Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Существование таких А, а, () очевидно, можно взять сначала 6 достаточно большим, затем А и, наконец, и. В частности, при р=2 можно взять А(0 1 ге, и(0 Гхгз, 1)(0=1 и условия 11гп 6(0= 1пп 6(цх Г о г со х А (О и ' (0=0 выражают требования к погрешностям в задании производных в соответствии с условиями (21. 262 Рассмотрим точную функцию Тихонова Т(и, 1)/ 2(и)+А(1)]с ! хР(и)+ — и(0 и з; ее градиент по и равен 2 Т'(и, 1)=Г (и)+А(1) Р'(и)+сс(1)и, и ш Н, 1~0 (7) Из (2),,4), (7) имеем ', Т' (ч, 1) — Т'(и, 1) !»(6(1)+ А (1) 6(1)) (! -(-/ и ')» » 6 (1) А (1) ( ! + А г (0)) (! + ! и;) = С„б (1) А (1) (1 +"; и !), 1~0, иеН; (8] чтись и ниже через Сп 1=-0, ], 2, ..., будем обозначать положитель- ные константы, не зависящие от и и 1.
/(злее, из (8), (7) следует ! Т' (и, 1),» ' Р (и) + А (1)', Р' (и) "+а (1) ! и,'» » (1 з (! + А (1))+се (1)) (! + ! и,',)» СтА (1) (! +,', и (), (9) ишН, 1~0. Тогда из (8), (9) получим, Т' (щ 1) ! /Т' (и, 1)!]+! Т' (и, 1)— — Т'(и, 1)" »(С,А(1)-+Сьб(1) А(1))(!+(и',,)»СзА(1)(!+;,'и!), так что щвх (6(1) Т' (и, 1)"; б(1], Т'(и, 1) )-- »Сзб (1) А (1) (]+' и")»С,(!+! и,',,), (]О) иш Н, /свО Из выпуклости я;(и), !=1, лм 88(и) й !=и+1, з, следует выпуклость Р (и] при либор р) ! Согласно теореме !.2.1 ГР (и) — у' (с), и — о) О, (Р' (и] — Р' (о), и — о) 0 при всех и, о Й Н. Позтому из (7) получим (Т'(и, 1) — Т'(о, 1), и — о))а(1) и — о,з, и, оьв Н, 1-0 (!!) Согласно теореме ! 2.2 отсюда следует сальная выпуклость Т(и, 1) по и на Н По теореме ! 3 8 тогда существует, и притом единственнаяя, точка и, (1) ш Н, для которой ! п1 Т ( и, 1) = Т (и „(1], 1), 1 ) О.
(!2) Н Наряду с и„(1) рассмотрим еще функции о(1, т), о(1), являющиеся решениями следующих вспомогательных задач Коши: до(1, т] 8! — )](1) Т'(о(1. т), т), 1)О, тгвО, о(0, т)=из, (!3) б(1)= — )](1) Т'(о(1), 1), 1)0, о(0)=и,. (!4) Заметим, что правые части уравнений (5), (!3), (!4) имеют вяд /(и, 1), где функция /(и, 1) измерима по 1 на любом конечном отрезке !О, Т) при всех фиксированных и ш Н и непрерывна по и на Н для всех 1~0.
Кроме того, нз (!0) имеем, что !/(и, 1)!» »С (]+! и !). Отсюда следует, что в случае Н =Е" дифференциальйме уравнения (5), (!3), (!4) при любах! начальном условии па си Еа 253 имеют хотя бы одно решение, определенное на л!сбом конечном отрезке [О, Т[ или, иначе говоря, при всех 1 си 0 — см., например, (49[, стр 217 (в случае, если Н ~ Ев, то будем предполагать существование и продолжнмость на полуось [О, +со) решений зтих уравнений) Наконец заметим, что существование и единственность ()-нормального решения и, задачи минимизации в'(и) на (7 доказывается гак же, как о те,!реме 8 2 или 9 ! Теперь можем напигать неравенство и, — и ( г) ц.
и, — и „ (т) + и, (т) — о (т, т) ' + ! ! о (т, т) — о (т),-1- о (т) — и (т), т гв 0 (15) [ и „вЂ” и, (1) 1 ( 1~ и з чь и, (1) ( Сл, 1 г е О. (16) Лля оценки остальных слагаемых в правой части (!5) наряду с неравенством (!6) нам понадобится следующая Лез! м а 1 Пусть функция х(1) дифференнируема при всех 1«0 и ее пронзи!давя х (1) зщ (., [О, Т) на любом конечном отрезке [О, Т). Пусть, кроме тово, х (1) (а(1) х(1)+ЬП), 1«0, (17) еде а (1), Ь (1) — непрерывные функции на [О, со) Тогда ! [в!мел ! ) о(з!аз х (1) ( х (0) ео + ~ Ь (8) е дбл о 1гвО (18) — ) а!зла! )Тон а за тельство.
Умножим неравенство (!7) на е 1 — ! ам!аз) — ) а(зла! )О и перепишем его в виде — „лх(1)е д д( / т. в (1) е Пока!кем, что каждое слагаемое н правой части (15) стремится к нулю при т -ь оэ Начнем с первого слагаемого Возьмем произвольную последоватсл! ность (1»), 1» « О, 1» оз Заметим, что ![ункции / (и), рд (и), ()(и) удовлетворяют условиям леммы 8 2, а последовательность й» = из (1»), 1! = 1, 2, ..., где и (1) взята из (!2), удовлетворяет условиям теоремы 8 2 при бл,= ть=-е»=0, а»=и П„), А»=- А (1!), 6»=6(1»! Из теоремы 8 2 !о!дв слсдуе! Вш и, — и, (1»), =0 В си» са лу произвольности последователююсти [1»).
1!гп 1»=со отсюда по» о лучим !нп ! и,— и (т) =0 Таким образом, первое слагаемое в пра! св вой части !151 стремится к нулю при т -л-со Кроме того, неравенство (8.28,' П (и») ==. () (и,)+ угь полученное при доказательстве теорем 8.1, 8 2, в рассматриваемом случае запишется в виде и, (1») (з ( ~' и '+2Ви '(1») А' в(1»), »=1 2, . Сцс!ода следует, что !1 и (1),,' ( [ и, г+ 2В зцР и' (1) А' 'В (1) = Се Тогда ! Тм в — ] а!1)аз !»О. Интегрируя это неравенство, получим к(!)е н — ] о1с!ас «] Ь(8) ! " с(6, что равносильно (18) о Заметим так>не, что из1пп А(г]сс 1(!)]] '(!) 0 и остальных усло 1 со вий 4) теоремы следует, что — к (0) « 1 ! сс (3) 8 (3) с]з» Сз ~ А (з) с(э=Се(А (!) — А (0)) со (!-> со).
(19) о Теперь перейдем к опенке второго слагаемого "о(т, т) — и (т) ' из правой части неравенства (!5) С этой целью рассмотрим функпию 1,о (1, т) — и, (т) з Ззмстим, что из условия (12) следует Т' (и„ (т), т) =О, т» О. Отсюда и из (!3) с учетом неравенства (1!) имеем — ' о(г, т) — и (т)]з« с(! « — 28 (!) (Тт (о((, т), т) — Т'(и, (т), т), о(г, т) — и„(т)) « =- — 2сх(т)8(!)'о((, т) — и,(т),а, !»О, т»0 Отсюда с помощью опенки !16) прежде всего имеем ~ о(г, т) — и (т)",«]ос — и (т) и — и 1+!и„— и (т)]«С1, (2!) ! О. 1»О Тогда, полагая в (20) г=т и учитывая монотонность ]](!), получим ~ о(т т) и (т)'з -С=',е юассср сс, т»0 (22) Вычислим 1!пс тсх(т)]](т) Поскольку здес~ мы имеем дело с неопрес со деленностью вида со О, можем применить известное правило Лопиталя (8].
Получим 1пп тп (т) 8 (т) = ! ип т со 1 а (т) ]] (т) ! (]! ]В()! ( ссз(т) ]] (т) сх (т) Оз (т) / Отсюда и из (22] следует !пп !'и(т, т) — и, (т) ]=О. с со Это значит, что функпия х(!)="о(г, т) — и„(т),'-' удовлетворяет не-. равенству (17) при а (!) = — 2сх (т) ]3 (!), Ь (!) = — О, !» О. Из леммы ! тогда получаем ! — та1Ю] Зсс!ас и(г, т) — и, (т] Я«]не — и, (т) зе, !»О, г»0. (20) Оценим третье слагаемое ) о(т, т) — о(т) ! нз правой части (15) Из (13), (14) с учетом (11) и (6) ил(еем — — !! о (1) — о (1, т),' =- с) = — 2!) (1) (Т' (о (1), 1) — Т' (о (Е, т), !), о(1) — о(1, т))— — 20 (1) (Т' (о(1, т), 1) — Т' (о (Е, т), т), о (1) — о (Е, т)) ( ( — 2а (1) 6 (1) ' о (1) — о (1, т) Р+ 26 (1) (, А (1) — А (т) ) 1.,(1 -1-,,'о(1, т) ) + + с((1) — я(т),',о(1, т)'),о(1) — о(Е, т) , '(23) при всех Е го О, т со О.
Заметим, что из (16), (21) следует оценка ') о (Е, т) ", ~ ) о (Е, т) — и, (т) ')+!и, (т) — и, )+,", и, ! - Св !ге О, т' 0 Учитывая эту оценку, с помощью неравенства 2аЬ (ав+Ьл из (23) имеем — ,',' о (1) — о(1, т),з ~ — 2а (!) 6 (1]) о (1) — о(1, т),я+ +2 ((ст(1) 6 (е)))ЕЗ), о(1) — о(1, т),) (6 (1) а л(1))'Еях Х (1 а+ 1) (1+ ~ о (Е, т),',) (! А (1) — А (т) ! + ) а (1) — - а (т) )) ( ( — а(1) р (1) (о(1) — и(1, т) Р+ + Сф (1) сс ' (!) (, А (!) — А (т) '+ я (1) — а (т) !)з прн всех Е )О, тго О.
Таким образом, функция х(1) =' о (1) — о (Е, т) в удовлетворяет неравенству (!7). Из леммы 1 с учетом х (0) =0 получим ,'(о (!) — о (Е, т),з() Сл!) (О) а л(6) (А (6) — А (т) '-1- о .).) () — (,1,')' )(-! ()В()(1 "л ~о, л. Положим здесь 1=т и получим )о (т) — о (т, т),',Я Сэр (6) а '(6) (! А (0) — А (т) !+ в- ° ())т )( — ) ()л()~1 л л о() Далее, из вогнутости А(1), выпуклости я(1), дирференпируемости и монотонности этих функций имеел( ; А (6) — А (т) ! = А (т) — А (6) ~ А (0) (т — 6) = А (О),(т — 0), )а (6) — сл (т) ! ~ ст (6) (Π— т) =,'я (О) '(т — 6) для всех т, 6, 0 «6«т.
Подставим эти неравенства в (24): ! о (т) — о (т, т);„з « Сз ~ )! (6) сс т (0) ( ! А (6) ! + о т -1-! а(0) )з(т — 0)з ехр, — ! и(з)() (з) с(з ИВ. (25) О Покажем, что правая часть (25), которую мы перепишем в виде дроби 10 ~ 5 (0) и ' (6) С А (0) +,' и (В) )'(т — 0)з ехр ~~ а (з) 5(з) Нз~ г(0 в(т) - ('1. ° юмь) ',а стремится к нулю при т-ь со. Замегим, что в силу (19) знаменатель этой дроби стремится к со при т — со Поэтому если ее числитель ограничен, то, очевидно, !пп в(т)=0 Если числитель пеограшжен, то он стремится к со при т ь со, и для раскрытия неопределенности — можно применить правило Лопигала. Трижды применяя это правило, с учетом условий теоремы получнм т 10 2 ~5(В)а '(В)( Л(В),'-', а(6],)'ехр~~ сс(з) () (з)Нз ор ! 'нп в (т) =- 11гп д о Х аз(т) 5з (т) ехр~~ и (з) 5 (з)пз1 ,о 1 Х!ип 1 !и(т)! !Р(т)! ' (т) Р (т) а (т) ()з ( ) ) =1' 2 )из (т) д (т) а' (т) () (т) ) 2 ! и ( т) ! 2 ! (! (т) ! х! ( „...
— Пр, ) =О. Отсюда и из (25) следует, что !1гп ) о(т) — о(т, т),(=0. Это овна т со чает, что !о(т) — о(т, т)1 =! при всех тгзТ. А на отрезке (О, Т) из (25) имеем знр '(о(т) — о(т, т)':=С1 (со. Следоватечьно, е«т«т ! о (т) — и (т, т) ! «игах (С е; 1) = Сы «со, т ) О.
(25) 257, Наконец, перейдем к оценке четвертого слагаемого [ и (т) — и [т)[ в правой части неравенства (!4). С учетом (5), (В), (11), (14) имеем — [ и (т) — о (т)" ,= сгт — 26(т) (Т' (и(т), т) — Т'(и(т), т), и(т) — о (т))— — 26 (т) (Т' (и(т), т) — Т' (о (т), т), и (т) — о (т)) « « — 2а (т) 6 (т) [ и (т) — и (т) „з + 2[1 (т) С,б (т) А (т) (1 + [ и (т) 1)х Х ( и (т) — о (т),", т ~ О.
(27) Замегим, чсо !+!~'и(т) 1! «,', и (т) — о (т);+,',о (т) — и (т, т) (+;о(т, т)— — и„(т) !+[и, (т) — и,[+!и, !+! «си(т) — о(т] [+Сгс, — здесь мы воспользовались неравенствами (16), (2!), (26). Тогда из (27) следу г с( , 'и (т) — о (т) ",с « — 2а (т) 6 (т) ", и (т) — о (т),с -1- + 211 (т) б (т) А (т) Сс (;; и (т) — о (т) [с+ Схв ат и (т) — о (т) ',), т :-- О. Однако ,', и(т) — о(т) [«(1+~ и(т) — о(т);,с)/2, поэтому с( — ' и (т) — о (т),',с « с(т «[ — 2а (т) [1 (т) + Ссзб (т) 6 (т) А (т) [ " и (т) — о (т) '+ +Ссс[) (т) б(т) А (т), тго 0 Отсюда с помощью леммы ! получим [ и (т) — о (т) 1' « ~ С.46 (О) б (О) А (О) Х о ,'т Х ехР ~ 1 [ — 2сс (з) б (з) + Си 6 (з) 6 (з) А (з) [ с(с с(О се Снова применяя правило Лопиталя, для правой части этого неравенства будем иметь с !се [ [1 (О) б (О) А (О) ехр~~ [2а (з) 6 (з) — С зр (з) б (з) А (з)) с(з [ с(О !1гп о! !с ехр () [2сс (з) [) (з) — Ссз[)(з) б (з) А (з)] с(з1 ,о б (т) А (т) ( 2 — С б (т) А (т) ) .с т со Следовательно, !пп [и(т) — о(т)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
