б»+ е») а»' = О. Из этого примера видно, что условия согласованного изменения параметров, принятые в теоремах 1, 2 не могут быть существенно ослаблены. 4. Следует, однако, отметить, что на практике погрешность задания исходных данных обычно бывает фнкснрованнон н не может быть сделана сколь угодно малой. В частности, условие стремления к нулю последовательности [6») нз (4) выполняется лишь в редких случаях н является весьма жестким требованием к задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
