Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Е" 7 Ф. П. В»сссль»» а гь »2 У (и) = ) ~~ А (з, 1) и (1) г(1 — Ь (з)) г(э с а (14) на множестве (/=Е»[а, Ь), где [а, Ь), [с, г() — заданные отрезки, Ь(з) ~7.»[с, о1, А(з, 1) яЕ»Я), Я=((з, 1): с( (з-=.г(, а(1(Ь). Зта задача тесно связана с интегральным уравнением Фредгольма первого рода ь ~ А(з, 1) и(()Й=Ь(з), с~з(д, (15) а и является некорректной в метрике Ла[а, Ь1 (см. упражнения 1,4 и 1.5). Как известно (см., например, [17, 1051), уравнение (15), в общем случае, не имеет решения при каждом Ь(з) енй,[с, с»), а функция (14) достигает своей нижней грани не при всех Ь(з) а= Е,[с, о!.
Чтобы задача второго типа имела смысл для функции (14), мы будем предполагать, что при заданных А (з, 1), Ь(з) множество Уа = (и=и(1): и(1) енЕ»[а, Ь), У(и)=(пав/(и)) непусто. Поскольку У (и) выпукла и непрерыгна в метрике Е,[а, Ь), то У, выпукло и замкнуто в этой метрике, Кроме того, согласно теореме 1.3.5, тогда l(и) слабо 194 Если (е,), (и»), (о„) будут стремиться к нулю, причем !пп (е»+о,)а»' =-0 (считаем, что т, из (5) равен нулю » сю при всех й), то получаемая из (12) последовательность (и») сходится к»»-нормальному решению иа.
Поскольку в рассматриваемой задаче функция Т»(и) сильно выпукла и дифференцируема, то для определения точки и» вместо (12) можно воспользоваться условием Т» (и») = 2(А»А»и»вЂ” — А„"'Ь„-1-а»(и» вЂ” и)) =О, т. е. (А»А»+а»Е) и»= А»Ь»+а»ц, й= 1, 2, ... (13) Таким образом, метод стабилизации в этой задаче свелся к решению линейной алгебраической системы (13). Поскольку равенство (13) в силу теоремы 1.2.5 эквивалентно равенству Т,(и») = !п1Т,(и), то точка и» из (13) удовлеяа творяет условию (12) при е» вЂ” О.
Тогда, как следует из теоремы 2, при !пп а» = 1!гп о»а»' = 0 последовательность (и») из (13) сходится в метрике Е" к 11-нормальному решению. П р и м е р 2. Рассмотрим задачу минимизации функции полунепрерывна снизу в Еь[а, Ь!. В качестве стабилнзаь тора возьмем О(и)=~)и(()!»й=!и!г.,— зта функция пес отрицательна, сильно выпукла на 7»[а, Ь! и непрерывна в метрике Е,(а, Ь). Таким образом, функции з (и), !1(и) и множество 0=7.»[а, Ь1 удовлетворяют условиям леммы 4.2. ,1(алее, из теоремы 1.3.8 следует существование и единственность Й-нормального решения и, = и (Г) задачи минимизации функции (14) на 7.»[а, Ь). Будем предполагать, что вместо функций А(а, !), Ь(з) известны лишь их приближения А„(з, !) ен1.»(ф, Ь„(з)= =7.»[с, г(), /г=1, 2, ..., такие, что [А» — А[с,~ом !Ь» — Ь[ь,(о», о»)О, 7»=1, 2, ...; Игп о»=0.
(! 6) Тогда вместо точной функции 7(и) нам придется иметь агь дело с ее приближением 3»(и)=$[) А»(з, !) и (1) г(!в !Я с а — Ь»(з)/ дз. С помощью тех же выкладок, какие были использованы в примере 1, нетрудно показать, что /а'»(и) — У(и)!(4о»(!А!с,,+[Ь!ь,+о»)(!+[и(/а). (17) Это значит, что неравенство (4) имеет место при 6» = = 4о»(! А [ь,+[Ь [»а+ о»).
агь Составим функцию Тихонова Т,(и) = $ [$ А„(з, ()и(!) ьс с а ь хй — с »Г) с»а! 'Ф)сс с а ° с а метода минимизации при каждом )г=1, 2, ... определим функцию и,=и»(Г) ~ Ь»(а, Ь1 из условия Т»(и»)( !и! Т,(и)+е», Ь=-1, 2, ... г., [а, М Если (в»), (а»), (о») стремятся к нулю, причем 1!гп (е»+ » со .+о»)а,' = О, то согласно теореме 2 получаемая последовательность [и»(Г)) будет сходиться в метрике 1,»(а, Ь) ь к Й-норьгальному решению и, (г), т.
е. 1!ш ~ (и»(г)— "' а — и (с) )аг(!=0. 7" 195 Поскольку в рассматриваемой задаче функция Т, ьз) сильно выпукла и дифферепцируема, то функция и,=п,,~!) может быль определена из условия Т[(и) =О. Это условие с учетом формулы из примера 1.2.4 можно переписать в виде ~(~ Аь(з, Ь) А„(з, !)Аз~и(!)г(!+а„и ©= а (с =~Аь(з, $)Ьь(з)бэ.
(18) с Таким образом, метод стабилизации в этой задаче привел к интегральному уравнению Фредгольма второго родаКак следует из теоремы 2, при 1!ши„=!пи оьа,' =О пос. а со ь и ледовательность [иь(()], определяемая из уравнения (18), в метрике ?.,[а, Ь] сходится к зз-нормальному рсшени.о. ~1итатель, конечно, заметил, что задачи из примеров 1, 2 являются честным случаем задачи минимизации функции ,?(и) =[Аи — Ь!', где А — линейный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое. Общее исследование таких задач минимизации и связанных с ними уравнений Аи=Ь проведено в [!?, 105, 163] и др.
Пр имер 3. Предположим, что хотя бы одна функция и„= о„(1), а-=. ! ( Ь, доставляющая минимум функции (14) на (., [а, Ь], имеет обобщенную производную о„(1) ы (.,[а, 6]. Иначе говоря, пусть У„[) Н'[а, Ь] ~ (3. Тогда можно построить минимизирующую последовательность, схо ящу~сся к Н, равномерно или даже в метрике Н'[а, Ь].
ь Для этого нужно взять стабилизатор й(и)=](~и(()~'+ а + ~ и ((),") г(( = ! и~:„', определенный на множестве Уя = = Н'[а, Ь] ~ 1.,[а, Ь]=(). Так как Н'[а, Ь] — гильбертово пространство, то 0 (и) будет слабым стабилизатором в этом пространстве (см. пример 2.2) и стабилизатором в метрике С[а, Ь] (см. пример 2.3). Далее, из непрерывности функции /(и) в метрике ).,[а, Ь] следует ее непрерывность в более сильной метрике Н'„'а, Ь]. Отсюда и из выпуклости У(и) следует выпуклость и замкнутость в метрике Н'[а, Ь] множества Уо = У, () Н'[а, Ь]. 11оскольку !з (и) = ! и)'гт — сильно выпукла и непрерывна в метрике Н'[а, Ь], то по тсореьи !.3.3 !1-но)каальпое решение и,=и„. (!) существует и 196 единственно.
Таким образом, с (и), ьс (и) удовлетворяют условиям леммы 4.2 на множестве (с'=-Н'[а, Ь)=В. Предположим, что погрешности в задании функций Л (з, !), Ь (з) по-прежнему удовлетворяют условиям (16). Тогда с учетом неравенства ! и )ь,.- )сс!н из оценки (17) имеем ' Ль (и) — с (и) ! = 4о„( !! Л [ь, + ! Ь !ь, + с>с) (1+ ! и! сп), т. е. погрешность в задании функци>с согласована со стабилизатором в смысле неравенства (4). Функция Тихонова для рассматриваемой задачи имеет вид: а ь ,2 Т, (и) = ~(~ Л,(з, !)и(!)с(! — Ь,(з)~с(э+ с ~а ь + аь ') ( ( и (!) ь + ! и (!) !') с(! и (!) с=. Н с [а Ь), а При согласованном изменении параметров (оь[, (а„), (е,), как это требуется в теореме 2, последовательность (иь(!)), определяемая из условия Т,(л„)=:-!п! Ть(и)+е>ь /с=1, н'!а, М 2, ..., сходится к и„(!) в метрике Н' [а, Ь), т.
е. ь !!ш ~(,' иь (!) — и„(!) )ь+,'иь(!) — и, (!) ь) с(с=О. КакбылопоЬ оса казана в примере 2.3, тогда ',иь(!)[ сходится к иа (!) равномерно на [а, Ь). П р и м е р 4. Пусть требуется минимизировать функцию сс,)-1(1А с., с, . свисс с~) с. с а на множестве (>'=С[а, Ь1, где А(з, (, и) — непрерывная функция по совокупности аргументов прн (з, 1, и) ед ~[с, с()х[а, Ь!хЕс. Эта задача тесно связана с интегральным уравнением ~ А(з, 1, и(!))И=О, с~а.-.-с(, и, а вообще говоря, некорректна в метрике С [а, Ь1.
Рассмотрим возможность построения минимизирующей последовательности (иь(!)), сходящейся ко множеству точек минимума Н, в метрике С[а, Ь!. Естественно, предполагаем, что l „= !п! у (и) ) — со, (/а ч~ ф. Пусть, кроме того, с!а, ь> (/й=-сС,()Нс[а, !>)~9. Тогда функция О(и)=)и)ан = ь = ) (, сс (!) с'+ (и (!) !а) с!! является стабилизатором в метрике а 197 С[а, Ь! (см. пример 2.3). Ясно, что функции /(и), »1(и) удовлетворяют условиям леммы 4.1, когда метрика р задается нормой пространства С[а, Ь1, (у'о =Н'[а, Ь(~ У. Пусть вместо точной функции А (з, (, и) нам известны приближения А„(з, 1, и), причем ( А„(з, С и) — А (з, 1, и) (( =о,(1+ (и)), о»)0, й=1, 2, ...; 1(!по„=О.
Пусть, кроме того, (А(з, С и),'-=.С(1+(и(), С=сонэ!)О. Тогда для приближенного значения У» (и) = А )Ь 2 =!(!А,(, ), ()))с()су ау )() у с а (А у» ( 2» (и) — У (и) , '= ~ $ ( ~ [ А„(з, 1, и (!)) — А (э, 1, и (!)( й М с а уь Х () [А» (э, 1, и(!))+А (з, (, и(1)) й)((е «=. а А,Ь ь -!(!ъ()А-( ())()А( !( А-ус)().)- ())сс))с с,а а с (2 = о), (о» + 2С) (с( — с), ~ (1 + и (1) ) ) й~ ( ь съ(,с-уо(с — )() — )ь — -)-()((-,'-!) ())РА)) а ~ о„(о»+ 2С) ((( — с) (Ь вЂ” а+ 1)' (1 +( и 12)уу), т.
е. погрешность согласована со стабилизатором в смысле неравенства (4). Функция Тихонова А уЬ ,2 Т„(и) = ~ ~~ А„(ь, (, и(1)) й~ ь(з+ с ь + а» ~ (! и (!) )2+ ' и (() (2) й а определена на множестве ()',, = Н'[а, Ь). Пусть с помошью какого-либо метода минимизации при каждом й=!, 2, ... найдены функции и»(!) ен Н'(а, Ь( из условия Т,(и»)( (п1 Т, (и)+е„. Если при этом параметры (оь), (а»), (е»[ н (а, ь! согласованы так, как это требуется я теореме 2, полученная последовательность (и»(()) сходится ко множеству (/и !за в метрике С[а, (г]. В частности, если (/о состоит из единственной функции ио ((), то (ио(!)) сходится к и, (!) равномерно на [а, Ь).
Если в РассматРиваемой задаче По П Стс [а, б,' ~ с1), 0<. у=-1, то стабилизатором в метрике С[а, (г; можно взять !с(и) = ,'и(стс (см. пример 2.4). П р и м е р 5. Рассмотрим задачу минимизации функции 1(и) =!х(Т, и) — у!' (19) при условиях х (() = А (г) х (!) + В (!) и (г) + [ (!), (о <--. Г ~ Т; х (!о) = хо', и = и (() я (,с: — Б [(„Т~, (20) (21) 199 рассмотренную в Я !.2 — 1.4. Здесь всегда 1„ ~ О. Будем предполагать, что У„ ~ ф. Заметим, что в 9 !.3 было показано, что функция 1(и) слабо непрерывна на Ц[(„ Т! и на выпуклом замкнутом и ограниченном множестве (1 из )'о[(„ Т) достигает своей нижней грани — см.
теорему !.3.10. т Возьмем функцию !с(и)= и,'с,, =~ ~и(()~ос(С которая с, определена, неотрицательна, сильно выпукла на (1 н является слабым стабилизатором для рассматриваемой задачи (см. пример 2.2). Таким образом, функции 1(и), !с(и) и множество У удовлетворяют условиям леммы 4.2 при В = 1,,'[с„ Т).
Поскольку (1, выпукло и замкнуто, а !с(и)— сильно выпукла, то по теореме 1.3.8 существует и притом единственное ос-норосальное решение сс„= — и„(с). Рассмотрим возможность применения метода стабилизации для поиска !с-нормального решения задачи (19)— (2!). Прсдпологким, что вместо матриц А (!), В ((), ((() нам известны нх кусочно-непрерывные приближения Ао(!), Во(!), го(1), вместо точек х„у — их приближения хом ум причем з"р ! 4о(с) — А(0(,', зцр )В (!) В(с)) 1с,<с<т с,<с<т з"р !)о (сг — 1(с) ь ~х,о — хо (, у„у !~ ~, сн -с' т й = 1, 2, ...; !1гп и„ = О. О оо Пусть хя=х„(() — решение задачи х„=Ах(1) х„+Вь(1) и(1)+г,(1), 1!! ( 1 -=. Т; хя (1а) = х!м.
Тогда для Лхь(!) =хь(() — х(1) имеем (Лх!, (У)1( ! ! -=- ~ )Ая (т)! ~ Лхя (т) !(т+ ~!~ А,(т) — А (т))~х(т) ( !(т+ !, !, ! + ~ 1 В, (т) — В (т) '; и (т),~ !(т + ! +З !!А(т) 1(т)!!(т+~х!!, х01( зцр (А(т)(+о„)') Лть(т) !(т4- (ы=! -г ! +о, ~(Т вЂ” 1„) зцр ~х(т), +(Т вЂ” 1,)'" ~ и(ы+ +(Т вЂ” (а)-1-1~ го(1===Т 1=1 2 " Так как множесзво б! огра!шчено в Вз'11„Т), то ьцр ( и )ы ==.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
