Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 47
Текст из файла (страница 47)
250 (24) Неравенство (24) можно переписать в виде О(//»+,((1 — в»)й»+дм й=!, 2* где з» =а»()»(! — р»), »(»=а»р»!»». Заметим, что из 1пп р» = » со = 1!ш в»ооО следует 0(з»(1 для всех й»й,. Далее, » оо из условий (8) прн достаточно больших й, имеем 0«:'; ( А,, — А» = (А»„— А,) а»'(),са»()» ( с»»р» для всех й ~ )/г». Отсюда, суммируя эти неравенства по й от й, до й/, получим ~' аф») ~ (А»„— А»)=Ан,— Ам- со при й/-» со. й!ожем считать, что 1 — /»» ~ 1/2 при всех й= й„ а тогда У', в») ~ ~а»(1»/2- со при й!- со, так что »= »с »=».
со ~ е» + со. Наконец, д»/в»=р»(1 — (»»)-с — О при й- со. » =! Таким образом, последовательность ь»»=/»», /»=1, 2, ..., удовлетворяет всем условиям леммы 2.3.6 из 14!, откуда следует 11/п о»= !пп !'о» вЂ” и» >=О. Вспоминая неравенство » со » оо (11), заключаем, что Иш !о» вЂ” и»1=0. Теорема 1 доказана. » со 3. Отдельно остановимся на случае, когда множество (/, на котором минимизируется функция,/(и), известно точно. Этот случай соответствует частному виду множества (2), когда ограничения типа равенств и неравенств, задаваемые функциями д»(и), отсутствуют, т. е.
в=О и У=У,. Поскольку здесь нет необходимости во введении штрафные функций Р(и) и коэффициентов Ам условия согласованного изменения параметров метода будут несколько отличаться от условий (8). Т е о р е м а 2. Пусть 1) У вЂ” выпуклое замкнутое множество из гильбертова пространства Н; функция / (и) выпукла и дифференцируема на У, причем 1/' (и)1(/ » (1+(и 1), и ен У, /., = сопз( э 0; (25) кроме того,,/ ) — оо, У Ф !/); 2) погрешности в задании приближений У» (и) для градиента /' (и) удовлетворяют условшо !! /» (и) — /' (и) ! ~ 6» (1 + ! и '„'), и ен У, й= 1, 2, ..., 1'пп 6»=0; (2б) » со 3) последовательности (6»(, (а»), (р»! таковы, что Ь» ) О, а» ) О, (1» ) О, й =- 1, 2,...; 1! п! (6» + и» + р») = О, В>п ' »'!»' = 1!гп — » = 1!ш — »=О, (2Т) ~~~ ~!х»ии» = +оо' » =! Тогда последовательность (о»), определяеиая условием о»„=Ро(о» вЂ” р»(/»(о»)+а»о»)), /г=1, 2, ...; о,ен(/, (28) сходится по норме Н к п>очке и, е= (/ с минимальной нормой.
Доказательство проводится аналогично теореме 1. Поэтому мы здесь наметим лишь схему доказательства. Прежде всего заметим, что последовательности (и„), (р»), удовлетворяющие условиям (30), существуют. Их можно подобрать, например, в виде а» =/г — 'л*, р» =/г — нв, где а, р— натуральные числа, удовлетворяющие системе неравенств а-'+ ~-! (1, р (!х. В частности, можно взять и» =/! — Оз, р»=/г — !и, /!=1, 2, . Условие !нп 6»и>,,'=0 накладывает » х требование на погрешность задания градиента в соответствии с условием (20). Так как !г (и) =!, 'и !'/2 — сильно выпуклая функция, а (/, — выпукло и замкнуто, то !1-нормальное решение существует и единственно. Для точной функции Тихонова Т,(и) = /(и)+!х»((и(»/2 справедливо неравенство (Т„'(и)— — 'Р»(о), и — о)- а»)и — о(!», и, о ~ (/, н кроме того, существует, и притом единственная, точка и, ~(/ такая, что Т„(а») =-(п1 /'» (и), — это доказывается так же, как и соотношения (9), (!0) в теореме 1.
Замечая, что функции ,/(и), !г (и) и множество (/ удовлетворяют условиям 1), 2) леммы 4.2, и применяя теорему 5.! при е» =О, для последовательности (и») получим: !!ш (и„— и,(=0. Поэтому с учетом неравенства (11) для доказательства теоремы достаточно показать, что 6»=(о,— и»,'(-~0 при /г — ~со. Неравенство (12) остается верным и здесь. Оценим каждое слагаемое в правой части (12). Полагая Р(и) =0 252 в рассуждениях, проведенных при выводе оценки (17), здесь вместо (17) получим (иьы — и~ ' -=.
) азы — аь ~ а1'Со Ь = 1, 2,, (29) Приближенная функция Тихонова имеет вид Т,(и)= =- l~(и)+а~ и(з)2. Поэтому с учетом (26) вместо (19) здесь будем иметь !Ум(М вЂ” 7'1(од),!(бь(1+(оэ)), Уг=1,2, ... (30) Используя вместо (19) неравенство (30) и рассуждая так же, как при выводе оценки (23), получим (оь+, — иь „' ( (1 — 2Я бе+ аэб,,уэ) Ь1+ аа!)эУ„, (31) Ь = 1, 2, ..., где уь=С4(6~+К)я,' при Ь-эоо. Подставим оценки (29), (31) в (12) и проведем преобразования, которые привели нас к неравенству (24). Получим 0 ~ Ь~~.ь~ — Ь1 (1 — ифь+ и„баярд)+амбары Ь=1,2,..., (32) где рь = шах (2я4э+ уь (1 + аф„); (1+аД) [у,+("'-.,""+ )'Сф-О при Ь - оо.
Нетрудно проверить, что величины и„ = а,(1„(1 — и„), дь=аф„рь удовлетворяют условиям лем- мы 2.3.6 из [4). Из (32) и этой леммы следует, что 1'нп (о~ — и~ ! = О. Теорема 2 доказана. е со 4. Проиллюстрируем возможность применения мето- дов (6), (28) и теорем 1, 2 к некоторым классам задач минимизации. П р и м е р 1. Рассмотрим задачу минимизации функции У (и) = ~ Аи — Ь,'/2 на множестве У =Е", предполагая, что вместо У(и) нам известно лишь ее приближение /„(и)= =- )Ади — Ь,!')2, где 1Аь — А)~оы ~܄— Ь|~о„, Ь=1, 2,, 1(гп ох=О (обозначения см. в примере 5.1). е са Так как У'(и) =А Аи — А Ь, У~(и) = Ар Ахи — АаЬа, то ',/' (и),' ( (,~ А' А,, + / А ' Ь |) (1+ ~ и !), ! у~(и) — )'(и))(о„(2(А(+!Ь|+ое) (1+/и!), юг=1, 2, ...
253 Непустота множества (I, доказана в примере 5.1. Таким образом, условия 1), 2) теоремь) 2 для рассматриваемой задачи выполнены. Итерационный процесс (28) здесь будет выглядеть так: т т о»») = и» 5» (А» А»о» — А» Ь» + а»о»), й = 1, 2, ... Если величины ам р» удовлетворяют условиям (27) и 1!гп о,а»'=О, то получаемая отсюда последовательность (о»[, согласно теореме 2, будет сходиться в метрике Е" к решению и с минимальной нормой при любом выборе начального приближения и,. Пример 2. Для задачи минимизации функции д(» ),2 .( (и) = — - ~ ~ ~ А (з, () и (!) Ш вЂ” Ь (з)~ )(з » а на множестве У =7.» [и, Ь] (обозначения см. в примере 5.2) итерационный процесс (28) имеет вид о» -» ()) = о» ())— — », '!! А ), )) (! А,), )),)))») — » ) ) Й 4) ю )))1, а й=!, 2, Предлагаем читателю самостоятельно убелиться в том, что если относи1ельно А, А„, Ь, Ь» выполнены все предположения из примера 5.2, то для рассматриваемой задачи имеют место условия (25), (26).
Поэтому, если (7„~ ф и параметры б»=сопл!, о», а„, [)» удовлетворяют условиям (27), то согласно теореме 2 последовательность (о»(()) сходится в метрике Е»[и, Ь1 к решению и, (!) с минимальной нормой при любом выборе начальной функции ол(1) =Е,[и, Ь). Пример 3. Рассмотрим задачу минимизации функции .) (и) = !х(Т, и) — у !», (33) где х(г, и) определяется из условий х (() = А (!) х Я+ В (!) и (г) + [ (1), Ф»(((Т; х((») =х», а управления и = и (!) принадлежат выпуклому замкнутому множеству (/ из пространства 1.»[(», Т1 (см.
обозначения 254 в $1.2; см. еще пример 5.5). Напомним, что функция (33) при условиях (34) дифференцируема в Ер 1(„Т1 и ее градиент имеет вид (см. $ 1.2): ,7'(и)=Во(()ф((, и), (о(((Т, (35) где ф((, и) определяется из условий ф(Г)= — А*(()Ф(1), Го 1=-Т; ф (Т) = 2 (х (Т, и) — у). Из оценок (1.2.18) при и— = О и (1.2.23) при о= — О получаем /х((, и)~==Со(1+)и)ь,), ~ ф ((, и) ~ ~ С, (1+) и $ ь,), (о (1< Т' (36) здесь и ниже через ффф...
обозначаются положительные постоянные, не зависящие от 1~(1„Т), и= = и(1) анар((о, Т*). Отсюда и из (35) следует, что 1У'(и)1< зпр )В(1))С,(1+(и)). и«<т Предположим, что вместо матриц А(Г), В(г), г" (Г) и точек хо, у известны лишь их приближения: Ао(1), Вр(1), )о(() — кУсочно непРеРывные матРицы и хоо, Уо — некотоРые точки, причем шах) зцр )Ао(г) — А(1)), знр (ВоЯ вЂ” В(()1; 1и<о<т и<р<т ацр 11о (е) — г" (г)1; / хоо — хо О ! уо — у /~ -= оь (37) и<о~ т й=1, 2, ...; 1!пз по=О. Пусть хо((, и) определяется условиями хо (1) = А, (г) х, (() + В, (1) и (Г) + го ((), (о ~ ( ( Т' хо (1о) = хро.
Тогда разность Лхо (1) =хо (1, и) — х ((, и) удовлетворяет условиям Ьхо(1) =Ао(1)бхо(()+(А,٠— А(1))х(()+ -(- (В„ Я вЂ” В (Г)) и В) + )о (() — 7 ((1 (р<(~Т; Лхо()о) =хоо — хо. 265 Применяя к этому неравенству лемму 1.2.2, получим ~ хь ((, и) — х (1, и) ~ = а„С, (1+ ( и )г1), (а«(«Т, /г=1, 2, ... (38) В качестве приближения для градиента У'(и) возьмем функцию .71(и)=В$(()~ъ((, и), 1,«(=.-Т, где ~рь((, и) определяется из условий фь(1)= — А1(1) ф.(/), /о-с(«Т; Ф/,(() =2(хь(Т, и) — уь). Тогда для разности Л~ъ„(1) =ф,((, и) — ~р((, и) имеем Д~, (1) = — А; (Г) Л Р„ (1) †(А, "(() — А * (()) Р (/), /,«1«Т, Лиц(Т) =2(хь(Т, и) — х(Т, и)) — 2(уь — у).
С учетом неравенств (36) — (38) отсюда получаем т Ь~з, (1) ~ «(зир ( А (() ) + а,~ $ ! Лф, (т) ! г(т+ // т + ~ ааС,(1+(и'с)дт+2а,С,(1+)и1/)+2ом и (,«(«Т. Применяя к этому неравенству лемму 1.2.2, будем иметь (~ъ~((, и) — ф((, и) )«а/,Сз(1+1и1ь,), (о«(«Т и=1 2> "° (40) Из (35) — (37), (39), (40) следует /т 1и 1 Д (и) —,I' (и) 1 = ~ ~ ( В1 (() ~ра (1, и) — В к (/) ~р ((, и) ,'з Ж ) и «о„С4 (1+ „и 'ь,).
(39) Отсюда с учетом условий (37) и неравенств (36) имеем /Лх„(1) !«/'вар) А (г)1+оь) $(бхь(т) ~с(т+ //, т + )г(ааС,(1+(и(с.,)+а, ~ и(1) ~+аДНг+ам й=1, 2, ... (о«(«Т, Таким образом, функция (ЗЗ) и ее приближения удовлетворяют условиям (26), (26) теоремы - 2.Итерационный процесс (28) здесь запишется в виде о»ы (О = Ри (и» (1) — 6» [В»$(1) ф» ((, и») +а»о» (1Д), (41) й=1, 2, ... Если У, Ф гО и величины а», 6» удовлетворяют условиям (27), !'пп о»а»'=О, то в силу теоремы 2 получаемая нз (41) последовательность сходится по норме 7»[(„Т1 к оптимальному управлению и„(1) с минимальной нормой при любом выборе начального приближения о,(1) ни У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
