Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 37
Текст из файла (страница 37)
С„( сю, н нз опенки (1.2.18) при и = О, и+я=о получим ьир .к(т, о)(с==-Сб здесь и ниже через иао ффСге ... обозначаются положительные константы, не зависящие от пяб!, 0=1, 2, ..., 1~[1„Т). Тогда ( Лха(1) ~ ==С,Д) Лх,(т)! г)т+о!,Сд, 1о )~Т, 1=1, 2, ... Отсюда с помьощью леммы 1.2.2 получим, Лх„(1) (-=С!о„, ~,()=-.Т, 1=1, 2, ... 1(ля приближенной функции /„(и) =~х„(Т, и) — д„~' будем тогда иметь: /„(и) — У(п) (.= = !(Лхь(Т) — (д, — д), х„(Т, и)+х(Т, и) — да — д) (-." ~ох(С,+1) (/хь(Т, и) !+',х(Т, и) /+/дь !+1д ) == ~ оь (С4+!) ((2С!+ 2) ~ д ! + 2оь) С!о, = С,,о! (1-1-! и ~!,,), так что погрешность согласована со стабилизатором в смысле неравенства (4), 200 Минимизируя с помощью какого-либо метода функциго г Тихонова Т,(и) =~х„(Т, и) — уа,"+аа~[м(()(зс[г на множестве (I, найдем иа(() ~ (т' из условия Ть (иа) == [и[Т (и)-';ею и й=1, 2, ...
Если (еа), (оь), (аь) удовлетворяют условиям теоремы 2, то (и„(()) сходится в метрике Ц[(„Т) к ь)-нормальному решению ие ((). Если хотя бы одно оптимальное управление рассматриваемой задачи принадлежит Н, '1(„Т), то можно взять т стабилизатором функцию ь) (и) = $ ((и (() !'+(и (() !е) с(1 = ! = ( и ['„! н с помощью метода стабилизации построить минимизирующую последовательность (иа(()), сходящуюся к ь)-нормальному решению в метрике Н,'[(„Т) и, тем более, в метРике С,[(е, Т) ПРедлагаем читателю самостоятельно исследовать возможность применения метода Тихонова к задачам оптимального управления нз Я 1.5— !.10 для построения последовательности, сходящейся ко множеству точек минимума пли к о-нормальному решению в метриках рассматриваемых в ннх пространств.
У п р а ж н е н н я. 1. Нарисовать графин тихоновской фушсцнн Та(и)=из(1+от] а+азиз для задачи минимизации функции з'(и] = = пз(1+и4] г на (?? Ет. Показать на этом графике, подла получения регулярных минимизирующих последовательностсй нз условна (2] необходимо согласованное стремление к нулю пар„метров ма, еь 2. Выбрать подходящий стабвлнзатор для задачи нз примера 1.2 н указать метод построения минимизирующей последовательности, регулярной в метрике Еа[0, 11.
3. В задаче нз примера 1 3 взять стаонлнзатор П (и)= ' и !и, (см, пример 2.3) н выяснить возможность применения метода стабнл,'гзацнн для построения минимизирующей последовательности, регуляр. ной в метрике С [О, 11. 4. Выяснить характер сходнмостн (раввомерно влн в среднем) производной минимизирующей последовательностн для задачи нз примера !.4, если в качестве стабилизатора велты Г](и] =)и )ы, нлн (](и) ='!и ! з, р (см, примеры 2.3 н 2.5), а минимизирующая после- 1 довательность построена методом стабнлнззцнн, 5, В задаче нз упражнения 1 3 взять стабилизатор (] (и) = = 1! и (!),!зс(!.
В какой метрике н к как й точке тогда сходится поспей довательность, построенная методом стабилизация? 201 6 В задачах из упражнений 1.4 и !.5 взять стайилизатор () (и) = а ь =- ( ~ и (1) е гп или (2 (и)==) (! и(1) а+,и((),') г(Г. В какой метрике и Ь а к какой точке будут сходиться последовательности, построенные методам стааилизацииу 7, Применить метод стабилизации к зздачам из упражнений 3,2 — 3.4, выбирая в качестве иа точку минимума тихоновсной функции; исследовать сходимость. 8.
Пусть з (и) — выпуклая полунепрерывная снизу функция на выпуклом замкнутом ограниченном множестве (Г из гильбертовз пространства Н, (2(и) =!,'и,"!. Йыяснить возможность применения метода стабилизации для поиска ()-нормального решения задачи минимизации з (и) на (у. 9. Пусть и †точ минимума функции То(и) = )Аи — Ь!з-)-а(и з на Е" (обозначения здесь взяты из примера 1). Доказать, что тогда ! и — и, ! (а 'ой где о — решение уравнения (АьА)хи =Айй с минимальной нормой ((70), стр.
301; другие оценки для „' ил †1', где иа определяется из (13), см, в (1631, 4 24). !Ц Пусть фуниция Тихонова, определяемая формулой (1) при каждом Ь = 1, 2, ..., достигает своей нижней грани на 6 я хотя Оы в одной точке иа; пусть (г„' =(/ () (7„ непусто и (4(и) ) 0 при всех и гн(г Доказать, что тогда ()(иа) :- Р = !п((1(и), ь = 1, и'„ 2, ... У к а з а и н е: рассмотреть доказательство теоремы 1 при ва= о, 11, Какие методы можно использовать при минимизации функции Тихонова из задач примеров 1 — 57 9 6.
Метод певязки Опишем второй метод регуляризации некорректных задач минимизации — метод невязки. 1. Сначала для простоты остановимся на случае, когда значения минимизируемой функции /(и) и стабилизатор Р (и) известны точно. Для реализации метода невязки выбираются две положительные последовательности ()(а,', ()ьа), являющиеся параметрами метода, причем такие, что 1!т ть =1!гп )ьь = О, после чего берется множество )г, = (и: и ен (уп, з (и) « у, + ул) (1) и ищется точка иа, удовлетворяющая условиям (п1 г) (и) = ь)ь"'(()(иь)-=.ь)ьь-)-)гь, иа ен )га, м=1, 2, ...
(2) у„ Таким образом, в методе невязки минимизируется стабилизатор ь) (и) на множестве точек, в которых исходная функция l (и) принимает значения, близкие к своей ниж- 202 ней грани 2 на множестве (>'. Заметим, что множество (1) непусто, так как содер>кит множество (>'о=!) ПУо, не. пустое по определению стабилизатора. Поэтому существование точки и», удовлетворяющей условиям (2), следует непосредстненно из определения нижней грани Р ~и) на непустом множестве Г». Для получения величины У„ +у», входящей в определение множества (1), и точки и, из (2) могут быть использованы любые подходящие методы решения задач минимизации первого типа (см. задачу (1.2)).
Мы здесь ограничимся предположением, что при каждом й=1, 2, ... имеется хотя бы один достаточно эффективный метод поиска >' +у», и„поскольку дальнейшее изложение не зависит от используемых для этих целей конкретных методов. Поясним название метода невязок. Зтот метод первоначально применялся для минимизации функции 1(и) = =- р (Аи, 1), возникающей при исследовании уравнений Аи =Г, где А — оператор, действующий из некоторого метрического пространства (/ в метрическое пространство У, р(о, Г) — расстояние между точками о и Г" ~ ~/.
Величину > (и) = р (Аи, г) принято называть невязкой уравнения Аи=1". Если это уравнение имеет решение, то (п(,! (и) = ! = О, и множество Г» = (и: и ен У„, У (и) ()(») и состоит из точек, для которых невязка уравнения мала. В случае общей задачи минимизации Х(и) на У повязкой можно назвать величину г'(и) — 1„. Таким образом, метод невязок заключается в минимизации стабилизатора Й (и) на множестве точек из Ьа, для которых невязка мала.
Зто обстоятельство нашло отражение в названии рассматриваемого метода. Т е о р е м а 1. Пусть У (п), ») (и) и множество (I удовлетворяют условиям 1), 2) леммы 4.1 или леммы 4.2, а последовательноспш (у»), (р») положительны и 1)ш)(» = » о» =1'пп )»»=О. Тогда последовательность (и»), определяемая условиями (1), (2), минимизирует 3(и) на У, р-регулярна и р-сходится к множеству Щ=УоПУ» Если же, кроме того, »1(а) р-полунепрерывна снизу на (>'а, то последовательность (и») из (!), (2) р-сходится к множеству»г-нормальных регаений задачи минимизации ) (и) на (>, и !1ш !! (и») = »!» = )п1 !! (и). *»» ип 203 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Покажем, что последовательность (и»1 из (1), (2г удовлетворяет условиям (4.1), (4.2) лемм 4.1, 4.2. По опредэл нию величины Й при каждом у=1, 2, ... найдется точка о» ~(г'гг такая, что Й(о»)-= ==.Й,+й-'. В то же время олен Р„так как л'(о») = =- У. ~ l„+)(», й=-!, 2, .... Поэтому из (2) имеем Й(ггл) ~ Йло+)гл Й (о»)+)гл.
Й, +й +)㻠— = — = Й»+7», у=1, 2, ..., где ул=рл+)г ' )г=!, 2, ..., !гнп у»=О. Неравенство (4.2) получено. Далее, условие ил ~ Р'» в силу (!) означает, что У,„= У(и,)(У»+Хл, юг=1, 2, ..., 1нпХ»=О. » со Положив ()л = ул, отсюда придем к неравенству (4.1). Имея неравенства (4.1), (4.2), из леммы 4.1 или леммы 4.2 получаем все утверждения теоремы 1. 2. Теперь опишем метод невязки для случая, когда вместо точных значений з (и), Й(и) известны их приближения л'л (и), Й, (и) ) О, й = 1, 2, ... Будем предполагать, что погрешности в задании этих функций по-прежнему удовлетворяют условиям (5.4), (5.5). Возьмем положительные последовательности (у»), (р») со свойствами 1нп )(лоо!нп р»=0. Образуем множество 'г, аг» -со Г» = (и: и ~ (/ гг, lл (и) - г', + Хл) и определим точку ил из условий г н1 Йл (и) =- Й»» = Й» (ил) ( Й»»+ )г», ил еи Уи, й = 1, 2, ...
(4) Справедлива Теорема 2. )густ» 4ункции У(и), Й(и) и множество у удоя,гепгворяют условиям 1), 2) леммьг 4.1 или лелгмы 4.2, а ггоследовагпельности (бл), (тл), (Хл), (р») из (5.4), (5.5), (3),(4)таковы,чтоб»==О,ч„)О, Х»)О,р, О,1=1,2,..., 1нп 6, = 1нп тл = 1пп бгтл' = 1нп т» = !нп р» = О. Л., о»- » »- со» о» со Тогда последовательность (и»), определяемая условггями (3), (4), минимизирует г' (и) на У, р-регулярна и р-сходится к множеству Уй = У„П У .
Если, кроме того, Й (и) р-полун прерывна снизу на (/а, то шгследовательность 1и») из (3), (4) р.сгггдгггггся к множсспгвп Й-нормальньп реигений задачи минимизации на У, и 1нп Й(ил)=Й =-ш(Й(и). » со 204 Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что последовательность и„из (3), (4) удовлетворяет условиям (4.1), (4.2) лемм 4.1, 4.2. По определению 1?е при каждом /г найдется точка о».-= У',", такая, что 1? (о ) «(?» + й-', и = 1, 2, ... Кроме того, из 1!ш6»)(„'=О следует, что 6»(2+1?е) «Х» при всех й.=-.)го. Поэтому с учетом условия (5.4) имеем У» (о») = ( (о») + 6» (1+ (? (в»)) «У» + 6» (1+ (? + й-') ==.(»+6г (2+ 1?»)«?, +)(», lг)йо. Это значит, что г»ев ! го т.
е. множества )г» непусты при всех й =-..?го. По определению нижней грани 1?»(п).=О на непустом множестве !'» точка иы удовлетворяющая условиям (4), существует при всех /г "-= lга. Перепишем условие (5.5) в виде (1 — т») Й (и) — т» «1?» (и) «(1+т») 1? (и)+ты иенца, lг=!, 2,... (5) Так как 1!гп о»=О, то можем считать, что зцр ч»«+со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
