Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 39
Текст из файла (страница 39)
жества й» при каждом й =-. 1, 2, ... Покажем, что г») — оэ. Перепишем условие (5.5) в виде (1 — т») й (и) — т» ~ й, (и) ==. (1+ч») й (и)+ты и»=Уа, й=1, 2, ... (6) Поскольку неравенства (6) верны для всех и ен Ьй, то переходя в (6) по ление к нижней грани на (76, получим (1 — ч»)й„— »»~й»»~(1+т»)йл+т», у=1, 2, ... (7) Так как 11гп т»=0 н т»)0, и=1, 2, ..., тоО( зцр т»<1 » ю »~~ »а 209 для некоторого )г,. С учетом неравенств (6), (7) и определения (5) множества й, тогда будем иметь й(и) ~ (й»(и)+т») (! т») ~(Р»+"!»+т») (1 — т») < ( ((1+ т») й„+ т)»+ 2т») (1 — ч»)-' для всех и ы й», л~/г,.
Отсюда следует Р(и)( й, +у», ив= йы А~А», (8) где у»=(2т»(1+й,)+О»)(1 — анр т»)-', й.=-йо,' »)», 1пп 7»=-О. (9) » со Из (5.4), (8) для всех точек и ен Р„получим )»(и) ~ ~ ((и) — б»(1+й(и))-..)„— б,(1+й»+ зир !у»1), lг)й,. »)».' Следовательно, з'» = )п1 (» (и) Я» ) l » — б» (! + й ~ + вар,' у» Д ) — оо, А /го. (10) »)л, Конечность величины з»1 доказана. По определению )» тогда найдется хотя бы одна точка иы удовлетворяющая условиям (4), (5) при всех А =- й,.
Таким образом, после- довательность (и»), определяемая условиями (4), (5), суще- ствует, причем в силу (8), (9) й (и») ( й, + у„, )з ) й;, 1пп у» = О. (11) » сю Далее, покажем, что ~Э' (12) Для этого сначала рассмотрим подпоследовательность (т)»„) всех положительных членов последовательности (и»). По определению Р„ для каждого т)»„ ) О найдется точка и»„енто такая, что й(о» )(й,+з)1„, я=1, 2, ... Из неравенств (6), (7) имеем й»„ (о»„) ~ ~(1+»„) й(о»„)+т»„~(1+т»„)(й. +П1„)+т». ~ ~ (! + т»„) 1(й»„+ т»„) (1 — т»„) ' +»„! + т»„—— = й»„+ 2 (й$„+ 1) т»„(1 — т»»)»+(1 + т»„) Ч1„~ ( й», + Ат»„+ 2Ч»„, где й„)(г», А =4(й, +1)(1 — апр т») '.
»,а»е 210 Так как по условию !!гп т)»= 1нпт»т!»' =О, то Ат»и+ » со » со -!- 2Н», =(Ат»„т!»„'+ 2т!»„) т!»„( т)»„при всех lгл г=л йг, .=- )тл, и поэтому й»л(о,л)-= Р»„+т),л, )т„)тут. Это значит, что о» е= й»л, lг„) йс'т. Тогда и'»л ( л'»л(о»„) ( ис(о»л)+6» х х (1+ й (о»„)) ~ ул+ 6»„(! + й, + т)»„), /г„) бтт. Отсюда !!ш,(»„(У,. С другой стороны, нз (10) имеем 1!гп т»с=-,( . И со » со Следовательно, 1!пт У»„= lл.
л со Пусть теперь (т(,„) — подпоследовательность всех неположительных членов последовательности (т)»). Рассмотрим множества йя,, =(и: и ~Уо, й(и)(йл — а, ), где а, )2)т),„!, и=1, 2, ..., !!ша, =О. Для каждой точки и ен йп „, с учетом неравенств (6), (7) получим й,л (и) ~ -('+;") "(')+'" —,('+".) (й*-а.)+".-(!+ +чл„)1(й „+то )(! — т,„)-т — а, 1+»с,„(й,*„+А~, — а,„-.. (й," +Ач,„— 2!т),„!, з„)(тл, где по-прежнему А = 4 (й, + -!- 1)(! — знр т»)-т. Так как по условию !пп т»Ч»'=О, то »)» » со Ач,„— )т),„!=!т),„,'(А! т,„т),„'( — 1)(0 при всех з„~ Ут и поэтому Р,л (и)(й „вЂ” (т),„) = й,*„+ т),„для всех и ен йп „, и зл) 6Г».
Это значит, что йо „, ~ й,„пРи любом з„~ йгт. Поэтому с учетом (5.4), (8) имеем У;„( (1п1Х(и)+б,л (1 + й, +У,л) ( !п1 У(и) + б,л(! + и оо, — и ~л л 'лл -1-йл+у,л), з„)й(т. Однако 1п1 и'(и) = и'л(й, — а, )-+ оп — а лл -« У„при а,„».0 в силу условия (3), поэтому 1;щ У,*„(,7 . л со С другой стороны, из (10) имеем !ипл'»--,)„.
Следова» л тельно, (пп и',"„=,Гл. Тем самым доказано, что последовательность (УЦ имеет единственную предельную точку, равную У„, что равносильно соотношению (12). Из (5.4), (4), (5), (!1) следует, что Ул ( У(и») ( =.у»(и»)+б»(1+й(и»))===и»+."»+6»(1+й.+у»), т. е. ,7„=- У (и») -= У + (1», )г ) й„ (!8) 21! ГдЕ ра.= У,'" —,/а+'; -! 6Э(14 Оэ+у>).
С уЧСтОМ уСЛОВИй !пп Еа=- !йп Уа=:.> и равенства (12) пх!есх> !пп ()а=О. а са а с э-ш С помощью оценок (11), (13), равносильных неравенствам (4.1), (4.2), из основных лемм 4.1 или 4.2 о регулярнзации получим все утверждения теоремы 2. 3. Как уже отмечалось аышс, метод квазирешсннй представляс >ся трудно реализуемым из-за иеконструктивности описания множества йа, так как множество (/пп, следовательно, величины па= >п1йа (и), ой входящие в определение йа, заранее неизвестны. Б связи с этим желательно иметь способы численной реализации метода квазирсшений, которые явно не используют множество >.'~> и величины йа (44, 57, !05, 2!2!.
Опишем один из таких способов в предположении, что функции У (и), й <и), удовлетворяют всем условиям теорем 1,2, Для упрощения изложения будем считать, что эти функции при всех и ш (>0 известны точно, так что в (5.4), (5.5) нужно положить 6ь = =-та=о, />=1, 2, ... Предлагаемый способ реализации метода квазирешений предпо. латает, что известно числа Р такое, что й(и,)~Р (14> хотя бы для одной точки и, ш йп.
Сразу же заметим, что необходимость в такой априорной информации о реп>енин задачи миними. запив / (и) на (/ отпадает, если зпр й (и) (+ос, ибо в этом случае с>п в качестве Р для /14) можно взять любое число, не меньшее зпр й (и), >н и неравенство (14) тогда будет выполняться не только для точек и, >ы Уп, но и для всех и а й с>. Наряду с числом Р из условия (14) нам понадобится последовательность (ша) такая, что ь>э~щи. ь л=!, 2, ..., 1>гп о>э — — шэ =!п1 й(и).
(15) э- »а Для определения последовательности (ы„) нух>но решить задачу минимизации функции й (и/ на известном множестве (/„. Для этой цели могут быть использованы любые подходящие методы решения задач минимизации первого типа (слг. задачу (!.2)). Итак, пусть число Р и последовательность (ы ! из (!4), (!5) известны. В качестве начального приближения произвольно задаем число 5э > 0 н точку и ш (/и. Пусть уже сделано и — 1 шагов о 0>)1) и иайдсна величина йа > )0 и точка и„х ш (/, . Положим $э--2->5а > (16) н образуем множества йь=.!и, >.еа(/и, й(и)=.ы„), л=-!, 2, (17) йл — — (и> иа>/и, й(и)~-Р~.
212 Заметим, что множество йн непусто в силу (14). Палее, если ыа» со, то множество й„также непусто по определению ы, согласно (15). На практике иногда удается точно вычислить значение ы, (например, если й (и) = ' и ',о, ~и! — норма бан ахова пространства, р» 1, 0 ш Ус,, то ясно, что Я(0)=ы„=О), и тогда в предлагаемом методе можно положить оз„=ы„л= 1, 2, Чтобы и в последнем случае гаран.
тировать непустоту множества йсь естественно предполагать, что равенства ы„=ы„л=1, 2, ..., в (15) возможны только тогда, когда нижняя грань !п1 й (и) =со, достигается хотя бы в одной точке ип о, ш У, . Очевидно, тогда о, ш й„, т. е. Яа ~ (1), а=1, 2, ... Палее, решая задачи минимизации первого типа для функции с'(и) на введенных множествах й„и й, найдем точки и„, о„такие, что у"„. = )п1 у (и) -= l (иа) ( l„"+ ~т и„ы Я ее (19) и уь = Ш1 у (и) а у (ол) = уе+$л, ол сж Ясг (20) пя Заметим, что при написании (20) использованы равенства е' = !п(з (и)=!п1 е'(и), вытекающие из предположения(14).
Послеойреи пн деления и„, о„ проверяем нерзвенство ~ (сси) 1 (сл)» ьл. (21) Если (21) не выполняется, то повторяем описанный процесс (16) †(20) с новыми ~„е„ ылчс и т. д. Может оказаться, что при каком-либо номере л впервые выполнится неравенство (21). Как только это случится, то следующую (л+1)-ю итерацию и все последующие итерации будем проводить по несколько иным правилам, описание которых будет дано ниже. А пока выясним, при каких условиях может вынолниться неравенство (21) и что оно означает. С этой целью докамсем следующие три леммы. Лемма 1. Пусть множество У и функции е'(и), й(и) удоелгтеоряют условиям 1), 2) лелсмы 4.1 или леммы 4.2. Пусть С ( й„= =- !п1 й(и) и множество й =(и: и ш Уц, й(и) (С) непусто.
Тогда сгп !п1 е' (и) = е, (С) ) е' = сп( Х (и). цо * се 0 Доказательство. Поскольку йсыУп, то Х„(С)»ую )(опустим, что е' (С)=е' . Так иак при выполнении условий !), 2) леммы 4.1 функция е'(и) р-полунепрерывна снизу на непустом р-компактном множестве йс, а при выполнений условий 1), 2) леммы 4.2 е'(и) слабо полунепрерывна снизу на непустом слабо компактном множестве йш то согласно теореме 1.3.1 и соответственно теореме 1.3.2 существует гочка ос сц йс такая, что е' (ос) =l, (С)=е'е. Отсюда следУет, что ос ш Упп и поэтомУ й (о.)» й .
С дРУгой стороны, ос ш Яс и, следовательно, й (ос) ~ С < Я . Полученное противоречие показывает, что равенство у, (С)=-е', невозможно. Таким образом, остается лишь одна возможность: е'„(С)» е' . 213 Лемма 2. Пусть множество У и функции г'(и], й(и) удовлетворяют условиям 1), 2) леммы 4.1 или леммы 4.2, а невоэраспююи(ие последовательности (юл), Ял) таковы, что ю < Иш он,<й, $л>0 п=1, 2, ..., !пп $л=О, (22) л со Тогда для последовательностей (ил), (ол), определвемых условиями (19), (20), найдется номер п=-О, лри котором выполняется неравенство (21). Доказательство. Сначала установим, что !пп г'л >ум (23) л со Поскольку (сол) монотонно убывает, то йл+, ~ йл, и следовательно, у„".</„' ы п=О, 1, 2, ... Кроме того, из условий (22) следует, что юл < й„пРи всех псэ)У. С Учетом леммы 1 тогда имеем,/, < < гйл< го (ю„)=гол, п>йс, так что Иш Уд~>./~~ >ел, НеРавенл оь стао (23) доказано. Из П9), (20), (23) следует, что Иш (г (ил) — г'(ол)) = л» ь = Иш г'лл — г'л = й > О.
С лругой стороны, по условию (22) л со )пи 9„=0<А Таким образом, найдется номер п>0, при котором выполняется неравенство (21). Лемма 3. Пусть множество У и функции Х(и), й (и! удое. летворяют условиям 1), 2) леммы 4.1 или леммы 4.2, и, кроме того, й (и) р.полунепрерывна снизу на Уп. Пусть для последовательностей (и„), (ол) из (19), (20) при некотором п > 0 имеет место неравенстоо (21). Тогда юл< й,. Доказательство.
Пусть вопреки утверждению юл си й,, Согласно теореме 3.1 илн теореме 3,2 существует хотя бы одйо й-нормальное решение и,. Это значит, что й (и )=й„<мл, т. е. и, на йл, Тогда г'(сел)=г',=ул. Поэтому из неравенств (19) — (2!) имеем: кл < Х (ил) — г' (ол) < гй+кл — го =5л. Получили противоречивое нераненство. Следовательно, ю„ < й,. Теперь вернемся к описанному выше итерационному процессу (15) †(20), предполагая, что все условия леммы 3 и неравенство (14) выполнены.
Так как ю, < й„ то или юл = й„ илн ю„ < й,. Рассмотрим сначала случай в, = й,. Тогда из условий (15) следует Ит ол =ю, = й, < гол прй всех п=О, 1, ... Согласно лемме 3 это л со означает, что неравенство (21) в этом случае не будет выполняться и, следовательно, процесс (15) †(20) не оборвется ни при каких и = = О, 1, 2, ... Нетрудно видеть, что тогда последовательности !ил), (ьл) (Чл=сол й*1 из (15) †(20) удовлетворяют всем требованиям метода квазирешенвй (1), (2), поскольку соотношения (19), (17) равносильны соотношениям (1), (2), причем !нп $л= 1пп 5ь2т=О л со л со 214 Чл Иш Оил йл) юл г) л О' л со л со Свойство р-регулярности построенной таким образом последовательности (ил), ее р-сходимость к множеству Й-нормальных решений и равенство 1!гп Й (ил] = Й, следуют из теоремы 1. Впрочем, вадо л со заметить что теорема ! была доказана а предположении выполнения строгого неравенства йл ) еэл — Й„, я =1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
