Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 45
Текст из файла (страница 45)
По определению т-стабилизатора множество й . т-секвенциально компактно. Поэтому существует хотя бы одна точка о >и й , к которой т-сходится некоторая подпоследовательность (иь„) Понажем, что любая такая точка о принадлежит множеству Уеп, Для этого прежде всего заметим, что из равенства 1пп Р(иь)=0 Ь-с следует, что 1!гп дг(иг) (О, >=1, т; 1пп у;(иь) =О, >=т+ 1, э Ь со я со Отсюда, пользуясь т-секвенциальной полунепрерьюностью снизу функций у,(и), ..., ут (и), ! уюс > (и),', ..., у, (и) !' на У„, получим у> (ог)( ~ )пп йй (иьп) (О, 1 = 1, т,дг(о,) !( 11>п (д> (игл) ! = О, т.
е. л со и со д>(о„)=0, (=т+1, э. Следовательно, о, ем У. А тогда с учетом т.секвенциальной полунепрерывности снизу функции 1(и) нз неравенства 1 (иь) «1„+Оа при й=йл-ьоэ будем иметь 1, « 1 (о,) ( ( 1пп 1(иь„) ~ 1!щ 1(иг„) (1г. Это значит, что !ип 1(иь„)= л со л со л со =1(о„)=1„т. е. о„>н У,. Но, нроме того, о я й ~ У,з, так что а йй Таким образом, доказано, что любая точка о„являющаяся т-пределом какой-либо подпоследовательности (иь„), принадлежит У„* и 1!гп 1(и>,„) = 1(о„)= 1,. Отсюда следует, что 1!щ 1(иь)=1,. л со а со В самом деле, пусть а †некотор предельная точка числовой последовательности (1 (иь)), пусть а = 11гп 1 (иа„).
В силу т-секвенциальной л со компактности й можем считать, что (иь„) т-сходится к некоторой точке о,. По доказанному тогда !пп 1(иь )=1,. Это значит, что л со число 1„ является единственной предельной точкой последовательности (1 (иг)), т. е. 1>а 1 (иь) =1,. л со Покажем, что (иь) т-сходится к Уг. Пусть, вопреки утвержден>по, (иа) не будет т-сходиться к У"„. Это значит, что существует окрестность 6 >и т множества У"„' такая, что для любого номера л найдется номер Ул) л, для которого иг чп 6. Можем считать, что й„(й„, и что (и„„) т-сходнтся к некоторой точке о„. Как было 240 показано выше, о ~ (Сй.
Но тогда окрестность П множества (уй является и окрестностью точки с„поэтому в 0 долясно содержаться бесконечно много членов подпосяедовательности (идв». Однако по построению ид„ ййс 6 прн всех л = 1, 2,... Противоречие. Следовательно, (и ) т-сходится к множеству (Сп», Наконеп, пусть й(и) т-секвенпиально полунепрерывна снизу на $сп и 1!ш уд=О. Пусть!пп Я (ид) =1)ш й (ид„). В силу т секвенд» д о л со ниальной компактности (ид) можем считать, что (ида) т-сходится к некоторой точке о,.
По доказанному г си (Сй Тогда с учетом 'г неравенства й (ид) й, +уд имеем Й, - Я (о,) ( 1сш й (идв) = л о =- 1~п Я (ид) ( 1пп Я (ид) ( Й„, что эквивалентно существованию я-. д со предела числовой последовательности ( Й (ид)» и равенству !пп Й (ид)= д аа = Я„. Отсюда же следует, что любая точка о„являющаяся т-пре- делом какой-либо подпоследовательности (ид ), такова, что й (о„! = лс' .= й„ = 1нп й (ид„), т. е. о, си $7„. Следовательно, (ид) т-сходится а са к Гс„— зто доказывается так же, как выше была получена т-сходи- мость (ид» к (с'й. Лемма 3 доказана.
Теперь покажем, как можно получить т-регулярные минимизи- рующие последовательности, используя один иэ трех описанных выше методов регуляризаиии. Теор ем а 5. Пусть: 1) выполнены условия 1), 2) леммы 3; 5 2) функция Лагранжа ь (и, )с) =г'(и)+~~ )чйс (и) имеет сгдловую 1=! точку а смьсслг неравенств (33); 3) приближенные значения ггд (и), у;д (и), йд (и) функций г' (и), йц (и), й(и) на Уп удовлетворяют неравенствам (7), (8), ($0), гдг бд гвО, тдггО, й=1, 2, ..., 1)гп 6д=!)ш та=О, апр яд<1; 4) последа. д со д са д)! ваасгльность (ид» олргдгляетсч а) либо из условий (14), (32) при тд)0, Ад)0, ед)0, й= =1,2,..., 1нп (ад+Ад!+ад+бдАдадс+вдсг —,')=О, !пп Аде — сад=со, д-на д а» гдв у=р (р — 1) ! (мгтод стабилизации); б) либо иэ условий (Зб) — (38) лрц Ад)0, рд)0, тд)0, й= сы 1, 2, ..., 1пп (бдА у х+Ас,'+!с,+ )(д) = О, 1пп Ав — $2д=+ со д со д (метод нгвязки); в) либо иэ условий (ЗБ), (43), (44) при Ад)0, йд) О, цд) О, й=!, 2, ..., 1!ш (А~с+$д+т)д+тдц с+бдАд)=0 (мгтод кваэирешений).
Тогда глравгдливы равенства: 1)ш Адр(ид)=0, 1пп г'(ид)=Хю д со д о» последовательность (иь) т-рвеулярна и тожодится и множеству Уь. Если, кроле того, Й (и) т-секвенииольно полунепреривна снизу на У то Иш Й (иь)= Й, и (иь) т-сходится к множеству У„, =(и: и сн У'„', Ь со Й (и) = Й,).
Заметим, что формулировка теоремы 5 дана длв случая, когда параметр р из (4) строго больше 1. Эта теорема остается верной и при р=! — нужно лишь исклсочнть из ее формулировки все соотношения, содержащие Ав Ло к аз а те л ь с т во. Существование точек ил, а также соотношения г' (и„) < Х, +6т Й (иь) (Й,+уы lг=!, 2, ..., Игп Акр (иь)= Л- оо = О для каждого из методов регуляризации доказываются так же, как зто делалось в теоремах 2 — 4 выше, поскольку соответствующие рассуждения никак не связаны с топологией множества Уг. Отсюда и из леммы 3 следуют все утверждения теоремы 5. Как видим, при выполнении всех условий теоремы 5 наряду с т-сходимостью последовательности (иь) к У„ мы дополнительно имеем равенство 1цп Й (иь)= Й„.
Зто означает, что последователь- Л со ность (ил) сходится к У„, вообще говоря, в более сильной топологии, чем топология т. Нййболее ярко это можно увидеть на примере тех задач минимизации, в которых т — слабая топология гильбертова пространства Н, Й (и) = ! и (иг — слабый стабилизатор; здесь из слабой сходимости (иь) к точке и, и Й(ил)= ~ ил'ги-~ Й (и,)=(и,(э следует сильная сходимость иь к и„, т. е.
сходимость по норме Н. Именно подобные соображения лежат в основе леммы 2, а также леммы 4.2. В заключение заметим, что аналогичное исследование методов регуляряэации можно провести, используя другие понятия компактности множеств в топологических пространствах (см. 4 1.3). Уп р а ж не ни я. 1. Применить изложенные выше методы регуляризации для решения задач из примеров 1 — 4.
2. Привести полное доказательство лемм 1 и 2. 3. Доказать теоремы 3.1 и 3.2 о существовании Й-нормального решения, предполагая, что выполнены условия леммы 1 или 2, и учитывая, что множество У имеет вид (1), а стабилизатор Й (и) определен на множестве Уп '= У (в 4 3 предполагалось, что Уи сж У). 4. Показать, что прн выполнении условий 1), 2) леммы ! р-регулярность и р-сходимость к У$ последовательности (иь), построенной методом стабилизации (15), можно получить при замене в теореме 1 условий !пп 6„А и-,'=Иш О а„-'= Иш ча†!цп еьалс —— Л со а со Ь оо Ь-ко = 1пп А! — ва-' =О более слабыми условиями * ьиР (ть+(6„Аз+ба+2 ! Р' Оь) сслс) < 1, зпР (А! — а+за) ил'<со.
ь~) 1 л>1 5. Показать, что при выполнении условий теоремы 1 для последовательности (ил) из (15) имеет место следующая оценка скорости сходимости: О<шах(А„Р(ид);, Х(иь) — Хь !) -М(ссь+ел+Оь + (р — !)Аь о), где М=сопй~б, а множитель р — 1 при Аа! в символизирует, что 242 при р=-1 последнее слагаемое в этой оценке отсутствует, Ук аз а- н и е: внимательно рассмотреть доказательство теоремы 1. 6. Воспроизвести доказательство теоремы 2. 7, Сформулировать и доказать теорему 1 при условии, нагла ограничевия, задаваемые функциями Рл (и), в (!) отсутствуют, т, е. «=О.
У к а з а в и е: принять в теореме 1 йй (и) = я!а (и) ннО, ! = 1, эс Р (и)=рд(и) =О, последовательность (Ад) не вводить, 8. Показать, что теорема 3.2 является следствием теоремы 1, если в (1) г=-э О, т. е. У=Ум 9. Показать, что при выполнении условий 1), 2) леммы 1 р-регу- лярность и р-сходимость к Уй последовательности (ид), построеняой методом невязки (37), мосина получить при замене в теореме 3 усло- вий 1цп рд= 1нп од=!пп (бдАд+А! «))Ед' = О более слабыми Ес со Д са Д со условиями энрта < 1, юр рд <-(-сю, д>! д>! (бд+бдАд) (й, +2)+ВАд «<)(д 6=1, 2 " 1)ш бдАЕ,=О.
д са 1О Показать, что при выполнении условий теоремы 3 для после- довательности (ид) из (37) справедлива следующая оценка скорости сходимости: О<птах!,Адр (ид); ' Х (ид) — У„!) <М(У .! 6 ! 6д ! где М =сопя! > О. 11. Показать, что при выполнении условий !), 2) леммы 1 р-регу. лЯРность и Р-сходимость к Удп последовательности (ид), постРоенной методом квазирешений (43), можно получить при замене в теореме 4 условий 1!ш «)д = 1нп чд = !пп чдт)дс более слабыми условиями д со д са д оа Юр яд< 1, Зцр Э)э <+СО, 4 (й + 1)(1 — Юр Чд) ! О +2«(с <Е)д д>! д>! д>! й=!, 2, 12. Показать, что при выполнении условий теоремы 4 для после- довательности (ид) из (43) справедлива следующая оценка скорости сходимости; О шах (Адр (ид); ! Х(ид) — 7„)<М(ад+ба+бдАд+(р — 1) Ад! «), где М =сопя! > О. 13.
Пусть ' й! (и) — йе« (и) , '< пд (1+ й (и)), и ш уп, ! =1, э, пуст~ функции Р(и), Рд(и) определяются равенствами (4) — (8) при р=1, ДОКаЗатЬ, Чта тОГда ! Р (И) — Рд(и) <Этс,(1 + й (и)), и !НУ 1, У к э з а н и е: воспользоваться неравенством (34), 14. Рассмотреть воэможность использования в методах регуляри- зации других штрафных функций, отличных от (4). 13, Привести пример задачи минимизации функции 7 (и) на мно- жестве У вида (!), которая корректна в метрике Ко, и при неточном задании исходвых данных, т. е.
1цп «'ад —— lв, 1Егп р (иы У„) =О, д * д- где 7'= Еп( уд(се), мноскество Уд определяется посредством (3), ашЕЕ (ид) — любая последовательность, для которой уд (ид) < Хдэ+ед ед > О, !нп ед =О, в погрешности в задании,7(и), иЕ(и), ЛЕ(и) стред са мятся к нулю. 243 $9. Итеративная регуляризация метода проекции градиента 1. На каждом шаге описанного выше метода Тихонова (стабилизации) определяется точка и» из условий Т» = !п! Т, (и) ( Т, (и») = Т"„+ е», и» ~ (р'„(1) имя» где Т» (и) — функция Тихонова, е» з О, я = 1, 2, ..., 1пп е»=О. Выше отмечалось, что при каждом фиксированном й для получения такой точки и» в принципе могут быть применены любые методы минимизации, сходягциеся по функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
