Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если, кромг того, й(и) р-полунепрерывна снизу на Уа и !!гп 7„=0, то !пп й(и,)=й„, 1!щ р(и», У„„)=0, (20) где У, =(и: и в= Уа, й(и) = й„) — множество й-нормальнык решений. Доказательство. Из (!7) следует, что й(и»)( (йв+зцр !у„',=С(со, я=!, 2, ...,т. е. (и») ен йс=(и: »~! и еи Уа, й(и) =.С). По определению р-стабилизатора множество йс р-компактно.
Поэтому последовательность (и») также р-компактна. Пусть о„— произвольная точка, являющаяся р-пределом какой-либо подпоследовательности (и»„(. Покажем, что ов сиУа. Для этого прежде всего убедимся в том, что ов ~У. Из условия (!8) и определения (4), (5) функции Р (и) следует, что 1! щ Ея (и,) ( О, ! = 1, т; 1!щ да(и»)=0, 1=т+1, з. Пользуясь тем, что д;(и), 1=1, т, /д,(и)/, (=т+1, в р-полунепрерывны снизу на У, и о ен йс:-У„отсюда при й = (4-воз имеем о, (о,) ( 11щ д (и» ) ( 1! сп я; (и,) ( О, л еь 9 Ф.
П. Васильев 225 1= 1, т;',д;(о„)!( !(гп ,'рд(ил„)!ол Игп !й;(и,)/=О, т. е. л со и;(о,) =О, (=т+1, з. Аналогично, из соотношений (19) следует йт(ол)~ 1пп йт(иь„)(!пп )9(ил)~0, 1=1, 1; л со Ь со !Ьт(о„)!(!ип (Ьт(и,„)(=0,1'=1+1,г.
л со Тем самым показано, что о ен К Далее, с уче- том р-полунепрерывности снизу ( (и) на Ул нз нера- венства (16) прн й=йл- со получим У, (,7(о,) ( ( 1пп Х(иь„) = 1пп г'(иь) (,7, Это значит, что л со Л со !!ш,((и,„)=,7(ол)=(„т. е. о, гнал. Но, кроме того, л со о, е йс —— (7а, так что ол енса. Итак, доказано, что лю- бая точка о„, являющаяся р-пределом какой-либо подпо- следователь ности последовательности ( ил), принадлежит Уп. Дальнейшее доказательство леммы 1 проводится так же, как в лемме 4.1. Ле м м а 2. Пусть выполнены следующие условия: 1) Ул— выпуклое замкнутое множество из рефлексивного баналова пространства В; метрика р на Ул задается равенством р(и, о) = !и — о)а, 'функции У(и), рд(и), 1=1, т, !рй(и) 1, (=т+1, в, !Ьт(и) 1, 1=1, 1, (Й, (и) 1, /=1+1, г, опрсде- лены и слабо в В полунепрерывны снизу на У,; справедливы условия (2); 2) функция 11 (и) определена, строго равно- мерно выпукла, неотрицательна и р-полунепрерывна снизу на Ул= Уа (например, В = г( — гильберптво пространство, ь1 (и) =(и !й); 3) последовательность (ил) удовлетворяет условиям (16) — (19), причем последовательность (ул) из (17) сгпрсмптся к нулю.
Тогда (ил) минимизирует функцию .)(и) на (l, р-регулярна и справедливы соотношения (20). Доказательство того, что (г (и) — слабый стабилизатор задачи минимизации г'(и) на (7, проводится так же, как это делалось в лемме 4.2. Рассуждая так же, как при доказательстве предыдущей леммы, из соотношений (16) — (19) получим, что любая точка о,, являющаяся сла- бым пределом какой-либо подпоследовательностн последо- вательности (ил), принадлежит У„„н )пп 11(ил) = 42„. На- конец, р-регулярность (иь) н равенство 1!ш р(ию (lл,) =-О устанавливаются аналогично лемме 4,2, 336 4.
Продолжим исследование метода Тихонова— приведем достаточные условия его сходимости. Теор ем а 1. Пусть 1) выполненьс условия 1) и 2) леммьс 1 или леммы' 2; 2) функция Лагранжа !. (и, Л, )») = з(и)+ ~, 'Л,д!(и) + к=! +,У, )цйт(и), и ~(l„(Л, и) енЛ, =((Л, р) =(Л,, ..., Л„ /=! р„...,р,): Л,:О, ..., Л )О, )»»:=-О, ...,рч О) на множестве (/»хЛ» имеет седловую точку (и„, Л*, р*) ев ен У»хЛ„т. е. Е(и„, Л, )!)(Е(и„, Ль, р*) =Ь(и, Л*, и*), и вне„(Л, р) енЛ„ (21) 3) приближенные значения /»(и), уы(и), й, (и), !1»(и) функций 7(и), рй(и), йт(и), 1)(и) на (7а удовлетворяют неравенствам (7) — (10); 4) последовательности [б»), [у»), [0»), [и!) [А») (г») из (7) — (15), таковы, что зцр т» (1, б»-=.
8» (1 — ч„), »)! !!и!(б»+ч»+0»+и»+а»+А»')=О, Ут 5»А»)а» = !!т а»рх» = =1!ю 0мх»=0; !!юА» '«»=со, где 0=р(р — 1)-' (при »»ь » со р=! последнее условие не нужно). Тогда последовательность (и»), определяемая условиями (15), существует, минимизирует функцсио У (и) на (7, р-регулярна и р-сходится к множес!пву (75. Если, кроме того, 1»(и) р-полунепрерывна снизу на Уа, то справедливы (20). Доказательство. Согласно теореме 1.2.7 су!цест- вование седловой точки (и„, Л*, и*) функции Лагранжа в смысле неравенств (21) означает, что и, ~(7„ /„, = = з'(и„)=Е(и, Л", р").
Кроме того, для любой точки и ен )Р'» из (9) — (13) вытекает, что йт (и) ~ йт» (и) -1- + б,(1 -1- () (и)) (0»[1+ (1+ т») !1 (и)+ч»[+0»(1 — у») х х(1+0(и)) =28»(1+2(и)), 1=1, 1, аналогично, ~йт(и))ч= = ! й7» (и) )+ б (1 + Й (и)) ( 20» (1 + 1» (и)), ! = ! -1- 1, г. Та- ким образом, тах) и!ах й!(и), и!ах (й!(и))~( 1!<!<! с+ ! <;<~ (20»(1+1)(и)), не=У», й=!, 2, ... (22) Из (22), определения (5) функции у7(и) и условия (Л*, )»*) е= Ль следует, что Л д, (и) =./Л; /д!!(и), в. 227 »=1, з) (»,*)!г(и)«[)»г*! 29»(1+1»(и)), !'=1, г для всех и ~ (Р'„1=1, 2, ...
Поэтому из правого неравенства (21) имеем I, « / (и)+,У, '[Л!'! д!'(и)+2!)»* [5 9„(1+ 1) (и)), 5=! и ~ У», (23) где [р* ~! = 'У', !)»5[, 5г=!, 2, ... »1алее, пользуясь извест/=1 ным неравенством [11[ !аЬ!«!а[»р 5+[Ь!»д ', справед. ливым для всех действительных чисел а, Ь, р) 1, 5)- 1, р-'+ 5)-! = 1, получим ~ ~ Лс* [д! (и) = '~ ((рА»)55»д) (и)) Х (=! ! ! 5 5 Х ([Л5 [(рА») и») « ~ А» [й5г(и) [»+,У~ 'Л,". [55)(цр» 'А» »'), 5=! !=! 5 = А,Р(и)+ВА„' г, где не=У„В=~ч, '!Л!*,»)(4р»-!). Под!=! ставив это неравенство в (23) при р~!, будем иметь ,/„«,) (и) + ~ ЛТ ~ ру (и) + 2 ! р' [, 9» (1+ 11 (и)) « (24) ,) (и)+ А»Р(и)+ВА» '+ 2[р' [» ь» (! + 11 (и)), не- :!Г». й=!, 2...
Если р = 1, то в 5яв Ф» столь большим, чтобы А» ) шах [Л;! при всех /г)й», из (23) получим ! < 5 «5 5 ,l,„«у (и) + ~ ! Л;: г5! (и) + 2 ! р* '„О» (1+ П (и)) « с=! «У(и)+ А»Р(и)+2[)»*58»(1+»1(и)), (25) и я (р», й) Ь». Лалее, наряду с функцией (!4) введем функцию Тихонова с точными исходными данными. Т, (и) = / (и) + + А»Р(и)+а»15(и), и ~ ()5!. 1!з (7) — (10) следует оценка [ Т» (и) — Т» (и) ! «(6»+ А,б, + а»т») (1 + !! (и)) = =и,р»(1+Й(и)), и ~(l„, /А=1, 2, ..., (2б) где для краткости обозначено р, = б»5х» + б»А»а»'+ т».
Пользуясь опенками (24) — (26), покажем, что функция Т»(и) ограничена снизу на !»5» при всех достаточно боль- 22Ь ших )». В самом деле, из (24) — (26) имеем Т,(и) >Т,(и)— — а»р»(1+ й (и)) = / (и) + А,Р(и) + а»й(и) — с»»р»(1+ -~- й (и)) > У» — ВА» — 2! р*!,0»(1 + й (и)) +а»й (и)— — а»р»(1+ й(и)) = »'»+ а»(1 — р» — 2' ,и* !»0»а»') й(и)— — ВА» ' — а»р» — 2(р*!,О» при всех сс е=)»'», !»= )«», Так как по условию 1!ш 0»гх»= 1пп р»= О, то, взяв !»» доста- точно большим, можем сделать знр (р, + 2 ! )»* !» 0»а-')(1, «>», тогда из предыдущего неравенства получим Т» (и) .
зцр (ВА»»+а»р»+ 2! р" 1, О«) ) — со при всех »>», и ен ()7», я=.-!»», Таким образом, величина Т„*= !и! Т,(и), иа с'» а > !»„конечна и последовательность (и»), удовлетворяю- щая условиям (15), существует. Покажем, что (и») удовлетворяет соотношениям (16)— (19) основных лемм о регуляризации. С этой целью возь- мем произвольную точку и„ецУа = Оп () К Выше было показано, что при выполнении неравенства (12) справед лино включение Ун ()(I ~: — Ю'». Следовательно, и„ен ))г», А=1, 2,... Тогда, пользуясь соотношениями (15), (24) — (26) и учитывая, что й (и) > О на Уп и Р (и ) =О, можем на- писать следующую цепочку неравенств: ,I,,/ (и») + А»Р (и») + ВА»»+ 2 , 'и» !, 0» (1 -1- й (ц»)) ~ ( У (и») + А»Р (и») + а»й (и») -(- +ВА,',-"+2! р*!,0,(!+й(н»)) ~ ~ Т» (и») + п»р» (1+ й (и»)) + +ВА»»+ 2! р*! О» (1+ й (и»)) ( ( Т»» + е» -!- (»»»р»+ 2 ! р" /, О») (1 -1- й (и»)) .+ ВА»» =.
~ Т» (и,)+ е»+(а«р»+ 2! р*/,0») (1+ й (и»))-+ВА«» ( (,(„+ А»Р (и „) -1- а»й (и „) + а»р» (1 + й (и „)) + е» -1- +(а»р»+2! р" 1,0») (1+й(н»))+ВА» 5 (,) (и») +,5'„! Ч ! ~с' (и») + 2 ! р' !«О, (1+ й (и»)) + » ! +а»й (и») + а»р» (1+ й (и„)) + + е»+ (а»р»+ 2! р* !, 0») (1+ й (и»))+ ВА„' ( /(и»)+ А»Р (и,)+(а»р»+4 ~ и*! 0») (1-1- й(и»)) (- +а»й(и»)+с»»р»(1+й(и ))+и»+2ВА, '', )»>)г.
(27) 220 Отсюда имеем а»й(и») (а»й(и„)+а,р„(1+й(и,))+е»+ +ВА, ''+(а»р»+2))с*'.,В»)(!+й(и»)) или й(и»)( ~((1+р») й(и„)+2р,+е„а, -1-ВА„''а, '-)-2( ро на„сс, ') х х(1 — р» — 2 ~ р*), В»а»')-', й)йо. Последнее неравенство, как и вся цепочка неравенств (27), справедливо при любом выборе точки и„~(уо, поэтому его можно переписать в виде й (и») ~ йо + уь )г ~ )оо (28) где у»='!2(й„+1)(р»+! р» !,В»а»')+еа, '+ВА„''а, ''~) х х [1 — зцр (р»-1- 2 ) р* '„В»а»')~-'- 0 при й-о.со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
