Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В качестве штрафных функций возьмем те же функции Р (и), Рь(и), определяемые соотношениями (4) — (6), и положим Фь (и) = »'ь (и) + А »Рь (и), Фь(и) =-»'(и)+Аьр(и), иле У», (36) где Аь)0, !пп А„=+со. При каждом /г=1, 2, ... определим ь»л точку иь нз услови1 Йь 1п! Йь (и) ( Й» (иь)(Йе+!ла, иь г- =)гь, (37) где )гь = (и: и ш Уя, Фе (и) ..= Ф 3+у»), (38) — последовательности (рь), (Хь) поло»кительны и стреллятся к нулю, Ф ь,п( фа (и), Й (и) — какой-либо стабилизатор, Йь (и) — приблиуо жениое значение Й (и).
Теорема 3. Пусть: 1) функции г'(и), ул(и), ... у»(и), Й (и) имложгапзо У» удоелглпзоряют условиям 1), 2) леммы 1 илй лгл1мы 2; 2) функция Лагранжа Е (и, к) имеет седловую точку в смысле неравенств (33); 3) приближснкыг значения гь(и), ус*(и), Йь(и) функций г (и), ГП (а), Й (и) на Ур удовлипзорллот нера»ей»иван (7), (8), (!О); 4) последовательности (6ь), (чь), (Ае'), (ре), (уь) из(7), (8), (!О), (36) — (38) положит льны, стремятся к нулю и, кроме люго, зир чь(1, 1цп бьАьуь' =О, Иш А» ' Ха =со, гдг у =р(о — 1) ' ь>1 а ю Ь ю (если р = 1, то последнее условие кс нужно).
Тогда послгдозапыльность !иь1, определяемая условиями (37), (38), существует, лшнимизиругал / (и) ка множестве (31), р-регулярна и р-сходится к множеству Уо( = Уц Д Уь, Если, кроме того, Й (и) р-полунгпрерывно снизу на Уо, то справедлива соотношения (20). 236 Доказательство. Из существования седловой точки функции Лагранжа следуют неравенства 5 ,7,(7(и)+~ ~()чеонг (и) (7 (и)+А»Р (и)+ВА»! ч (39) г=! при р>1 и 7, (/(и)+~ ~ йг |дг (и) ( /(и)+А»Р (и), и гн У», (40) при р = 1 А» > щах ! Лг ), й > йм получаемые из аналогичных !(г(т неравенств (24), (25) при рч = О.
Далее, нз (?), (8), (10) имеем ) Ф» (и) — Ф» (и) ~ = (6»+6»А») (1+() (и)) и гм Уп. (4!) Покажем, что множество (38) непусто. Для этого возьмем точку о» гн Уц, для которой Я (о») ~ (), +й '. С у ~етом условия !пп (А»~ ч+6»+6»А)у» ! = 0 и неравенств (39) — (41) получим » ю Ф» (о») « Ф» (о»)+(6»+6»А»)(! +() (о»)) 7 +(6»+6»А») (()„+2)( ( Ф»+ВА» ч +(6»+б»А») (4), + 2) = Ф»+Хм Это значит, что о» ~ )7», т. е, )7»Ж гД при всех й>йз. Отсюда и из ()»(и) геО, и гн Уц следует существование точки и», удовлетворяющей условиям (37) при всех й> йз.
Остается показать, что (и») удовлетворяет соотношениям (16)— (18). Неравенство (17): () (и») (() +у», й — Гг», где 1ппу» = О, до» со называется так же, как зналогичное неравенство (6.6). Далее, из оценок (17), (41) и условия ц» щ (г» следует, что .7 (и»)+А»Р (и») = Ф» (и») ( Ф»(и»)+(6»+6»А») (!+Я (и»)) ( к Ф»+)(»+(6»+6» '») (1+() +у») ~ ~ Ф» (о»)+2»+(6»+6»А») (1+ ()~+ г») = 7~-(-()», т. е. 7 (и») + А»Р (и») ( 7, +()», I< > йм 1пп б» = О. (42) » са Отсюда с учетом А»Р(и») гзО сразу получаем оценку (16). Кроме того, из (42) с помощью неравенств (39), (40) имеем 0 А»Р (и») ( Х вЂ” 7 (и») + б» (~ ! )гг ! лг (и»)+ б» ( г=! ~ ! йе!и (Р (о»))'"+бы так что г» = (Р (о»)) 7» удовлетворяет неравенствам вида (30). Отсюда гг» следует соотношение (18): !!гп Р (и») = О. Все утверждения теоремы » оь 2 теперь следуют из леммы ! или леммы 2.
237 8. Далее, кратко рассмотрим один вариант метода квазирешеннй для задачи минимизации функции ) (и) на множестве (), имеющем вид (31). Последовательность (и») будем определять условиями Ф»= »п( Ф»(и)«Ф»(и»)«Ф»+5», и» ш й» (43) ишц» где й =(и: и ш () 1, й»(и) «й»г+»1»), Й㻠— — )п( й»(и), (44) имсгц функция Ф»(п) определена по формуле (36), й» (и) — приближенное значение стабилизатора й (и), а последоватеяьности (5»), (»)») положительны и стремятся к нулю. Теорема 4. Пусть выполнены условия 1), 2), 3) теоремы 3 и последовательности (б»), (ч»), (А»'), (5»), (»)») иэ (7), (8), (10), (36), (43), (44) положительна, стремятся к нулю и, кроме того, зпр т»(1, »)! 1ппч»т)»х 1пп 6»А»=0.
Тогда послгдоватеяьность (иг,), определяе» о» » со мая иэ (43), суи(гсомует, минимизирует функцию Х (ь) на множесспве (31), р-)мгулярна и р-слодится к множеству ()ц. Если кроме того, й (и) р-лолунепрерывна снизу на Ец, то справедливы соотношения (20). Доказательство. Так как з)» ) О, то й» Ф г)), » = 1, 2, ... Покажем, что функция Ф» (и) ограничена снизу на й». Для этого заметим, что если и ш Г», то справедлива оценка й (и) «й,+у», !пп у»=0, (45) * со которая доказывается так же, как аналогичные оценки (7.8), (7.9), Отсюда н иэ неравенств (39) — (41) имеем Ф» (и) тг Ф» (и) — (6!+6»А!) ц Х(1-1-й (и)) тэ), — ВА»~ г — (6»+6»А») Гйг+ зцР У») ) — со дла »~! всех и ш й».
Это значит, что Ф»(и) ограничена снизу на й» и точка и», удовлетворяющая условиям (43), существует. Покажем, что лля последовательности (и») справедливы соотношения (15) — (18). Оценка (17) сразу следует нз (45). Далее. возьмем точку о»ш Уц, такую, что й (о») «й, + »1». Рассуждая так жь, как при доказательстве оценки (7.12), получим, что й» (о») «й»я+»)», т.
е, о» ш й». Тогда с учетом неравенств (41), (43), (45) имеем г (и»)-1- .+ А»р (и») ам Ф» (и») «Ф» (и») + (6»+ 6»с А») (1+ й (и»)) «Ф» + 5»+ +(б„+б»А») (1+ й, +у») «Ф» (о!)+5»+(6»+ б»А») (1+й, +у„)« «),.+(6»+6»А») (2Й +т)(+2+7»)+К» = гг + 6», где!!гп 6»=0. » о» Таким образом, и в методе квазирешеннй справедлива оценка (42), из которой, как и выше, можно получить соотношения (16), (18), Тогда все утверждения теоремы 4 следуют из леммы ! или леммы 2. 9.
При исследовании задач минимизации приходится иметь дело с минимизирующими последовательностями, для которых сходимость к множеству точек минимума не может быть описана с помошью какой-либо метрики. Например, при исследовании вопроса суш ство. ванна оптимального решения задач минимизации в гильбертовом или банаховом пространстве мы пользовались последовательностями, сходящимнся лишь в слабом смысле (см. теоремы 1.3.2, 1,3.5, 1.3.7). 238 Для единообразного исследования различных возможных способов сходимости минимизирующих последовательностей (в частности, сходимости в какой-либо метрике или слабой сходимости в баиаховых пространствах), видимо, удобнее всего использовать аппарат и язык топологических пространств.
С помощью этого аппарата и языка можно также провести общее и единообразное исследование методов регуляризации (212». Проведем такое исследование для задачи минимизации функции на множестве У, определенном условиями (31). Предпояожим, что иа множестве У„введена некоторая топология т, и сходимость последовательностей к точке или к множеству будем ниже понимать в смысле этой топологии (см.
определение 1.3.!0). Задачу минимизации второго типа (см. 9 !) теперь естественно переформулировать в следующем виде: для заданных числа в) 0 и окрестности Ов мнолкества У„Ов я т, найти точку ив, в щ Уы такую, что (46) 1 ел (иа, ь) —./, ! ( в, ив, в щ Ов. Введенные выше определения корректной и некорректной задач, регулярной последовательности, стабилизатора на топологическом языке будет выглядеть так. Оп р еде лен не 2. Задача минимизации функции г'(и) на множестве У называется корректной в топологии т или, короче, т-корректной, если 1) г', ) — со, У, ~ ьд 2) любая минимизирующая последовательность в этой задаче т-сходится ко множеству У,.
Если существует хотя бы одна минимизирующая последовательность, которая ие будет т-сходиться ко множеству У„то задача минимизации называется некорректной в топологии т. Оп р е дел е и не 3. Последовательноссь (иь», минимизирующая функцию г (и) на множестве У (см. определение 1), называется т-регулярной, если (ив» секвеициально компактна в У (см, определение 1.3.12) и т-сходится ко множеству У„. Оп р еде лени е 4.
Функция И (и), определенная на непустом множестве Уц гв У, называется т-стабилизатором задачи минимизации л(и) на множестве У, если !) И(и):- 0 при всех ищУО, 2) множество Ий — — (и щ Уц) И (и)(С» т-секвеициально компактно при любом С)0; 3) множество Уьп=.Уп П У„непусто. Классы корректных задач минимизации в различных топологиях выделяют теоремы 1.3.1, 1.3.2, !.3.6 — 1.3.14, Ясно, что в т-коррект. ных задачах для получения точки и,, в, удовлетворяющей условиям (46), достаточно взять любую минимизирующую последовательность (иь) и положить ие, в= иа при достаточно большом й. Также можно определять иа, в и в некорректных задачах, если только минимизирующая последовательность будет т-регулярной.
Лля построения т-регулярных минимизирующих последовательностей в некорректных задачах нужно взять какой-либо т-стабилизатор И (и) и воспользоваться, например, однии из трех описанных выше методов регуляри. зации. При исследовании сходимости этих методов важную роль играет следующая лемма о регуляризации, обобщающая леммы 1, 2, а также леммы 4.1, 4.2. Лемм а 3. Пусть выполнены следующие условия: !) У,— мнолсество с заданной на нем топологией т; функции г' (и), ул (и), ..., ут (и), !Ытлл(и) , '". !дл(и)1 определены и т-секвенциально полунепрерывны снизу на У,; множество У определено уеловиялш (3!) и справедливы еоогпношения (2); 2) функция И (и) определена на множестве У, щ' У 239 и является т стобилиэаторол> задачи кинимизации 1 (и) на У; 3) последовательность (иь) такова, что иь я Уг, 1(иа) (1 +(1ь Я (иь) ~ Я +уь, !пп Р(иь) =О, где й,=(п1 й(и), Р(и) — штрафная Ь со * иг и функция, определенная равенствами (4), (5); Оь)0, Й=1, 2, ...
..., Пщ Вь=й, зпр ! уь1~+ г ь)> Тогда последовательность (иь) минилшэирует функцию 1 (и) на У, т-регулярна и т-сходится к множеству Уеп. Если, кроме того, Я (и) т-секвенциагьно полунелрерывна снизу на У„и 1пп уь = О, то * со !пп й (иь) = й„и (ие) .с-сходится к множеству У„=(и: и >и Уп, Ь со Я (и)=-Я,). Дон а з а т ель с та о. По условию й (иь) ( йг+зпр ~ уа ~о С ( а)> ( со, т. е. (иь) >и йс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
